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12. 如图所示,在$△ ABC$中,$AB=8\sqrt{2},BC=14,∠ B=45°,D$是线段$BC$上的动点(不含端点$B,C$).若线段$AD$的长为正整数,则点$D$共有 （
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
C
）A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
12.C
解析
【分析】
解题思路：要确定点D的个数，首先需要明确线段AD的取值范围。第一步，根据垂线段最短，过点A作BC的垂线得到垂线段AH，AH就是AD的最小值；第二步，结合已知条件用勾股定理算出AH、AC的长度，再根据D不含端点B、C，得到AD的最大值小于AB的长度；第三步，找出AD可取的正整数，逐一统计每个正整数对应的D点个数，相加即可得到总个数。
【解析】
过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ABH中，∠B=45°，故△ABH为等腰直角三角形，AH=BH。
由勾股定理得：$AH^2 + BH^2 = AB^2$，代入$AB=8\sqrt{2}$，$AH=BH$，
得$2AH^2=(8\sqrt{2})^2=128$，解得$AH=8$，故$BH=AH=8$。
已知$BC=14$，则$HC=BC-BH=14-8=6$。
在Rt△AHC中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
因为D是BC上的动点（不含端点B、C），所以AD的最小值为AH=8，
AD的最大值小于$AB=8\sqrt{2}\approx11.31$，因此AD可取的正整数为8、9、10、11。
分类统计点D的个数：
1. 当AD=8时，仅当D与H重合时满足，共1个点；
2. 当AD=9时，$AD^2=81$，则$D$到$H$的距离为$\sqrt{81-64}=\sqrt{17}\approx4.12$，$\sqrt{17}＜6$，故H左右两侧各存在1个点，共2个点；
3. 当AD=10时，$AD^2=100$，则$D$到$H$的距离为$\sqrt{100-64}=6$，右侧距离H为6的点是端点C（需排除），仅左侧存在1个点，共1个点；
4. 当AD=11时，$AD^2=121$，则$D$到$H$的距离为$\sqrt{121-64}=\sqrt{57}\approx7.55$，$\sqrt{57}＞6$且$\sqrt{57}＜8$，仅左侧存在1个点，共1个点。
总个数为$1+2+1+1=5$个。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，垂线段最短，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题需要先确定线段AD的长度范围，再结合分类讨论的思想统计不同长度下对应的点的个数，解题时要注意端点D不含B、C，避免多算不符合要求的点，对几何计算和分类讨论能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题思路：要确定点D的个数，首先需要明确线段AD的取值范围。第一步，根据垂线段最短，过点A作BC的垂线得到垂线段AH，AH就是AD的最小值；第二步，结合已知条件用勾股定理算出AH、AC的长度，再根据D不含端点B、C，得到AD的最大值小于AB的长度；第三步，找出AD可取的正整数，逐一统计每个正整数对应的D点个数，相加即可得到总个数。
【解析】
过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ABH中，∠B=45°，故△ABH为等腰直角三角形，AH=BH。
由勾股定理得：$AH^2 + BH^2 = AB^2$，代入$AB=8\sqrt{2}$，$AH=BH$，
得$2AH^2=(8\sqrt{2})^2=128$，解得$AH=8$，故$BH=AH=8$。
已知$BC=14$，则$HC=BC-BH=14-8=6$。
在Rt△AHC中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
因为D是BC上的动点（不含端点B、C），所以AD的最小值为AH=8，
AD的最大值小于$AB=8\sqrt{2}\approx11.31$，因此AD可取的正整数为8、9、10、11。
分类统计点D的个数：
1. 当AD=8时，仅当D与H重合时满足，共1个点；
