登录
1. 下列各组数据中,能作为直角三角形的三边长的是 （
A.9,40,41
B.$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}$
C.2,7,9
D.10,20,30
A
）A.9,40,41
B.$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}$
C.2,7,9
D.10,20,30
答案
1.A
解析
【分析】
这道题考查直角三角形三边的判定，解题核心是运用勾股定理的逆定理：若三角形三条边满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形。解题时先对每组三个数按从小到大排序，找到最长边，再分别计算两短边的平方和、最长边的平方，比较二者是否相等即可，同时还要注意三个数首先要满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）才能构成三角形。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，逐一判断选项：
A选项：三边长为9，40，41，最长边为41。
计算两短边平方和：$9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$，
最长边平方：$41^2 = 1681$，二者相等，符合勾股定理逆定理，能作为直角三角形三边长。
B选项：三边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{4}=2$，最长边为2。
两短边平方和：$(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 = 2 + 3 = 5$，
最长边平方：$2^2 = 4$，$5≠4$，不符合要求。
C选项：三边长为2，7，9，最长边为9。
两短边平方和：$2^2 +7^2 =4 +49=53$，
最长边平方：$9^2=81$，$53≠81$，不符合要求。
D选项：三边长为10，20，30，$10+20=30$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，不符合要求。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理、平方运算、三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握勾股定理逆定理的内容，判断时优先确定最长边再进行平方运算验证，同时不要忽略构成三角形的前提条件。
【难度系数】
0.8
这道题考查直角三角形三边的判定，解题核心是运用勾股定理的逆定理：若三角形三条边满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形。解题时先对每组三个数按从小到大排序，找到最长边，再分别计算两短边的平方和、最长边的平方，比较二者是否相等即可，同时还要注意三个数首先要满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）才能构成三角形。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，逐一判断选项：
A选项：三边长为9，40，41，最长边为41。
计算两短边平方和：$9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$，
最长边平方：$41^2 = 1681$，二者相等，符合勾股定理逆定理，能作为直角三角形三边长。
B选项：三边长为$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{4}=2$，最长边为2。
两短边平方和：$(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 = 2 + 3 = 5$，
最长边平方：$2^2 = 4$，$5≠4$，不符合要求。
C选项：三边长为2，7，9，最长边为9。
两短边平方和：$2^2 +7^2 =4 +49=53$，
最长边平方：$9^2=81$，$53≠81$，不符合要求。
D选项：三边长为10，20，30，$10+20=30$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，不符合要求。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的逆定理、平方运算、三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握勾股定理逆定理的内容，判断时优先确定最长边再进行平方运算验证，同时不要忽略构成三角形的前提条件。
【难度系数】
0.8
2.下列各组数中,是勾股数的是 （
A.$0.6,0.8,1$
B.$1,2,\sqrt{3}$
C.$4,5,7$
D.$7,24,25$
D
）A.$0.6,0.8,1$
B.$1,2,\sqrt{3}$
C.$4,5,7$
D.$7,24,25$
答案
2.D
解析
【分析】
要判断一组数是不是勾股数，首先要明确勾股数的两个判定条件：①三个数都必须是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方，两个条件缺一不可。解题时先根据“正整数”的条件排除不符合的选项，再验证剩余选项是否满足勾股定理即可。
