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13. (1)我们知道3,4,5是一组勾股数，那么3k,4k,5k(k是正整数)也是一组勾股数吗？请说明理由.
(2)如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck(k是正整数)也是一组勾股数吗？请说明理由.
(3)如果m表示大于1的整数，$a=2m,b=m^2 - 1,c=m^2 + 1$，请说明a,b,c为一组勾股数.
(2)如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck(k是正整数)也是一组勾股数吗？请说明理由.
(3)如果m表示大于1的整数，$a=2m,b=m^2 - 1,c=m^2 + 1$，请说明a,b,c为一组勾股数.
答案
13.解:(1)是勾股数.理由：
∵3k,4k,5k(k是正整数)是一组正整数,且$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$,
∴3k,4k,5k是一组勾股数.
(2)是勾股数.理由：
∵a,b,c是一组勾股数,
∴不妨设$a^2+b^2=c^2$.又ak,bk,ck(k是正整数)也是一组正整数，
$k^2a^2+k^2b^2=k^2c^2$,
∴$(ak)^2+(bk)^2=(ck)^2$.
∴ak,bk,ck(k是正整数)也是一组勾股数.
(3)
∵m表示大于1的整数,
∴由$a=2m,b=m^2-1,c=m^2+1$得到a,b,c均为正整数.
又$a^2+b^2=(2m)^2+(m^2-1)^2=4m^2+m^4-2m^2+1=m^4+2m^2+1$,$c^2=(m^2+1)^2=m^4+2m^2+1$,
∴$a^2+b^2=c^2$.
∴a,b,c为一组勾股数.
∵3k,4k,5k(k是正整数)是一组正整数,且$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$,
∴3k,4k,5k是一组勾股数.
(2)是勾股数.理由：
∵a,b,c是一组勾股数,
∴不妨设$a^2+b^2=c^2$.又ak,bk,ck(k是正整数)也是一组正整数，
$k^2a^2+k^2b^2=k^2c^2$,
∴$(ak)^2+(bk)^2=(ck)^2$.
∴ak,bk,ck(k是正整数)也是一组勾股数.
(3)
∵m表示大于1的整数,
∴由$a=2m,b=m^2-1,c=m^2+1$得到a,b,c均为正整数.
又$a^2+b^2=(2m)^2+(m^2-1)^2=4m^2+m^4-2m^2+1=m^4+2m^2+1$,$c^2=(m^2+1)^2=m^4+2m^2+1$,
∴$a^2+b^2=c^2$.
∴a,b,c为一组勾股数.
解析
【分析】
本题围绕勾股数的判定展开，解题核心是牢记勾股数的两个必备条件：①三个数均为正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时按照“先验证正整数属性，再验证平方和关系”的思路作答即可：(1)先明确3k、4k、5k均为正整数，再计算两个较小数的平方和，判断是否等于最大数的平方；(2)利用已知勾股数的平方关系，等式两边同乘k²后变形，同时确认ak、bk、ck均为正整数即可；(3)先由m的取值范围确定a、b、c均为正整数，再计算a²+b²，化简后与c²比较判断是否相等。
【解析】
(1) 3k,4k,5k(k是正整数)是一组勾股数，理由：
∵k是正整数，
∴3k,4k,5k都是正整数，
且$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$，
∴3k,4k,5k是一组勾股数。
(2) ak,bk,ck(k是正整数)是一组勾股数，理由：
∵a,b,c是一组勾股数，不妨设$a^2+b^2=c^2$，且a,b,c均为正整数，
又
∵k是正整数，
∴ak,bk,ck也都是正整数，
将$a^2+b^2=c^2$两边同时乘$k^2$，可得$k^2a^2+k^2b^2=k^2c^2$，
即$(ak)^2+(bk)^2=(ck)^2$，
∴ak,bk,ck(k是正整数)也是一组勾股数。
(3) a,b,c为一组勾股数，理由：
∵m表示大于1的整数，
∴$a=2m,b=m^2-1,c=m^2+1$均为正整数，
计算得：$a^2+b^2=(2m)^2+(m^2-1)^2=4m^2+m^4-2m^2+1=m^4+2m^2+1$，
$c^2=(m^2+1)^2=m^4+2m^2+1$，
∴$a^2+b^2=c^2$，
∴a,b,c为一组勾股数。
【答案】
(1)3k,4k,5k(k是正整数)是一组勾股数；(2)ak,bk,ck(k是正整数)是一组勾股数；(3)a,b,c为一组勾股数，理由详见解析。
【知识点】
勾股数的判定、完全平方公式、整式的运算
【点评】
本题设置由特殊到一般，既考查了勾股数的判定方法，也推导得出了勾股数的拓展性质和构造勾股数的常用公式，能加深学生对勾股数的理解，为后续勾股定理的应用打下基础。
【难度系数】
0.7
