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17. 如图所示,在$△ ABC$中,$AB:BC:CA=3:4:5$,且周长为$36\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$出发沿$AB$边向点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度运动,点$Q$从点$B$出发沿$BC$边向点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度运动,两点同时出发.
(1)求证:$△ ABC$是直角三角形;
(2)当运动了$3\ \mathrm{s}$时,求$△ BPQ$的面积.
(1)求证:$△ ABC$是直角三角形;
(2)当运动了$3\ \mathrm{s}$时,求$△ BPQ$的面积.
答案
17.(1)证明:设$AB=3x$,则$BC=4x$,$CA=5x$.
∵$AB^2+BC^2=(3x)^2+(4x)^2=25x^2$,$CA^2=(5x)^2=25x^2$,
∴$AB^2+BC^2=CA^2$.
∴△ABC是直角三角形.
(2)解:
∵△ABC是直角三角形,$∠B=90°$,根据题意,得$3x+4x+5x=36$,解得$x=3$,
∴$AB=3x=9(\mathrm{cm})$,$BC=4x=12(\mathrm{cm})$.
当运动了3 s时,$PB=9-1×3=6(\mathrm{cm})$,$BQ=2×3=6(\mathrm{cm})$.
∴△BPQ的面积为$\frac{6×6}{2}=18(\mathrm{cm}^2)$.
∵$AB^2+BC^2=(3x)^2+(4x)^2=25x^2$,$CA^2=(5x)^2=25x^2$,
∴$AB^2+BC^2=CA^2$.
∴△ABC是直角三角形.
(2)解:
∵△ABC是直角三角形,$∠B=90°$,根据题意,得$3x+4x+5x=36$,解得$x=3$,
∴$AB=3x=9(\mathrm{cm})$,$BC=4x=12(\mathrm{cm})$.
当运动了3 s时,$PB=9-1×3=6(\mathrm{cm})$,$BQ=2×3=6(\mathrm{cm})$.
∴△BPQ的面积为$\frac{6×6}{2}=18(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
(1)要证明△ABC是直角三角形，已知三边的长度比，可结合勾股定理的逆定理，先按比例设出三边长度，验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方即可。
(2)首先根据△ABC的周长和三边比例求出AB、BC的实际长度，再结合点P、Q的运动速度和运动时间，分别求出PB、BQ的长度，由于∠B是直角，△BPQ是直角三角形，直接用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)证明：设$AB=3x$，则$BC=4x$，$CA=5x$。
∵$AB^2+BC^2=(3x)^2+(4x)^2=9x^2+16x^2=25x^2$，$CA^2=(5x)^2=25x^2$，
∴$AB^2+BC^2=CA^2$，
∴△ABC是直角三角形。
(2)解：由(1)可知△ABC是直角三角形，且∠B=90°，
根据△ABC周长为36cm，得$3x+4x+5x=36$，解得$x=3$，
∴$AB=3x=9\mathrm{cm}$，$BC=4x=12\mathrm{cm}$。
当运动时间为3s时，$AP=1×3=3\mathrm{cm}$，$BQ=2×3=6\mathrm{cm}$，
∴$PB=AB-AP=9-3=6\mathrm{cm}$，
∴△BPQ的面积$S=\frac{1}{2}× PB× BQ=\frac{1}{2}×6×6=18\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1)△ABC是直角三角形，得证；
(2)$18\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理逆定理，直角三角形面积计算，动点行程问题
【点评】
本题属于基础综合题，第一问直接考查勾股定理逆定理的应用，第二问将动点行程问题和直角三角形面积计算结合，解题时只需理清运动过程中线段的长度关系，代入对应公式即可求解，侧重对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△ABC是直角三角形，已知三边的长度比，可结合勾股定理的逆定理，先按比例设出三边长度，验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方即可。
(2)首先根据△ABC的周长和三边比例求出AB、BC的实际长度，再结合点P、Q的运动速度和运动时间，分别求出PB、BQ的长度，由于∠B是直角，△BPQ是直角三角形，直接用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)证明：设$AB=3x$，则$BC=4x$，$CA=5x$。
∵$AB^2+BC^2=(3x)^2+(4x)^2=9x^2+16x^2=25x^2$，$CA^2=(5x)^2=25x^2$，
∴$AB^2+BC^2=CA^2$，
∴△ABC是直角三角形。
(2)解：由(1)可知△ABC是直角三角形，且∠B=90°，
根据△ABC周长为36cm，得$3x+4x+5x=36$，解得$x=3$，
∴$AB=3x=9\mathrm{cm}$，$BC=4x=12\mathrm{cm}$。
当运动时间为3s时，$AP=1×3=3\mathrm{cm}$，$BQ=2×3=6\mathrm{cm}$，
∴$PB=AB-AP=9-3=6\mathrm{cm}$，
∴△BPQ的面积$S=\frac{1}{2}× PB× BQ=\frac{1}{2}×6×6=18\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1)△ABC是直角三角形，得证；
(2)$18\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
勾股定理逆定理，直角三角形面积计算，动点行程问题
【点评】
本题属于基础综合题，第一问直接考查勾股定理逆定理的应用，第二问将动点行程问题和直角三角形面积计算结合，解题时只需理清运动过程中线段的长度关系，代入对应公式即可求解，侧重对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
18.《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长$a,b,c$都是正整数，则$a,b,c$为一组勾股数.下表中的每一组数都是勾股数.