2. 当AD=9时，$AD^2=81$，则$D$到$H$的距离为$\sqrt{81-64}=\sqrt{17}\approx4.12$，$\sqrt{17}＜6$，故H左右两侧各存在1个点，共2个点；
3. 当AD=10时，$AD^2=100$，则$D$到$H$的距离为$\sqrt{100-64}=6$，右侧距离H为6的点是端点C（需排除），仅左侧存在1个点，共1个点；
4. 当AD=11时，$AD^2=121$，则$D$到$H$的距离为$\sqrt{121-64}=\sqrt{57}\approx7.55$，$\sqrt{57}＞6$且$\sqrt{57}＜8$，仅左侧存在1个点，共1个点。
总个数为$1+2+1+1=5$个。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，垂线段最短，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题需要先确定线段AD的长度范围，再结合分类讨论的思想统计不同长度下对应的点的个数，解题时要注意端点D不含B、C，避免多算不符合要求的点，对几何计算和分类讨论能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
13. 如图所示,在底面周长约为6 m的石柱上,有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方,每根华表刻有雕龙部分的柱身高约16 m,则雕刻在石柱上的巨龙至少为 （
A.20 m
B.25 m
C.30 m
D.15 m
A
）A.20 m
B.25 m
C.30 m
D.15 m
答案
13.A
解析
【分析】
本题是圆柱表面的最短路径求解问题，解题核心是将曲面转化为平面计算，利用“平面上两点之间线段最短”的原理。首先明确圆柱侧面展开后是长方形，雕龙绕石柱2圈，因此展开后长方形的长为2倍底面周长，宽为石柱高度，巨龙的最短长度就是该长方形的对角线长度，再用勾股定理计算对角线长度即可。
【解析】
将石柱侧面沿竖直方向展开，得到长方形：
1. 计算展开后长方形的长：雕龙盘绕2圈，因此长 = 2×底面周长 = 2×6m = 12m
2. 展开后长方形的宽等于柱身高度，即16m
3. 根据勾股定理，长方形对角线（即巨龙最短长度）为：
$\sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\mathrm{m}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
圆柱侧面展开、勾股定理、最短路径计算
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，考查了将曲面问题转化为平面问题的思维，需要掌握圆柱侧面展开的特征，结合勾股定理即可求解，能很好地锻炼空间转换能力。
【难度系数】
0.7
本题是圆柱表面的最短路径求解问题，解题核心是将曲面转化为平面计算，利用“平面上两点之间线段最短”的原理。首先明确圆柱侧面展开后是长方形，雕龙绕石柱2圈，因此展开后长方形的长为2倍底面周长，宽为石柱高度，巨龙的最短长度就是该长方形的对角线长度，再用勾股定理计算对角线长度即可。
【解析】
将石柱侧面沿竖直方向展开，得到长方形：
1. 计算展开后长方形的长：雕龙盘绕2圈，因此长 = 2×底面周长 = 2×6m = 12m
2. 展开后长方形的宽等于柱身高度，即16m
3. 根据勾股定理，长方形对角线（即巨龙最短长度）为：
$\sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\mathrm{m}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
圆柱侧面展开、勾股定理、最短路径计算
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，考查了将曲面问题转化为平面问题的思维，需要掌握圆柱侧面展开的特征，结合勾股定理即可求解，能很好地锻炼空间转换能力。
【难度系数】
0.7
14.如图所示,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ A=22.5°,BC=1$,求$AC$的长.可在$AC$上取点$D$,使$CD=CB$,连接$BD$,将$△ ABC$分割成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形,从而求得$AC$的长为$\underline{\hspace{3em}}$.
