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8. 已知$△ ABC$，$AB=5$，$BC=12$，$AC=13$，点$P$是$AC$上的一个动点，则线段$BP$长的最小值是________.
答案
8.$\frac{60}{13}$
解析
【分析】
首先根据三角形三边长度，先通过勾股定理逆定理判断三角形的形状，确定为直角三角形后，根据“点到直线的所有线段中，垂线段最短”的性质，可知当BP垂直于AC时，BP的长度最小，最后利用直角三角形面积的两种计算方法建立等式，即可求出BP的最小值。
【解析】
1. 判定△ABC的形状：
已知AB=5，BC=12，AC=13，计算得：
$AB^2+BC^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AC^2=13^2=169$
因此$AB^2+BC^2=AC^2$，根据勾股定理逆定理可得，△ABC是直角三角形，且$∠ ABC=90°$。
2. 确定BP最短的情况：
根据垂线段最短的性质，当$BP⊥ AC$时，线段BP的长度最小，此时BP为AC边上的高。
3. 用面积法计算BP的长度：
直角三角形的面积可表示为两直角边乘积的一半，也可表示为斜边乘斜边上高的一半，因此有：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}× AC× BP$
代入数值：$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13× BP$
化简得：$60=13BP$，解得$BP=\frac{60}{13}$。
【答案】
$\frac{60}{13}$
【知识点】
勾股定理逆定理，垂线段最短，面积法求高
【点评】
本题是几何最值的基础考查题型，解题的关键是先判断三角形的形状，再结合垂线段最短确定最短路径的位置，用面积法计算高的方法能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
首先根据三角形三边长度，先通过勾股定理逆定理判断三角形的形状，确定为直角三角形后，根据“点到直线的所有线段中，垂线段最短”的性质，可知当BP垂直于AC时，BP的长度最小，最后利用直角三角形面积的两种计算方法建立等式，即可求出BP的最小值。
【解析】
1. 判定△ABC的形状：
已知AB=5，BC=12，AC=13，计算得：
$AB^2+BC^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AC^2=13^2=169$
因此$AB^2+BC^2=AC^2$，根据勾股定理逆定理可得，△ABC是直角三角形，且$∠ ABC=90°$。
2. 确定BP最短的情况：
根据垂线段最短的性质，当$BP⊥ AC$时，线段BP的长度最小，此时BP为AC边上的高。
3. 用面积法计算BP的长度：
直角三角形的面积可表示为两直角边乘积的一半，也可表示为斜边乘斜边上高的一半，因此有：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}× AC× BP$
代入数值：$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13× BP$
化简得：$60=13BP$，解得$BP=\frac{60}{13}$。
【答案】
$\frac{60}{13}$
【知识点】
勾股定理逆定理，垂线段最短，面积法求高
【点评】
本题是几何最值的基础考查题型，解题的关键是先判断三角形的形状，再结合垂线段最短确定最短路径的位置，用面积法计算高的方法能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
9. 当$m＞0$时，若一个三角形的三边长分别为$3,m+2,m+3$，则当$m=$
2
时，此三角形是直角三角形。答案
9.2
解析
【分析】
要判断三角形为直角三角形，首先需结合m＞0的条件确定最长边，直角三角形中最长边为斜边，再根据勾股定理（两条直角边的平方和等于斜边的平方）列出关于m的方程，求解后验证结果符合题设条件即可。
【解析】
解：
∵m＞0，
∴m+3 ＞ m+2，且m+3 ＞ 3，即边长为m+3的边是三角形的最长边，
若该三角形为直角三角形，则m+3为斜边长，根据勾股定理得：
$3^2 + (m+2)^2 = (m+3)^2$
展开得：$9 + m^2 + 4m + 4 = m^2 + 6m + 9$
整理得：$2m = 4$
解得：$m=2$