(1)请补全上表中的勾股数.
(2)根据上表中数据的规律，用含字母(均为正整数)的代数式分别表示$a,b,c$，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明.
(3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案.该图案是由四个全等的直角三角形组成的.种花要求:仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为$1\ \mathrm{m}$.如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？
(1)请补全上表中的勾股数.
(2)根据上表中数据的规律，用含字母(均为正整数)的代数式分别表示$a,b,c$，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明.
(3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案.该图案是由四个全等的直角三角形组成的.种花要求:仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为$1\ \mathrm{m}$.如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？
答案
18.(1)24
(2)解:本原勾股数:由题意,得$a=m^2-n^2$,$b=2mn$,$c=m^2+n^2$($m＞n＞0$,$m,n$互质且一奇一偶).
非本原勾股数:$a=k(m^2-n^2)$,$b=k(2mn)$,$c=k(m^2+n^2)$($k$为正整数).
证明:对于本原勾股数，
$a^2+b^2=(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2=m^4+2m^2n^2+n^4=(m^2+n^2)^2=c^2$.
非本原勾股数为本原勾股数的k倍，
故$a^2+b^2=k^2[(m^2-n^2)^2+(2mn)^2]=k^2(m^2+n^2)^2=c^2$.
同理,$a=2kmn$,$b=k(m^2-n^2)$,$c=k(m^2+n^2)$时也成立.
(3)解:由题意知它的最短边长是20 m，
查表可知它的各边长(单位:m)是20,21,29这组勾股数，
这个直角三角形三条边的长度之和为$20+21+29=70(\mathrm{m})$.
∵该图案是由四个全等的直角三角形组成的,
∴这块绿地需要种花$70×4=280$(株).
(2)解:本原勾股数:由题意,得$a=m^2-n^2$,$b=2mn$,$c=m^2+n^2$($m＞n＞0$,$m,n$互质且一奇一偶).
非本原勾股数:$a=k(m^2-n^2)$,$b=k(2mn)$,$c=k(m^2+n^2)$($k$为正整数).
证明:对于本原勾股数，
$a^2+b^2=(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2=m^4+2m^2n^2+n^4=(m^2+n^2)^2=c^2$.
非本原勾股数为本原勾股数的k倍，
故$a^2+b^2=k^2[(m^2-n^2)^2+(2mn)^2]=k^2(m^2+n^2)^2=c^2$.
同理,$a=2kmn$,$b=k(m^2-n^2)$,$c=k(m^2+n^2)$时也成立.
(3)解:由题意知它的最短边长是20 m，
查表可知它的各边长(单位:m)是20,21,29这组勾股数，
这个直角三角形三条边的长度之和为$20+21+29=70(\mathrm{m})$.
∵该图案是由四个全等的直角三角形组成的,
∴这块绿地需要种花$70×4=280$(株).