本题围绕勾股数的判定展开，解题核心是牢记勾股数的两个必备条件：①三个数均为正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时按照“先验证正整数属性，再验证平方和关系”的思路作答即可：(1)先明确3k、4k、5k均为正整数，再计算两个较小数的平方和，判断是否等于最大数的平方；(2)利用已知勾股数的平方关系，等式两边同乘k²后变形，同时确认ak、bk、ck均为正整数即可；(3)先由m的取值范围确定a、b、c均为正整数，再计算a²+b²，化简后与c²比较判断是否相等。
【解析】
(1) 3k,4k,5k(k是正整数)是一组勾股数，理由：
∵k是正整数，
∴3k,4k,5k都是正整数，
且$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$，
∴3k,4k,5k是一组勾股数。
(2) ak,bk,ck(k是正整数)是一组勾股数，理由：
∵a,b,c是一组勾股数，不妨设$a^2+b^2=c^2$，且a,b,c均为正整数，
又
∵k是正整数，
∴ak,bk,ck也都是正整数，
将$a^2+b^2=c^2$两边同时乘$k^2$，可得$k^2a^2+k^2b^2=k^2c^2$，
即$(ak)^2+(bk)^2=(ck)^2$，
∴ak,bk,ck(k是正整数)也是一组勾股数。
(3) a,b,c为一组勾股数，理由：
∵m表示大于1的整数，
∴$a=2m,b=m^2-1,c=m^2+1$均为正整数，
计算得：$a^2+b^2=(2m)^2+(m^2-1)^2=4m^2+m^4-2m^2+1=m^4+2m^2+1$，
$c^2=(m^2+1)^2=m^4+2m^2+1$，
∴$a^2+b^2=c^2$，
∴a,b,c为一组勾股数。
【答案】
(1)3k,4k,5k(k是正整数)是一组勾股数；(2)ak,bk,ck(k是正整数)是一组勾股数；(3)a,b,c为一组勾股数，理由详见解析。
【知识点】
勾股数的判定、完全平方公式、整式的运算
【点评】
本题设置由特殊到一般，既考查了勾股数的判定方法，也推导得出了勾股数的拓展性质和构造勾股数的常用公式，能加深学生对勾股数的理解，为后续勾股定理的应用打下基础。
【难度系数】
0.7
14.若$△ ABC$的三个顶点$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,则下列条件中能判定$△ ABC$是直角三角形的是 （
A.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$
B.$∠ A=25°,∠ B=75°$
C.$a=2,b=2,c=3$
D.$a=\sqrt{2},b=\sqrt{5},c=\sqrt{3}$
D
）A.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$
B.$∠ A=25°,∠ B=75°$
C.$a=2,b=2,c=3$
D.$a=\sqrt{2},b=\sqrt{5},c=\sqrt{3}$
答案
14.D
解析
【分析】
要判定△ABC是否为直角三角形，有两种常用方法：一是从角的角度判断，结合三角形内角和为180°，看是否存在90°的直角；二是从边的角度判断，用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。解题时只需逐个分析选项，排除不符合条件的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们依次对每个选项进行判断：
A选项：已知∠A:∠B:∠C=3:4:5，三角形内角和为180°，总份数为3+4+5=12，每份对应角度为180°÷12=15°，则三个内角分别为3×15°=45°、4×15°=60°、5×15°=75°，无直角，不是直角三角形，A错误。
B选项：已知∠A=25°，∠B=75°，则∠C=180°-25°-75°=80°，三个内角均为锐角，不是直角三角形，B错误。
C选项：三条边长a=2、b=2、c=3，最长边为c=3，计算得a²+b²=2²+2²=8，c²=3²=9，8≠9，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，C错误。
D选项：三条边长a=√2、b=√5、c=√3，最长边为b=√5，计算得a²+c²=(√2)²+(√3)²=2+3=5，b²=(√5)²=5，即a²+c²=b²，满足勾股定理逆定理，是直角三角形，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 勾股定理逆定理
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题，需要灵活运用角、边两种判定方法解题，使用勾股定理逆定理时要注意先确定最长边，再验证平方和关系，避免因边的顺序搞错导致计算错误。
【难度系数】
0.8
要判定△ABC是否为直角三角形，有两种常用方法：一是从角的角度判断，结合三角形内角和为180°，看是否存在90°的直角；二是从边的角度判断，用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。解题时只需逐个分析选项，排除不符合条件的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们依次对每个选项进行判断：