答案
14.$\sqrt{2}+1$
解析
【分析】
题目已经提示构造辅助线的方法，我们可以按提示先构造等腰直角△BCD，先求出BD的长度和∠CDB的度数；再利用三角形外角的性质计算∠ABD的度数，可发现∠ABD与∠A相等，由此得到△ADB是等腰三角形，即AD=BD；最后AC的长度为AD与CD的和，代入对应数值计算即可得到结果。
【解析】
解：在AC上取点D，使CD=CB=1，连接BD。
∵ ∠C=90°，CD=CB，
∴ △BCD是等腰直角三角形，
∴ ∠CDB=45°，由勾股定理可得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
∵ ∠CDB是△ABD的外角，
∴ ∠CDB=∠A+∠ABD，
已知∠A=22.5°，
∴ ∠ABD=∠CDB-∠A=45°-22.5°=22.5°，
∴ ∠ABD=∠A，
∴ AD=BD=$\sqrt{2}$。
∴ $AC=AD+CD=\sqrt{2}+1$。
【答案】
$\sqrt{2}+1$
【知识点】
等腰三角形判定、勾股定理、三角形外角性质
【点评】
本题通过构造辅助线将原三角形拆分为熟悉的等腰直角三角形和等腰三角形，利用角度关系推导等线段，将未知线段拆解为两段可求的线段求和，解题关键是利用角度差得到等腰三角形，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
题目已经提示构造辅助线的方法，我们可以按提示先构造等腰直角△BCD，先求出BD的长度和∠CDB的度数；再利用三角形外角的性质计算∠ABD的度数，可发现∠ABD与∠A相等，由此得到△ADB是等腰三角形，即AD=BD；最后AC的长度为AD与CD的和，代入对应数值计算即可得到结果。
【解析】
解：在AC上取点D，使CD=CB=1，连接BD。
∵ ∠C=90°，CD=CB，
∴ △BCD是等腰直角三角形，
∴ ∠CDB=45°，由勾股定理可得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
∵ ∠CDB是△ABD的外角，
∴ ∠CDB=∠A+∠ABD，
已知∠A=22.5°，
∴ ∠ABD=∠CDB-∠A=45°-22.5°=22.5°，
∴ ∠ABD=∠A，
∴ AD=BD=$\sqrt{2}$。
∴ $AC=AD+CD=\sqrt{2}+1$。
【答案】
$\sqrt{2}+1$
【知识点】
等腰三角形判定、勾股定理、三角形外角性质
【点评】
本题通过构造辅助线将原三角形拆分为熟悉的等腰直角三角形和等腰三角形，利用角度关系推导等线段，将未知线段拆解为两段可求的线段求和，解题关键是利用角度差得到等腰三角形，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
15. 如图所示,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ A=90°$,$BC=10$,$AB=6$,动点 $P$ 从点 $C$ 出发,以每秒1个单位长度的速度向点 $B$ 运动,到达点 $B$ 后停止.
(1)$AC=\_\_\_\_\_\_$;
(2)设运动时间为 $t\ \mathrm{s}$,当 $△ ABP$ 是以 $AB$ 为腰的等腰三角形时,$t$ 的值为________.
(1)$AC=\_\_\_\_\_\_$;
(2)设运动时间为 $t\ \mathrm{s}$,当 $△ ABP$ 是以 $AB$ 为腰的等腰三角形时,$t$ 的值为________.
答案
15.(1)8 (2)4或2.8
解析
【分析】
(1) 第一问已知直角三角形的斜边和一条直角边，直接利用勾股定理即可求出另一条直角边AC的长度。(2) 第二问△ABP以AB为腰的等腰三角形，需分两种情况讨论：①AB=BP；②AB=AP，结合动点P的运动速度，分别计算出CP的长度，即可得到对应的运动时间t，注意分类讨论避免漏解。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ A=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$
(2) 分两种情况讨论：
① 当$AB=BP$时，$\because AB=6$，$\therefore BP=6$
$\because BC=10$，$\therefore CP=BC-BP=10-6=4$
$\because$ 点P的运动速度为每秒1个单位长度，$\therefore t=4÷1=4\ \mathrm{s}$
② 当$AB=AP$时，过点A作$AD⊥ BC$于点D
$\because S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$
代入$AB=6,AC=8,BC=10$，得$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× AD$，解得$AD=4.8$
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{6^2-4.8^2}=3.6$
$\because AB=AP,AD⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一，$\therefore BP=2BD=7.2$
$\therefore CP=BC-BP=10-7.2=2.8$，$\therefore t=2.8÷1=2.8\ \mathrm{s}$
综上，t的值为4或2.8。
【答案】
