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17.定义:如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长,那么这个三角形叫"恰等三角形",这条中线叫"恰等中线".
【直角三角形中的"恰等中线"】
(1)如图所示,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,AC=\sqrt{12},BC=4,AM$为$△ ABC$的中线,求证:$AM$是"恰等中线";
【等腰三角形中的"恰等中线"】
(2)已知等腰三角形$ABC$是"恰等三角形",$AB=AC=40$,求底边$BC$的长.
假期作业 5
年月日 星期
【直角三角形中的"恰等中线"】
(1)如图所示,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,AC=\sqrt{12},BC=4,AM$为$△ ABC$的中线,求证:$AM$是"恰等中线";
【等腰三角形中的"恰等中线"】
(2)已知等腰三角形$ABC$是"恰等三角形",$AB=AC=40$,求底边$BC$的长.
假期作业 5
年月日 星期
答案
17.(1)证明:$\because AM$ 为 $△ ABC$ 的中线,$\therefore CM=MB=\frac{1}{2}CB.$
$\because CB=4,\therefore CM=MB=2.$
$\because AC=\sqrt{12},∠C=90°,\therefore AM=\sqrt{AC^2+CM^2}=\sqrt{12+4}=4.$
$\therefore AM=CB=4.\therefore AM$ 是“恰等中线”.
(2)解:等腰三角形 $ABC$ 是“恰等三角形”,$AB=AC=40$,分两种情况:
如图①所示,当腰上的中线 $BD=AC$ 时,$AB=BD$,过点 $B$ 作 $BE ⊥ AD$ 于点 $E$
,$\because AB=AC=40,\therefore BD=40,ED=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{4}AC=10.$
$\therefore CE=20+10=30.\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 中,$BE^2=BD^2-DE^2=1\ 500.$
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中,$BC^2=BE^2+CE^2=1\ 500+900=2\ 400,BC=\sqrt{2\ 400}=20\sqrt{6}.$
如图②所示,当底边上的中线 $AD=BC$ 时,$AD ⊥ BC$,且 $AD=2BD$,
设 $BD=x$,则 $x^2+(2x)^2=40^2$,
$\therefore x^2=320.\therefore BC^2=4x^2=1\ 280,\therefore BC=\sqrt{1\ 280}=16\sqrt{5}.$
综上所述,底边 $BC$ 的长为 $20\sqrt{6}$ 或 $16\sqrt{5}.$
解析
【分析】
(1) 要证明AM是“恰等中线”，首先根据中线定义求出CM的长度，再在Rt△ACM中利用勾股定理计算AM的长度，最后验证AM的长度是否等于它所对应的边BC的长度即可。
(2) 等腰三角形为“恰等三角形”需分两种情况讨论：①腰上的中线为恰等中线，即腰长等于该腰上的中线长；②底边上的中线为恰等中线，即底边长等于底边上的中线长。两种情况均结合等腰三角形三线合一的性质，用勾股定理计算BC的长度即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 证明：
∵ AM为△ABC的中线，
∴ $CM=MB=\frac{1}{2}CB$。
∵ $CB=4$，
∴ $CM=MB=2$。
∵ $AC=\sqrt{12}$，$∠ C=90°$，
∴ $AM=\sqrt{AC^2+CM^2}=\sqrt{12+4}=4$。
∴ $AM=CB=4$，即AM是“恰等中线”。
(2) 解：已知等腰△ABC是“恰等三角形”，$AB=AC=40$，分两种情况：
① 当腰上的中线$BD=AC$时，$AB=BD$，过点B作$BE⊥ AD$于点E，
∵ $AB=AC=40$，
∴ $BD=40$，$ED=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{4}AC=10$，
∴ $CE=20+10=30$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$BE^2=BD^2-DE^2=40^2-10^2=1500$，
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$BC^2=BE^2+CE^2=1500+30^2=2400$，
∴ $BC=\sqrt{2400}=20\sqrt{6}$。
② 当底边上的中线$AD=BC$时，$AD⊥ BC$，且$AD=2BD$，
设$BD=x$，则$AD=2x$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$BD^2+AD^2=AB^2$，即$x^2+(2x)^2=40^2$，
解得$x^2=320$，
∴ $BC^2=(2x)^2=4x^2=1280$，
∴ $BC=\sqrt{1280}=16\sqrt{5}$。
综上，底边BC的长为$20\sqrt{6}$或$16\sqrt{5}$。
【答案】
17.(1)证明:$\because AM$ 为 $△ ABC$ 的中线,$\therefore CM=MB=\frac{1}{2}CB.$
$\because CB=4,\therefore CM=MB=2.$
$\because AC=\sqrt{12},∠C=90°,\therefore AM=\sqrt{AC^2+CM^2}=\sqrt{12+4}=4.$
$\therefore AM=CB=4.\therefore AM$ 是“恰等中线”.