A选项：已知∠A:∠B:∠C=3:4:5，三角形内角和为180°，总份数为3+4+5=12，每份对应角度为180°÷12=15°，则三个内角分别为3×15°=45°、4×15°=60°、5×15°=75°，无直角，不是直角三角形，A错误。
B选项：已知∠A=25°，∠B=75°，则∠C=180°-25°-75°=80°，三个内角均为锐角，不是直角三角形，B错误。
C选项：三条边长a=2、b=2、c=3，最长边为c=3，计算得a²+b²=2²+2²=8，c²=3²=9，8≠9，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，C错误。
D选项：三条边长a=√2、b=√5、c=√3，最长边为b=√5，计算得a²+c²=(√2)²+(√3)²=2+3=5，b²=(√5)²=5，即a²+c²=b²，满足勾股定理逆定理，是直角三角形，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 勾股定理逆定理
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题，需要灵活运用角、边两种判定方法解题，使用勾股定理逆定理时要注意先确定最长边，再验证平方和关系，避免因边的顺序搞错导致计算错误。
【难度系数】
0.8
15. 在如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,A,B,C三点均在正方形格点上,则下列结论错误的是
(
A.$AB=2\sqrt{5}$
B.$∠ BAC=90°$
C.$S_{△ ABC}=\frac{11}{2}$
D.点A到直线BC的距离是2
(
C
)A.$AB=2\sqrt{5}$
B.$∠ BAC=90°$
C.$S_{△ ABC}=\frac{11}{2}$
D.点A到直线BC的距离是2
答案
15.C
解析
【分析】
这道题是网格背景下的三角形性质判断类题目，解题时需逐个验证选项：①用勾股定理计算各边长度，验证AB的长度是否符合A选项；②用勾股逆定理判断△ABC是否为直角三角形，验证B选项；③用直角三角形面积公式或割补法计算△ABC的面积，验证C选项；④用等面积法计算点A到直线BC的距离，验证D选项，最终找出错误结论。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 验证A选项：由勾股定理，AB的横向间隔为4，纵向间隔为2，因此$AB=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，A选项结论正确。
2. 验证B选项：同理计算得$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$。因为$AC^2+AB^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=5+20=25=BC^2$，根据勾股逆定理可得$∠BAC=90°$，B选项结论正确。
3. 验证C选项：△ABC是直角三角形，直角边为AC、AB，因此$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×AB=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5≠\frac{11}{2}$，C选项结论错误。
4. 验证D选项：设点A到直线BC的距离为d，由三角形面积公式可得$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×d$，代入数值得$5=\frac{1}{2}×5×d$，解得$d=2$，D选项结论正确。
综上，结论错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理及逆定理，三角形面积计算，点到直线的距离
【点评】
本题属于网格几何的基础综合题，解题核心是灵活运用勾股定理计算边长，结合勾股逆定理、等面积法完成各结论的验证，考查学生的基础几何计算能力。
【难度系数】
0.7
这道题是网格背景下的三角形性质判断类题目，解题时需逐个验证选项：①用勾股定理计算各边长度，验证AB的长度是否符合A选项；②用勾股逆定理判断△ABC是否为直角三角形，验证B选项；③用直角三角形面积公式或割补法计算△ABC的面积，验证C选项；④用等面积法计算点A到直线BC的距离，验证D选项，最终找出错误结论。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 验证A选项：由勾股定理，AB的横向间隔为4，纵向间隔为2，因此$AB=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，A选项结论正确。
2. 验证B选项：同理计算得$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$。因为$AC^2+AB^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=5+20=25=BC^2$，根据勾股逆定理可得$∠BAC=90°$，B选项结论正确。
3. 验证C选项：△ABC是直角三角形，直角边为AC、AB，因此$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×AB=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5≠\frac{11}{2}$，C选项结论错误。