检验：当m=2时，三边长分别为3、4、5，满足三角形三边关系，且符合直角三角形条件，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的解法；三角形三边关系
【点评】
本题核心是勾股定理的应用，解题的关键是先正确判定直角三角形的斜边，避免因错判斜边列出错误方程，求解后注意验证结果是否满足题设要求。
【难度系数】
0.7
要判断三角形为直角三角形，首先需结合m＞0的条件确定最长边，直角三角形中最长边为斜边，再根据勾股定理（两条直角边的平方和等于斜边的平方）列出关于m的方程，求解后验证结果符合题设条件即可。
【解析】
解：
∵m＞0，
∴m+3 ＞ m+2，且m+3 ＞ 3，即边长为m+3的边是三角形的最长边，
若该三角形为直角三角形，则m+3为斜边长，根据勾股定理得：
$3^2 + (m+2)^2 = (m+3)^2$
展开得：$9 + m^2 + 4m + 4 = m^2 + 6m + 9$
整理得：$2m = 4$
解得：$m=2$
检验：当m=2时，三边长分别为3、4、5，满足三角形三边关系，且符合直角三角形条件，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的解法；三角形三边关系
【点评】
本题核心是勾股定理的应用，解题的关键是先正确判定直角三角形的斜边，避免因错判斜边列出错误方程，求解后注意验证结果是否满足题设要求。
【难度系数】
0.7
10. 如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图,在距离洗手台面22 cm的点C处连接着出水口D所在的水管,水管AB上的点E处安装有红外线感应装置.已知出水口D到点C的距离CD为15 cm,出水口D到点E的距离为17 cm,且$CD⊥AB$,则红外线感应装置距离洗手台面的高度BE为
14
cm.答案
10.14
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，由$CD ⊥ AB$可知$△ DCE$是直角三角形，先利用勾股定理求出直角边$CE$的长度，再结合点$C$到洗手台面的距离为22cm（即线段$BC$长为22cm），通过线段的和差关系即可求出$BE$的长度。
【解析】
$\because CD ⊥ AB$
$\therefore ∠ DCE=90°$，$△ DCE$为直角三角形
在$Rt△ DCE$中，$CD=15\mathrm{cm}$，$DE=17\mathrm{cm}$，根据勾股定理得：
$CE=\sqrt{DE^2-CD^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8\mathrm{cm}$
已知点$C$距离洗手台面的高度为22cm，即$BC=22\mathrm{cm}$
$\therefore BE=BC-CE=22-8=14\mathrm{cm}$
【答案】
14
【知识点】
勾股定理的应用，线段和差计算
【点评】
本题将生活中的实际场景转化为几何计算问题，解题核心是识别出直角三角形，结合勾股定理求解边长，再利用线段的和差关系得到最终结果，考查了知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征，由$CD ⊥ AB$可知$△ DCE$是直角三角形，先利用勾股定理求出直角边$CE$的长度，再结合点$C$到洗手台面的距离为22cm（即线段$BC$长为22cm），通过线段的和差关系即可求出$BE$的长度。
【解析】
$\because CD ⊥ AB$
$\therefore ∠ DCE=90°$，$△ DCE$为直角三角形
在$Rt△ DCE$中，$CD=15\mathrm{cm}$，$DE=17\mathrm{cm}$，根据勾股定理得：
$CE=\sqrt{DE^2-CD^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8\mathrm{cm}$
已知点$C$距离洗手台面的高度为22cm，即$BC=22\mathrm{cm}$
$\therefore BE=BC-CE=22-8=14\mathrm{cm}$
【答案】
14
【知识点】
勾股定理的应用，线段和差计算
【点评】
本题将生活中的实际场景转化为几何计算问题，解题核心是识别出直角三角形，结合勾股定理求解边长，再利用线段的和差关系得到最终结果，考查了知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.8
11. 如图所示,在四边形ABCD中,AB=20,BC=16,CD=15,AD=9,AC⊥BC.求AC的长和四边形ABCD的面积.
