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1. 如图所示,在四边形$ABCD$中,$∠A=140°,∠B=90°,∠C=∠D=x°$,则$x$的值是 （
A.60
B.65
C.75
D.130
B
）A.60
B.65
C.75
D.130
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先观察图形是四边形，回忆多边形内角和公式：n边形内角和为$(n-2)×180°$，首先计算出四边形的内角和。已知四边形中两个角的度数，另外两个角相等均为$x°$，将四个角相加等于内角和列方程，求解方程即可得到x的值。
【解析】
根据多边形内角和公式，四边形的内角和为：
$(4-2)×180°=360°$
结合四边形内角和的等量关系可得：
$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360°$
代入$∠ A=140°$，$∠ B=90°$，$∠ C=∠ D=x°$得：
$140+90+x+x=360$
整理计算：$2x=360-230=130$
解得$x=65$
【答案】
B
【知识点】
四边形内角和、一元一次方程求解
【点评】
本题是基础类题目，核心考查四边形内角和公式的应用，只要熟记内角和数值，准确代入已知条件列方程计算，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形是四边形，回忆多边形内角和公式：n边形内角和为$(n-2)×180°$，首先计算出四边形的内角和。已知四边形中两个角的度数，另外两个角相等均为$x°$，将四个角相加等于内角和列方程，求解方程即可得到x的值。
【解析】
根据多边形内角和公式，四边形的内角和为：
$(4-2)×180°=360°$
结合四边形内角和的等量关系可得：
$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360°$
代入$∠ A=140°$，$∠ B=90°$，$∠ C=∠ D=x°$得：
$140+90+x+x=360$
整理计算：$2x=360-230=130$
解得$x=65$
【答案】
B
【知识点】
四边形内角和、一元一次方程求解
【点评】
本题是基础类题目，核心考查四边形内角和公式的应用，只要熟记内角和数值，准确代入已知条件列方程计算，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
2. 如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=8 cm,AB=6 cm,DE平分∠ADC,交BC边于点E,则BE等于（
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm
B
）A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm
答案
2.B
解析
【分析】
解题思路：首先回忆平行四边形的性质，得到对边的长度关系和平行关系；再结合角平分线的定义和平行线的内错角相等，推导得到相等的角，进而判定等腰三角形，求出CE的长度；最后用BC的长度减去CE的长度即可得到BE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=8cm，AB=CD=6cm，
根据“两直线平行，内错角相等”可得：∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠DEC=∠CDE，
根据“等角对等边”可得：CD=CE=6cm，
∴BE=BC - CE=8cm - 6cm=2cm。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何题，将平行四边形性质、角平分线性质和等腰三角形判定结合考查，解题核心是通过角的等量代换得到等腰三角形，掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆平行四边形的性质，得到对边的长度关系和平行关系；再结合角平分线的定义和平行线的内错角相等，推导得到相等的角，进而判定等腰三角形，求出CE的长度；最后用BC的长度减去CE的长度即可得到BE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=8cm，AB=CD=6cm，
根据“两直线平行，内错角相等”可得：∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠DEC=∠CDE，
根据“等角对等边”可得：CD=CE=6cm，
∴BE=BC - CE=8cm - 6cm=2cm。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何题，将平行四边形性质、角平分线性质和等腰三角形判定结合考查，解题核心是通过角的等量代换得到等腰三角形，掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 如图所示，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，且 $AC + BD = 10$，$AB = 3$，则 $△ OCD$ 的周长为（
A.13
B.8
C.7
D.5
B
）A.13
B.8
C.7
D.5
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先结合平行四边形的性质推导边的关系：平行四边形的对角线互相平分，对边相等。要求△OCD的周长，需先将它的三条边与已知条件关联：OC是AC的一半，OD是BD的一半，CD与AB长度相等。先通过AC+BD的和求出OC+OD的和，再加上CD的长度即可得到周长。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OC = $\frac{1}{2}$AC，OD = $\frac{1}{2}$BD，CD = AB = 3