(1)8；(2)4或2.8
【知识点】
勾股定理，等腰三角形性质，动点问题
【点评】
本题考查直角三角形和等腰三角形的综合应用，解题关键是对等腰三角形的腰长进行分类讨论，结合三角形面积和勾股定理计算线段长度，注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问已知直角三角形的斜边和一条直角边，直接利用勾股定理即可求出另一条直角边AC的长度。(2) 第二问△ABP以AB为腰的等腰三角形，需分两种情况讨论：①AB=BP；②AB=AP，结合动点P的运动速度，分别计算出CP的长度，即可得到对应的运动时间t，注意分类讨论避免漏解。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ A=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$
(2) 分两种情况讨论：
① 当$AB=BP$时，$\because AB=6$，$\therefore BP=6$
$\because BC=10$，$\therefore CP=BC-BP=10-6=4$
$\because$ 点P的运动速度为每秒1个单位长度，$\therefore t=4÷1=4\ \mathrm{s}$
② 当$AB=AP$时，过点A作$AD⊥ BC$于点D
$\because S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$
代入$AB=6,AC=8,BC=10$，得$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× AD$，解得$AD=4.8$
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{6^2-4.8^2}=3.6$
$\because AB=AP,AD⊥ BC$，根据等腰三角形三线合一，$\therefore BP=2BD=7.2$
$\therefore CP=BC-BP=10-7.2=2.8$，$\therefore t=2.8÷1=2.8\ \mathrm{s}$
综上，t的值为4或2.8。
【答案】
(1)8；(2)4或2.8
【知识点】
勾股定理，等腰三角形性质，动点问题
【点评】
本题考查直角三角形和等腰三角形的综合应用，解题关键是对等腰三角形的腰长进行分类讨论，结合三角形面积和勾股定理计算线段长度，注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
16.小明同学在活动课上进行了项目式学习实践探究,并绘制了如下表格.
| 课题 | 在放风筝时测量风筝距离地面的高度 $AD$ |
| ---- | ---- |
| 模型抽象 |
|
| 测绘数据 | ①测得水平距离 $ED$ 的长为 $15\ \mathrm{m}$
②根据手中剩余线的长度,计算出风筝线 $AB$ 的长为 $17\ \mathrm{m}$
③测得牵线放风筝的手到地面的距离 $BE$ 为 $1.6\ \mathrm{m}$ |
| 说明 | 点 $A,B,E,D$ 在同一平面内 |
请根据表格信息,解答下列问题:
(1)求线段 $AD$ 的长；
(2)若想要风筝沿 $DA$ 方向再上升 $12\ \mathrm{m}$,则在 $ED$ 长度不变的前提下,小明同学应该再放出多少米线？
| 课题 | 在放风筝时测量风筝距离地面的高度 $AD$ |
| ---- | ---- |
| 模型抽象 |
|| 测绘数据 | ①测得水平距离 $ED$ 的长为 $15\ \mathrm{m}$
②根据手中剩余线的长度,计算出风筝线 $AB$ 的长为 $17\ \mathrm{m}$
③测得牵线放风筝的手到地面的距离 $BE$ 为 $1.6\ \mathrm{m}$ |
| 说明 | 点 $A,B,E,D$ 在同一平面内 |
请根据表格信息,解答下列问题:
(1)求线段 $AD$ 的长；
(2)若想要风筝沿 $DA$ 方向再上升 $12\ \mathrm{m}$,则在 $ED$ 长度不变的前提下,小明同学应该再放出多少米线？
答案
16.解:(1)如图所示,过点 $B$ 作 $BC ⊥ AD$ 于点 $C$
,则 $BC=ED=15\ \mathrm{m},CD=BE=1.6\ \mathrm{m}.$
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ACB=90°$,$AB=17\ \mathrm{m}$,$BC=15\ \mathrm{m}$,
由勾股定理,得 $AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{17^2-15^2}=8(\mathrm{m})$,
$\therefore AD=AC+CD=8+1.6=9.6(\mathrm{m}).$
答:线段 $AD$ 的长为 $9.6\ \mathrm{m}.$
(2)如图所示,设风筝沿 $DA$ 方向再上升 $12\ \mathrm{m}$ 后到达点 $F$ 处,连接 $BF$,
此时,$CF=AC+AF=8+12=20(\mathrm{m}),\therefore BF=\sqrt{CF^2+BC^2}=\sqrt{20^2+15^2}=25(\mathrm{m}).$
$\because$ 原来的风筝线的长为 $17\ \mathrm{m}$,$\therefore 25-17=8(\mathrm{m}).$
答:小明同学应该再放出 $8\ \mathrm{m}$ 线.