【解析】
勾股数的定义为：满足勾股定理（即两个较小数的平方和等于最大数的平方）的三个正整数叫做勾股数。
对各选项逐一分析：
A选项：0.6、0.8、1均不是正整数，不符合勾股数定义，排除；
B选项：$\sqrt{3}$不是正整数，不符合勾股数定义，排除；
C选项：$4^2+5^2=16+25=41$，$7^2=49$，$41≠49$，不满足勾股定理，排除；
D选项：$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，即$7^2+24^2=25^2$，且7、24、25均为正整数，符合勾股数定义。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义、勾股定理
【点评】
本题考查勾股数的判定，解题时要注意不要忽略“三个数均为正整数”这个必要前提，再结合勾股定理验证即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要判断一组数是不是勾股数，首先要明确勾股数的两个判定条件：①三个数都必须是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方，两个条件缺一不可。解题时先根据“正整数”的条件排除不符合的选项，再验证剩余选项是否满足勾股定理即可。
【解析】
勾股数的定义为：满足勾股定理（即两个较小数的平方和等于最大数的平方）的三个正整数叫做勾股数。
对各选项逐一分析：
A选项：0.6、0.8、1均不是正整数，不符合勾股数定义，排除；
B选项：$\sqrt{3}$不是正整数，不符合勾股数定义，排除；
C选项：$4^2+5^2=16+25=41$，$7^2=49$，$41≠49$，不满足勾股定理，排除；
D选项：$7^2+24^2=49+576=625$，$25^2=625$，即$7^2+24^2=25^2$，且7、24、25均为正整数，符合勾股数定义。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义、勾股定理
【点评】
本题考查勾股数的判定，解题时要注意不要忽略“三个数均为正整数”这个必要前提，再结合勾股定理验证即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
3. 已知某三角形的三边长分别是9 cm,12 cm,15 cm,则该三角形是 （
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
B
）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案
3.B
解析
【分析】
要判断三角形的形状，首先观察三边长是否相等，可先排除等腰三角形；再利用勾股定理的逆定理判断角的类型：先确定最长边，再计算两条较短边的平方和，将其与最长边的平方对比，若二者相等则为直角三角形，若短边平方和大于长边平方为锐角三角形，小于则为钝角三角形。
【解析】
第一步：观察三边长9cm、12cm、15cm，三边长均不相等，可排除D选项等腰三角形。
第二步：确定最长边为15cm，计算两条短边的平方和：
$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
第三步：计算最长边的平方：
$15^2 = 225$
可得$9^2 + 12^2 = 15^2$，符合勾股定理的逆定理，因此该三角形是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形分类
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题时优先确定最长边，再验证三边的平方关系即可快速得出结论。
【难度系数】
0.85
要判断三角形的形状，首先观察三边长是否相等，可先排除等腰三角形；再利用勾股定理的逆定理判断角的类型：先确定最长边，再计算两条较短边的平方和，将其与最长边的平方对比，若二者相等则为直角三角形，若短边平方和大于长边平方为锐角三角形，小于则为钝角三角形。
【解析】
第一步：观察三边长9cm、12cm、15cm，三边长均不相等，可排除D选项等腰三角形。
第二步：确定最长边为15cm，计算两条短边的平方和：
$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
第三步：计算最长边的平方：
$15^2 = 225$
可得$9^2 + 12^2 = 15^2$，符合勾股定理的逆定理，因此该三角形是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形分类
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题时优先确定最长边，再验证三边的平方关系即可快速得出结论。
【难度系数】
0.85
4. 如图所示,小亮家的木门左下角有一点受潮,他想检测门是否变形,准备采用如下方法:先测量门的边 AB 和 BC 的长,再测量点 A 和点 C 间的距离,由此可推断$∠ B$是否为直角.这样做的依据是 （
A.勾股定理
B.三角形内角和定理
C.勾股定理的逆定理
D.直角三角形的两锐角互余
C
）A.勾股定理
B.三角形内角和定理
C.勾股定理的逆定理
D.直角三角形的两锐角互余
答案
4.C
解析
【分析】要判断∠B是否为直角，本质是判断以AB、BC为边的△ABC是否为直角三角形且直角在B点。解题时需明确定理的适用场景：勾股定理是已知直角三角形推导边的数量关系，而勾股定理的逆定理是通过三边的数量关系判定三角形是否为直角三角形，本题属于后者的应用场景，通过测量三边长度即可判定∠B是否为直角。