解析
【分析】
(1) 第一问补全勾股数，可根据勾股定理，结合常见勾股数组特征直接求解。
(2) 第二问先观察勾股数的构成规律，区分本原勾股数和非本原勾股数，归纳出用正整数表示的通式，再通过勾股定理验证通式满足$a^2+b^2=c^2$即可。
(3) 第三问先结合植树问题的规律：边的长度=（边上株数-1）×相邻间距，算出最短边长，再选取含该最短边的最小勾股数组，算出单个三角形边上种花的总株数，最后乘4得到总种植株数即可。
【解析】
(1) 由勾股定理得$7^2+x^2=25^2$，解得$x=\sqrt{625-49}=24$，故空缺的勾股数为24。
(2) 解：勾股数通式可表示为：
$a=k(m^2-n^2)$，$b=2kmn$，$c=k(m^2+n^2)$（其中$k$为正整数，$m＞n＞0$，$m、n$为互质且一奇一偶的正整数，$a、b$可互换位置）
证明：
① 当$k=1$时为为互质的本原勾股数：
$a^2+b^2=(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2=m^4+2m^2n^2+n^4=(m^2+n^2)^2=c^2$，满足勾股定理，是勾股数。
② 当$k$为大于1的正整数时，为非本原勾股数，是本原勾股数的$k$倍：
$a^2+b^2=k^2[(m^2-n^2)^2+(2mn)^2]=k^2(m^2+n^2)^2=c^2$，也满足勾股定理，是勾股数。
(3) 解：已知最短边种21株花，相邻花间距1m，且顶点都种花，因此最短边长度为$21-1=20(\mathrm{m})$。
要使总种植株数最少，需选取边长最小的含20的勾股数组，即20、21、29。
单个直角三角形三边种花总株数：每条边株数=边长+1，三个顶点各重复计算1次，因此总株数为$(20+1)+(21+1)+(29+1)-3=70$株，即总株数等于三边长度之和。
四个全等直角三角形总种植株数为$70×4=280$株。
【答案】
(1) $\boxed{24}$
(2) 勾股数通式为$a=k(m^2-n^2)$，$b=2kmn$，$c=k(m^2+n^2)$（$k$为正整数，$m＞n＞0$，$m、n$互质且一奇一偶，$a、b$可互换），证明见解析。
(3) $\boxed{280}$株
【知识点】
勾股定理，勾股数，规律探究
【点评】
本题结合我国古代数学经典著作的内容设计，既考查了勾股数的规律归纳与证明能力，又结合实际种植场景考查知识的迁移应用能力，需要注意区分植树问题中株数和边长的关系，避免计数错误。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问补全勾股数，可根据勾股定理，结合常见勾股数组特征直接求解。
(2) 第二问先观察勾股数的构成规律，区分本原勾股数和非本原勾股数，归纳出用正整数表示的通式，再通过勾股定理验证通式满足$a^2+b^2=c^2$即可。
(3) 第三问先结合植树问题的规律：边的长度=（边上株数-1）×相邻间距，算出最短边长，再选取含该最短边的最小勾股数组，算出单个三角形边上种花的总株数，最后乘4得到总种植株数即可。
【解析】
(1) 由勾股定理得$7^2+x^2=25^2$，解得$x=\sqrt{625-49}=24$，故空缺的勾股数为24。
(2) 解：勾股数通式可表示为：
$a=k(m^2-n^2)$，$b=2kmn$，$c=k(m^2+n^2)$（其中$k$为正整数，$m＞n＞0$，$m、n$为互质且一奇一偶的正整数，$a、b$可互换位置）
证明：
① 当$k=1$时为为互质的本原勾股数：
$a^2+b^2=(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2=m^4+2m^2n^2+n^4=(m^2+n^2)^2=c^2$，满足勾股定理，是勾股数。
② 当$k$为大于1的正整数时，为非本原勾股数，是本原勾股数的$k$倍：
$a^2+b^2=k^2[(m^2-n^2)^2+(2mn)^2]=k^2(m^2+n^2)^2=c^2$，也满足勾股定理，是勾股数。
(3) 解：已知最短边种21株花，相邻花间距1m，且顶点都种花，因此最短边长度为$21-1=20(\mathrm{m})$。
要使总种植株数最少，需选取边长最小的含20的勾股数组，即20、21、29。
单个直角三角形三边种花总株数：每条边株数=边长+1，三个顶点各重复计算1次，因此总株数为$(20+1)+(21+1)+(29+1)-3=70$株，即总株数等于三边长度之和。
四个全等直角三角形总种植株数为$70×4=280$株。
【答案】
(1) $\boxed{24}$
(2) 勾股数通式为$a=k(m^2-n^2)$，$b=2kmn$，$c=k(m^2+n^2)$（$k$为正整数，$m＞n＞0$，$m、n$互质且一奇一偶，$a、b$可互换），证明见解析。
(3) $\boxed{280}$株
【知识点】
勾股定理，勾股数，规律探究
【点评】
本题结合我国古代数学经典著作的内容设计，既考查了勾股数的规律归纳与证明能力，又结合实际种植场景考查知识的迁移应用能力，需要注意区分植树问题中株数和边长的关系，避免计数错误。
【难度系数】
0.6