答案
11.解:
∵AC⊥BC,
∴△ABC是直角三角形.
∵AB=20,BC=16,
∴AC²=AB²−BC²=20²−16²=144.
∴AC=12.
∵CD²=225,AD²=81,
∴CD²=AC²+AD².
∴△ACD是直角三角形.
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC· BC+\frac{1}{2}AC· AD=\frac{1}{2}×12×16+\frac{1}{2}×12×9=150$.
∴四边形ABCD的面积为150.
∵AC⊥BC,
∴△ABC是直角三角形.
∵AB=20,BC=16,
∴AC²=AB²−BC²=20²−16²=144.
∴AC=12.
∵CD²=225,AD²=81,
∴CD²=AC²+AD².
∴△ACD是直角三角形.
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ABC}+S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC· BC+\frac{1}{2}AC· AD=\frac{1}{2}×12×16+\frac{1}{2}×12×9=150$.
∴四边形ABCD的面积为150.
解析
【分析】
解题时先结合已知条件AC⊥BC，确定△ABC是直角三角形，已知该直角三角形的斜边AB和直角边BC，可直接用勾股定理求出AC的长度；得到AC的长度后，观察△ACD的三边长度，通过勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，若为直角三角形，四边形ABCD的面积就等于这两个直角三角形的面积之和，分别计算两个三角形的面积再相加即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，AB=20，BC=16，
由勾股定理得：$AC^2=AB^2-BC^2=20^2-16^2=400-256=144$，
∴AC=12（边长为正数，舍去负根）。
在△ACD中，AD=9，CD=15，AC=12，
∵$AD^2+AC^2=9^2+12^2=81+144=225$，$CD^2=15^2=225$，
∴$AD^2+AC^2=CD^2$，
∴△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°。
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}×AC×BC+\frac{1}{2}×AC×AD$
$=\frac{1}{2}×12×16+\frac{1}{2}×12×9$
$=96+54$
$=150$
【答案】
AC的长为12，四边形ABCD的面积为150。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；图形面积计算
【点评】
本题是勾股定理相关的基础应用题，解题核心是将不规则的四边形分割为两个直角三角形，通过勾股定理求边长、勾股定理逆定理判定直角三角形，进而分别计算面积求和，解题时要注意正确判定直角三角形的直角位置，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件AC⊥BC，确定△ABC是直角三角形，已知该直角三角形的斜边AB和直角边BC，可直接用勾股定理求出AC的长度；得到AC的长度后，观察△ACD的三边长度，通过勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，若为直角三角形，四边形ABCD的面积就等于这两个直角三角形的面积之和，分别计算两个三角形的面积再相加即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，AB=20，BC=16，
由勾股定理得：$AC^2=AB^2-BC^2=20^2-16^2=400-256=144$，
∴AC=12（边长为正数，舍去负根）。
在△ACD中，AD=9，CD=15，AC=12，
∵$AD^2+AC^2=9^2+12^2=81+144=225$，$CD^2=15^2=225$，
∴$AD^2+AC^2=CD^2$，
∴△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°。
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}×AC×BC+\frac{1}{2}×AC×AD$
$=\frac{1}{2}×12×16+\frac{1}{2}×12×9$
$=96+54$
$=150$
【答案】
AC的长为12，四边形ABCD的面积为150。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；图形面积计算
【点评】
本题是勾股定理相关的基础应用题，解题核心是将不规则的四边形分割为两个直角三角形，通过勾股定理求边长、勾股定理逆定理判定直角三角形，进而分别计算面积求和，解题时要注意正确判定直角三角形的直角位置，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
12. 如图所示,某小区准备在一块直角三角形土地上规划出图中阴影部分作为草坪.已知$∠ ABC=90°,AB=5,AC=13$.根据规划要求,$AE=4,BE=3$.
(1)试判断$△ AEB$的形状,并说明理由;
(2)计算图中阴影部分的面积.