已知AC + BD = 10，
∴OC + OD = $\frac{1}{2}$(AC + BD) = $\frac{1}{2}$×10 = 5
∴△OCD的周长 = OC + OD + CD = 5 + 3 = 8
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平行四边形基本性质的应用，解题的关键是熟练掌握平行四边形对边相等、对角线互相平分的特征，将未知边长转化为已知条件代入计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合平行四边形的性质推导边的关系：平行四边形的对角线互相平分，对边相等。要求△OCD的周长，需先将它的三条边与已知条件关联：OC是AC的一半，OD是BD的一半，CD与AB长度相等。先通过AC+BD的和求出OC+OD的和，再加上CD的长度即可得到周长。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OC = $\frac{1}{2}$AC，OD = $\frac{1}{2}$BD，CD = AB = 3
已知AC + BD = 10，
∴OC + OD = $\frac{1}{2}$(AC + BD) = $\frac{1}{2}$×10 = 5
∴△OCD的周长 = OC + OD + CD = 5 + 3 = 8
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平行四边形基本性质的应用，解题的关键是熟练掌握平行四边形对边相等、对角线互相平分的特征，将未知边长转化为已知条件代入计算即可。
【难度系数】
0.8
4.过某个多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是 （
A.四边形
B.五边形
C.六边形
D.七边形
D
）A.四边形
B.五边形
C.六边形
D.七边形
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先回忆多边形的相关性质：过n边形的一个顶点引出所有对角线，这些对角线会把多边形分成（n-2）个三角形。已知分割得到的三角形个数是5，我们只需要将数值代入公式，反向求解n的数值，就能确定多边形的边数。
【解析】
设这个多边形的边数为n，根据多边形的性质可得：
过n边形一个顶点的所有对角线将多边形分成的三角形个数为$n-2$
由题可知分割得到5个三角形，因此列方程：
$n-2=5$
解得：$n=7$
所以这个多边形是七边形。
【答案】
D
【知识点】
多边形对角线性质；多边形分割三角形规律
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对多边形过单个顶点分割三角形个数公式的记忆与运用，只要熟练掌握对应公式就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆多边形的相关性质：过n边形的一个顶点引出所有对角线，这些对角线会把多边形分成（n-2）个三角形。已知分割得到的三角形个数是5，我们只需要将数值代入公式，反向求解n的数值，就能确定多边形的边数。
【解析】
设这个多边形的边数为n，根据多边形的性质可得：
过n边形一个顶点的所有对角线将多边形分成的三角形个数为$n-2$
由题可知分割得到5个三角形，因此列方程：
$n-2=5$
解得：$n=7$
所以这个多边形是七边形。
【答案】
D
【知识点】
多边形对角线性质；多边形分割三角形规律
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对多边形过单个顶点分割三角形个数公式的记忆与运用，只要熟练掌握对应公式就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
5. 如图所示，$a// b$，$AB// CD$，$CE⊥ b$，$FG⊥ b$，点$E$，$G$为垂足，则下列说法错误的是 （
A.$AB=CD$
B.$CE=FG$
C.直线$a$，$b$之间的距离是线段$AB$的长
D.直线$a$，$b$之间的距离是线段$CE$的长
C
）A.$AB=CD$
B.$CE=FG$
C.直线$a$，$b$之间的距离是线段$AB$的长
D.直线$a$，$b$之间的距离是线段$CE$的长
答案
5.C
解析
【分析】
解题时先回忆两个核心知识点：一是平行四边形的判定与对边相等的性质，二是平行线间距离的定义（两条平行线之间的距离是指这两条线之间垂线段的长度，且平行线之间的所有垂线段长度相等）。先判断各选项对应的结论是否符合这两个知识点，逐一排除正确选项，找到错误项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：已知$a// b$，$AB// CD$，因此四边形$ABDC$两组对边分别平行，是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，可得$AB=CD$，A选项说法正确，不符合题意。
2. 分析选项B：已知$CE⊥ b$，$FG⊥ b$，且$a// b$，因此$CE$、$FG$都是平行线$a$和$b$之间的垂线段，根据平行线间垂线段长度相等的性质，可得$CE=FG$，B选项说法正确，不符合题意。
3. 分析选项C：平行线之间的距离定义为两条平行线之间垂线段的长度，观察图形可知$AB$不与$a$、$b$垂直，因此$AB$的长不是直线$a$、$b$之间的距离，C选项说法错误，符合题意。
4. 分析选项D：$CE⊥ b$，且$a// b$，$CE$是$a$、$b$之间的垂线段，因此直线$a$、$b$之间的距离是线段$CE$的长，D选项说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定与性质；平行线间的距离；平行线的性质