(2)解:等腰三角形 $ABC$ 是“恰等三角形”,$AB=AC=40$,分两种情况:
如图①所示,当腰上的中线 $BD=AC$ 时,$AB=BD$,过点 $B$ 作 $BE ⊥ AD$ 于点 $E$,
$\because AB=AC=40,\therefore BD=40,ED=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{4}AC=10.$
$\therefore CE=20+10=30.\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 中,$BE^2=BD^2-DE^2=1\ 500.$
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中,$BC^2=BE^2+CE^2=1\ 500+900=2\ 400,BC=\sqrt{2\ 400}=20\sqrt{6}.$
如图②所示,当底边上的中线 $AD=BC$ 时,$AD ⊥ BC$,且 $AD=2BD$,
设 $BD=x$,则 $x^2+(2x)^2=40^2$,
$\therefore x^2=320.\therefore BC^2=4x^2=1\ 280,\therefore BC=\sqrt{1\ 280}=16\sqrt{5}.$
综上所述,底边 $BC$ 的长为 $20\sqrt{6}$ 或 $16\sqrt{5}.$
【知识点】
勾股定理、等腰三角形性质、分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查三角形的相关计算，第一问难度较低，直接根据定义结合勾股定理验证即可；第二问需要分腰上的中线、底边上的中线两种情况讨论，对思维的缜密性有一定要求，避免漏解是解题的关键。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明AM是“恰等中线”，首先根据中线定义求出CM的长度，再在Rt△ACM中利用勾股定理计算AM的长度，最后验证AM的长度是否等于它所对应的边BC的长度即可。
(2) 等腰三角形为“恰等三角形”需分两种情况讨论：①腰上的中线为恰等中线，即腰长等于该腰上的中线长；②底边上的中线为恰等中线，即底边长等于底边上的中线长。两种情况均结合等腰三角形三线合一的性质，用勾股定理计算BC的长度即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 证明：
∵ AM为△ABC的中线，
∴ $CM=MB=\frac{1}{2}CB$。
∵ $CB=4$，
∴ $CM=MB=2$。
∵ $AC=\sqrt{12}$，$∠ C=90°$，
∴ $AM=\sqrt{AC^2+CM^2}=\sqrt{12+4}=4$。
∴ $AM=CB=4$，即AM是“恰等中线”。
(2) 解：已知等腰△ABC是“恰等三角形”，$AB=AC=40$，分两种情况：
① 当腰上的中线$BD=AC$时，$AB=BD$，过点B作$BE⊥ AD$于点E
，∵ $AB=AC=40$，
∴ $BD=40$，$ED=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{4}AC=10$，
∴ $CE=20+10=30$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$BE^2=BD^2-DE^2=40^2-10^2=1500$，
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$BC^2=BE^2+CE^2=1500+30^2=2400$，
∴ $BC=\sqrt{2400}=20\sqrt{6}$。
② 当底边上的中线$AD=BC$时，$AD⊥ BC$，且$AD=2BD$，
设$BD=x$，则$AD=2x$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$BD^2+AD^2=AB^2$，即$x^2+(2x)^2=40^2$，
解得$x^2=320$，
∴ $BC^2=(2x)^2=4x^2=1280$，
∴ $BC=\sqrt{1280}=16\sqrt{5}$。
综上，底边BC的长为$20\sqrt{6}$或$16\sqrt{5}$。
【答案】
17.(1)证明:$\because AM$ 为 $△ ABC$ 的中线,$\therefore CM=MB=\frac{1}{2}CB.$
$\because CB=4,\therefore CM=MB=2.$
$\because AC=\sqrt{12},∠C=90°,\therefore AM=\sqrt{AC^2+CM^2}=\sqrt{12+4}=4.$
$\therefore AM=CB=4.\therefore AM$ 是“恰等中线”.
(2)解:等腰三角形 $ABC$ 是“恰等三角形”,$AB=AC=40$,分两种情况:
如图①所示,当腰上的中线 $BD=AC$ 时,$AB=BD$,过点 $B$ 作 $BE ⊥ AD$ 于点 $E$
,$\because AB=AC=40,\therefore BD=40,ED=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{4}AC=10.$
$\therefore CE=20+10=30.\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 中,$BE^2=BD^2-DE^2=1\ 500.$
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 中,$BC^2=BE^2+CE^2=1\ 500+900=2\ 400,BC=\sqrt{2\ 400}=20\sqrt{6}.$
如图②所示,当底边上的中线 $AD=BC$ 时,$AD ⊥ BC$,且 $AD=2BD$,
设 $BD=x$,则 $x^2+(2x)^2=40^2$,
$\therefore x^2=320.\therefore BC^2=4x^2=1\ 280,\therefore BC=\sqrt{1\ 280}=16\sqrt{5}.$
综上所述,底边 $BC$ 的长为 $20\sqrt{6}$ 或 $16\sqrt{5}.$
【知识点】
勾股定理、等腰三角形性质、分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查三角形的相关计算，第一问难度较低，直接根据定义结合勾股定理验证即可；第二问需要分腰上的中线、底边上的中线两种情况讨论，对思维的缜密性有一定要求，避免漏解是解题的关键。
【难度系数】
0.65