(1)试判断$△ AEB$的形状,并说明理由;
(2)计算图中阴影部分的面积.
答案
12.解:(1)△AEB是直角三角形.理由如下：
∵AE²+BE²=4²+3²=25=AB²,
∴△AEB是直角三角形.
(2)由勾股定理,得$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$,
∴图中阴影部分的面积=$\frac{1}{2}BC· AB-\frac{1}{2}AE· BE=\frac{1}{2}×12×5-\frac{1}{2}×4×3=24$.
∵AE²+BE²=4²+3²=25=AB²,
∴△AEB是直角三角形.
(2)由勾股定理,得$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$,
∴图中阴影部分的面积=$\frac{1}{2}BC· AB-\frac{1}{2}AE· BE=\frac{1}{2}×12×5-\frac{1}{2}×4×3=24$.
解析
【分析】
(1) 判断三角形形状时，若已知三角形三边长度，可优先考虑勾股定理的逆定理：若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。本题已知△AEB的三边长，只需计算验证三边的平方关系即可得出结论。
(2) 阴影部分为不规则图形，观察图形可知阴影面积等于直角△ABC的面积减去空白△AEB的面积。首先用勾股定理求出△ABC的直角边BC的长度，再分别计算两个三角形的面积，作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
(1) △AEB是直角三角形，理由如下：
已知$AE=4$，$BE=3$，$AB=5$，
∵$AE^2+BE^2=4^2+3^2=16+9=25$，$AB^2=5^2=25$，
∴$AE^2+BE^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得△AEB是直角三角形。
(2) 在$Rt△ABC$中，$∠ABC=90°$，$AB=5$，$AC=13$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$，
阴影部分的面积$=S_{△ABC}-S_{△AEB}$
$=\frac{1}{2}×BC×AB-\frac{1}{2}×AE×BE$
$=\frac{1}{2}×12×5-\frac{1}{2}×4×3$
$=30-6$
$=24$
【答案】
(1) $△ AEB$是直角三角形；(2) 阴影部分的面积为$\boxed{24}$。
【知识点】
勾股定理逆定理、勾股定理、三角形面积计算
【点评】
本题属于几何基础题，考查勾股定理及其逆定理的应用，不规则图形面积常用割补法转化为规则图形的面积差求解，核心是对基础定理的理解和灵活运用。
【难度系数】
0.7
(1) 判断三角形形状时，若已知三角形三边长度，可优先考虑勾股定理的逆定理：若三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。本题已知△AEB的三边长，只需计算验证三边的平方关系即可得出结论。
(2) 阴影部分为不规则图形，观察图形可知阴影面积等于直角△ABC的面积减去空白△AEB的面积。首先用勾股定理求出△ABC的直角边BC的长度，再分别计算两个三角形的面积，作差即可得到阴影部分的面积。
【解析】
(1) △AEB是直角三角形，理由如下：
已知$AE=4$，$BE=3$，$AB=5$，
∵$AE^2+BE^2=4^2+3^2=16+9=25$，$AB^2=5^2=25$，
∴$AE^2+BE^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得△AEB是直角三角形。
(2) 在$Rt△ABC$中，$∠ABC=90°$，$AB=5$，$AC=13$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$，
阴影部分的面积$=S_{△ABC}-S_{△AEB}$
$=\frac{1}{2}×BC×AB-\frac{1}{2}×AE×BE$
$=\frac{1}{2}×12×5-\frac{1}{2}×4×3$
$=30-6$
$=24$
【答案】
(1) $△ AEB$是直角三角形；(2) 阴影部分的面积为$\boxed{24}$。
【知识点】
勾股定理逆定理、勾股定理、三角形面积计算
【点评】
本题属于几何基础题，考查勾股定理及其逆定理的应用，不规则图形面积常用割补法转化为规则图形的面积差求解，核心是对基础定理的理解和灵活运用。
【难度系数】
0.7