【解析】测量得到△ABC的三边AB、BC、AC的长度后，若满足$AB^2 + BC^2 = AC^2$，根据勾股定理的逆定理，可判定△ABC为直角三角形，且最长边AC所对的角∠B为直角；若不满足上述关系，则∠B不是直角，因此该检测方法的依据是勾股定理的逆定理。故选C。
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】本题结合生活实际考查数学定理的应用，解题核心是区分勾股定理和其逆定理的适用条件，根据题目中“由边长判断直角”的需求选择对应定理即可，出题形式贴近生活，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】测量得到△ABC的三边AB、BC、AC的长度后，若满足$AB^2 + BC^2 = AC^2$，根据勾股定理的逆定理，可判定△ABC为直角三角形，且最长边AC所对的角∠B为直角；若不满足上述关系，则∠B不是直角，因此该检测方法的依据是勾股定理的逆定理。故选C。
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】本题结合生活实际考查数学定理的应用，解题核心是区分勾股定理和其逆定理的适用条件，根据题目中“由边长判断直角”的需求选择对应定理即可，出题形式贴近生活，难度较低。
【难度系数】0.9
5.若3,4,a为勾股数,则a的值为 （
A.$\sqrt{7}$
B.5
C.5或7
D.5或$\sqrt{7}$
B
）A.$\sqrt{7}$
B.5
C.5或7
D.5或$\sqrt{7}$
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先要明确勾股数的核心特征：一是满足勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方），二是三个数均为正整数。其次直角三角形中斜边是最长边，因此本题需分两种情况讨论：a为斜边、4为斜边，计算后结合勾股数是正整数的要求筛选符合条件的结果即可。
【解析】
勾股数是指满足勾股定理的三个正整数，解题步骤如下：
1. 情况一：若a为斜边（最长边）
根据勾股定理可得：$a^2=3^2+4^2=9+16=25$
解得$a=5$，5是正整数，符合勾股数要求。
2. 情况二：若4为斜边（最长边）
根据勾股定理可得：$a^2=4^2-3^2=16-9=7$
解得$a=\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$不是正整数，不符合勾股数的定义，舍去。
综上，a的值为5，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理
【点评】
本题的易错点是忽略勾股数必须为正整数的要求，直接按勾股定理计算出两个结果错选D，解题时要先明确概念，再分类讨论斜边的不同情况，避免多解。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确勾股数的核心特征：一是满足勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方），二是三个数均为正整数。其次直角三角形中斜边是最长边，因此本题需分两种情况讨论：a为斜边、4为斜边，计算后结合勾股数是正整数的要求筛选符合条件的结果即可。
【解析】
勾股数是指满足勾股定理的三个正整数，解题步骤如下：
1. 情况一：若a为斜边（最长边）
根据勾股定理可得：$a^2=3^2+4^2=9+16=25$
解得$a=5$，5是正整数，符合勾股数要求。
2. 情况二：若4为斜边（最长边）
根据勾股定理可得：$a^2=4^2-3^2=16-9=7$
解得$a=\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$不是正整数，不符合勾股数的定义，舍去。
综上，a的值为5，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理
【点评】
本题的易错点是忽略勾股数必须为正整数的要求，直接按勾股定理计算出两个结果错选D，解题时要先明确概念，再分类讨论斜边的不同情况，避免多解。
【难度系数】
0.6
6. 如图所示,已知每个小正方形的边长均为1,若A,B,C是小正方形的顶点,则∠CAB的度数为 （
A.$60°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$90°$
B
）A.$60°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$90°$
答案
6.B
解析
【分析】
要求∠CAB的度数，我们可以先连接BC构造△ABC，再利用勾股定理分别计算△ABC三边的长度，随后通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，结合边长相等的特征即可求出角的度数。
【解析】
连接BC，已知每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各边长度：
1. 计算AC的长度：AC所在直角三角形的两条直角边长分别为1、2，因此$AC^2 = 1^2 + 2^2 = 5$，即$AC=\sqrt{5}$；