解析
【分析】
(1) 求解AD的长度时，可先过点B作BC⊥AD构造直角三角形和矩形：四边形BCDE是矩形，根据矩形对边相等可得到BC和CD的长度，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度，AD的长度即为AC与CD的和。
(2) 风筝上升12m后到达点F，此时形成新的直角三角形BCF，先求出CF的长度，再用勾股定理计算出新的风筝线BF的长度，BF与原风筝线AB的差就是需要再放出的线长。
【解析】
(1) 过点 $B$ 作 $BC ⊥ AD$ 于点 $C$，
则 $BC=ED=15\ \mathrm{m},CD=BE=1.6\ \mathrm{m}.$
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ACB=90°$,$AB=17\ \mathrm{m}$,$BC=15\ \mathrm{m}$,
由勾股定理,得 $AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{17^2-15^2}=8(\mathrm{m})$,
$\therefore AD=AC+CD=8+1.6=9.6(\mathrm{m}).$
(2) 设风筝沿 $DA$ 方向再上升 $12\ \mathrm{m}$ 后到达点 $F$ 处,连接 $BF$,
此时,$CF=AC+AF=8+12=20(\mathrm{m}),\therefore BF=\sqrt{CF^2+BC^2}=\sqrt{20^2+15^2}=25(\mathrm{m}).$
$\because$ 原来的风筝线的长为 $17\ \mathrm{m}$,$\therefore 25-17=8(\mathrm{m}).$
【答案】
(1) 线段 $AD$ 的长为 $9.6\ \mathrm{m}$；
(2) 小明同学应该再放出 $8\ \mathrm{m}$ 线。
【知识点】
勾股定理的应用，矩形的性质
【点评】
本题以实际生活场景为背景，考查将实际问题转化为几何问题的能力，解题的关键是合理构造直角三角形，灵活运用勾股定理计算边长。
【难度系数】
0.7
(1) 求解AD的长度时，可先过点B作BC⊥AD构造直角三角形和矩形：四边形BCDE是矩形，根据矩形对边相等可得到BC和CD的长度，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度，AD的长度即为AC与CD的和。
(2) 风筝上升12m后到达点F，此时形成新的直角三角形BCF，先求出CF的长度，再用勾股定理计算出新的风筝线BF的长度，BF与原风筝线AB的差就是需要再放出的线长。
【解析】
(1) 过点 $B$ 作 $BC ⊥ AD$ 于点 $C$
，则 $BC=ED=15\ \mathrm{m},CD=BE=1.6\ \mathrm{m}.$
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ACB=90°$,$AB=17\ \mathrm{m}$,$BC=15\ \mathrm{m}$,
由勾股定理,得 $AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{17^2-15^2}=8(\mathrm{m})$,
$\therefore AD=AC+CD=8+1.6=9.6(\mathrm{m}).$
(2) 设风筝沿 $DA$ 方向再上升 $12\ \mathrm{m}$ 后到达点 $F$ 处,连接 $BF$,
此时,$CF=AC+AF=8+12=20(\mathrm{m}),\therefore BF=\sqrt{CF^2+BC^2}=\sqrt{20^2+15^2}=25(\mathrm{m}).$
$\because$ 原来的风筝线的长为 $17\ \mathrm{m}$,$\therefore 25-17=8(\mathrm{m}).$
【答案】
(1) 线段 $AD$ 的长为 $9.6\ \mathrm{m}$；
(2) 小明同学应该再放出 $8\ \mathrm{m}$ 线。
【知识点】
勾股定理的应用，矩形的性质
【点评】
本题以实际生活场景为背景，考查将实际问题转化为几何问题的能力，解题的关键是合理构造直角三角形，灵活运用勾股定理计算边长。
【难度系数】
0.7