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是混淆平行线间的普通平行线段和垂线段，需牢记平行线间的距离特指垂线段的长度，再结合平行四边形的性质即可快速判断。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆两个核心知识点：一是平行四边形的判定与对边相等的性质，二是平行线间距离的定义（两条平行线之间的距离是指这两条线之间垂线段的长度，且平行线之间的所有垂线段长度相等）。先判断各选项对应的结论是否符合这两个知识点，逐一排除正确选项，找到错误项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：已知$a// b$，$AB// CD$，因此四边形$ABDC$两组对边分别平行，是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，可得$AB=CD$，A选项说法正确，不符合题意。
2. 分析选项B：已知$CE⊥ b$，$FG⊥ b$，且$a// b$，因此$CE$、$FG$都是平行线$a$和$b$之间的垂线段，根据平行线间垂线段长度相等的性质，可得$CE=FG$，B选项说法正确，不符合题意。
3. 分析选项C：平行线之间的距离定义为两条平行线之间垂线段的长度，观察图形可知$AB$不与$a$、$b$垂直，因此$AB$的长不是直线$a$、$b$之间的距离，C选项说法错误，符合题意。
4. 分析选项D：$CE⊥ b$，且$a// b$，$CE$是$a$、$b$之间的垂线段，因此直线$a$、$b$之间的距离是线段$CE$的长，D选项说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定与性质；平行线间的距离；平行线的性质
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是混淆平行线间的普通平行线段和垂线段，需牢记平行线间的距离特指垂线段的长度，再结合平行四边形的性质即可快速判断。
【难度系数】
0.7
6.(生活情境)汽车雨刮器是扫除车窗玻璃上妨碍视线的雨雪和尘土的重要工具,通常两个雨刮器的刷片长度相同,即$AB=CD$.某时刻汽车雨刮器的位置如图所示,此时$∠ABE=∠C$,则下列说法错误的是
(
A.四边形$ABCD$是平行四边形
B.$∠A=∠D$
C.$AD=BC$
D.$AD// BC$
(
B
)A.四边形$ABCD$是平行四边形
B.$∠A=∠D$
C.$AD=BC$
D.$AD// BC$
答案
6.B
解析
【分析】
首先从已知角的关系入手推导AB和CD的位置关系：∠ABE和∠ABC是邻补角，和为180°，结合∠ABE=∠C可推出∠ABC+∠C=180°，根据平行线的判定定理得AB//CD；再结合已知AB=CD，可判定四边形ABCD是平行四边形，最后根据平行四边形的性质逐一判断选项即可。
【解析】
1. 证明AB//CD：
∵ ∠ABE与∠ABC互为邻补角，
∴ ∠ABE + ∠ABC = 180°，
又
∵ ∠ABE=∠C，
∴ 等量代换得∠ABC + ∠C = 180°，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得AB//CD。
2. 判定平行四边形：
已知AB=CD，且已证AB//CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形ABCD是平行四边形，故A选项说法正确，不符合题意。
3. 结合平行四边形性质判断选项：
平行四边形对边平行且相等，因此AD=BC，AD//BC，故C、D选项说法正确，不符合题意；
平行四边形对角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D，∠A和∠D为邻角，二者互补，不一定相等，故B选项说法错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质；平行线的判定
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，难度不大，解题核心是先通过角的关系判定平行四边形，再利用平行四边形的性质判断结论的正误。
【难度系数】
0.75
首先从已知角的关系入手推导AB和CD的位置关系：∠ABE和∠ABC是邻补角，和为180°，结合∠ABE=∠C可推出∠ABC+∠C=180°，根据平行线的判定定理得AB//CD；再结合已知AB=CD，可判定四边形ABCD是平行四边形，最后根据平行四边形的性质逐一判断选项即可。
【解析】
1. 证明AB//CD：
∵ ∠ABE与∠ABC互为邻补角，
∴ ∠ABE + ∠ABC = 180°，
又
∵ ∠ABE=∠C，
∴ 等量代换得∠ABC + ∠C = 180°，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得AB//CD。
2. 判定平行四边形：
已知AB=CD，且已证AB//CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形ABCD是平行四边形，故A选项说法正确，不符合题意。
3. 结合平行四边形性质判断选项：
平行四边形对边平行且相等，因此AD=BC，AD//BC，故C、D选项说法正确，不符合题意；
平行四边形对角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D，∠A和∠D为邻角，二者互补，不一定相等，故B选项说法错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质；平行线的判定
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，难度不大，解题核心是先通过角的关系判定平行四边形，再利用平行四边形的性质判断结论的正误。
【难度系数】
0.75