2. 计算BC的长度：BC所在直角三角形的两条直角边长分别为1、2，因此$BC^2 = 1^2 + 2^2 = 5$，即$BC=\sqrt{5}$；
3. 计算AB的长度：AB所在直角三角形的两条直角边长分别为1、3，因此$AB^2 = 1^2 + 3^2 = 10$。
由上述计算可知：$AC^2 + BC^2 = 5+5=10 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。又因为$AC=BC=\sqrt{5}$，所以△ABC是等腰直角三角形，因此$∠ CAB=45°$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形性质
【点评】
本题解题的核心是通过添加辅助线构造三角形，将求角度的问题转化为判断三角形形状的问题，结合勾股定理相关知识即可求解，有助于提升学生数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
要求∠CAB的度数，我们可以先连接BC构造△ABC，再利用勾股定理分别计算△ABC三边的长度，随后通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，结合边长相等的特征即可求出角的度数。
【解析】
连接BC，已知每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各边长度：
1. 计算AC的长度：AC所在直角三角形的两条直角边长分别为1、2，因此$AC^2 = 1^2 + 2^2 = 5$，即$AC=\sqrt{5}$；
2. 计算BC的长度：BC所在直角三角形的两条直角边长分别为1、2，因此$BC^2 = 1^2 + 2^2 = 5$，即$BC=\sqrt{5}$；
3. 计算AB的长度：AB所在直角三角形的两条直角边长分别为1、3，因此$AB^2 = 1^2 + 3^2 = 10$。
由上述计算可知：$AC^2 + BC^2 = 5+5=10 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。又因为$AC=BC=\sqrt{5}$，所以△ABC是等腰直角三角形，因此$∠ CAB=45°$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形性质
【点评】
本题解题的核心是通过添加辅助线构造三角形，将求角度的问题转化为判断三角形形状的问题，结合勾股定理相关知识即可求解，有助于提升学生数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
7.若$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，且满足$|a - 5| + |b - 12| + (c - 13)^2 = 0$，则$△ ABC$是________三角形。
答案
7.直角
解析
【分析】
本题可分两步思考：第一步，根据绝对值、平方数的非负性，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此求出a、b、c三边的长度；第二步，结合勾股定理的逆定理，验证三边的平方关系，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵绝对值和平方数都是非负数，
∴|a-5|≥0，|b-12|≥0，(c-13)²≥0，
又
∵|a - 5| + |b - 12|$ + (c - 13)^2 = 0$，
∴每个非负数的值都为0，即：
a-5=0，解得a=5；
b-12=0，解得b=12；
c-13=0，解得c=13。
计算三边的平方可得：
a²=5²=25，b²=12²=144，c²=13²=169，
∵25+144=169，即a²+b²=c²，
根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
非负数的性质、勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础常考题，解题的核心是先利用非负数的性质求出三角形三边长，再通过勾股定理的逆定理判定三角形形状，难度不大。
【难度系数】
0.8
本题可分两步思考：第一步，根据绝对值、平方数的非负性，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此求出a、b、c三边的长度；第二步，结合勾股定理的逆定理，验证三边的平方关系，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵绝对值和平方数都是非负数，
∴|a-5|≥0，|b-12|≥0，(c-13)²≥0，
又
∵|a - 5| + |b - 12|$ + (c - 13)^2 = 0$，
∴每个非负数的值都为0，即：
a-5=0，解得a=5；
b-12=0，解得b=12；
c-13=0，解得c=13。
计算三边的平方可得：
a²=5²=25，b²=12²=144，c²=13²=169，
∵25+144=169，即a²+b²=c²，
根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
非负数的性质、勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础常考题，解题的核心是先利用非负数的性质求出三角形三边长，再通过勾股定理的逆定理判定三角形形状，难度不大。
【难度系数】
0.8