4. 验证D选项：设点A到直线BC的距离为d，由三角形面积公式可得$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×d$，代入数值得$5=\frac{1}{2}×5×d$，解得$d=2$，D选项结论正确。
综上，结论错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理及逆定理，三角形面积计算，点到直线的距离
【点评】
本题属于网格几何的基础综合题，解题核心是灵活运用勾股定理计算边长，结合勾股逆定理、等面积法完成各结论的验证，考查学生的基础几何计算能力。
【难度系数】
0.7
16.不少家长在选择婴儿车时,不仅关注其舒适性、便捷性,还关注婴儿车的安全性.如图所示的是其简化结构示意图.在某校综合与实践活动中,同学们帮助工作人员进行了测量,得到如下数据:$AB=CD=10\ \mathrm{dm}$,$BC=5\ \mathrm{dm}$,$AD=15\ \mathrm{dm}$,其中$AB$与$BD$之间由一个固定角为$90°$的零件连接(即$∠ ABD=90°$).根据安全标准需满足$BC⊥ CD$,请你通过计算说明该车是否符合安全标准.
答案
16.解:在△ABD中,$∠ABD=90°$,$AB=10\ \mathrm{dm}$,$AD=15\ \mathrm{dm}$,
根据勾股定理,得$BD^2=AD^2-AB^2=15^2-10^2=125$.
在△BCD中,$BC^2+CD^2=5^2+10^2=125$,
∴$BC^2+CD^2=BD^2$.
∴△BCD是直角三角形,且$∠BCD=90°$.
∴$BC⊥CD$.
∴该婴儿车符合安全标准.
根据勾股定理,得$BD^2=AD^2-AB^2=15^2-10^2=125$.
在△BCD中,$BC^2+CD^2=5^2+10^2=125$,
∴$BC^2+CD^2=BD^2$.
∴△BCD是直角三角形,且$∠BCD=90°$.
∴$BC⊥CD$.
∴该婴儿车符合安全标准.
解析
【分析】
要判断该车是否符合安全标准，本质是验证∠BCD是否为90°，即判断△BCD是否为直角三角形。根据勾股定理的逆定理，我们需要知道△BCD三边的平方关系，目前已知BC和CD的长度，缺少BD的长度，因此先从已知的Rt△ABD入手，利用勾股定理求出BD²，再代入验证BC²+CD²是否等于BD²即可。
【解析】
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，AB=10 dm，AD=15 dm，
根据勾股定理可得：$BD^2=AD^2-AB^2=15^2-10^2=225-100=125$。
在△BCD中，已知BC=5 dm，CD=10 dm，
计算得$BC^2+CD^2=5^2+10^2=25+100=125$，
因此$BC^2+CD^2=BD^2$，
根据勾股定理的逆定理可知，△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，即BC⊥CD。
【答案】
该婴儿车符合安全标准。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题结合生活实际场景考查勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是明确求解目标，通过公共边BD将两个三角形的边长关系关联起来，既考查了基础定理的掌握，也锻炼了用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
要判断该车是否符合安全标准，本质是验证∠BCD是否为90°，即判断△BCD是否为直角三角形。根据勾股定理的逆定理，我们需要知道△BCD三边的平方关系，目前已知BC和CD的长度，缺少BD的长度，因此先从已知的Rt△ABD入手，利用勾股定理求出BD²，再代入验证BC²+CD²是否等于BD²即可。
【解析】
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，AB=10 dm，AD=15 dm，
根据勾股定理可得：$BD^2=AD^2-AB^2=15^2-10^2=225-100=125$。
在△BCD中，已知BC=5 dm，CD=10 dm，
计算得$BC^2+CD^2=5^2+10^2=25+100=125$，
因此$BC^2+CD^2=BD^2$，
根据勾股定理的逆定理可知，△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，即BC⊥CD。
【答案】
该婴儿车符合安全标准。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题结合生活实际场景考查勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是明确求解目标，通过公共边BD将两个三角形的边长关系关联起来，既考查了基础定理的掌握，也锻炼了用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
