7.若$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$，斜边长$c=2$，则$a^{22}+b^{2}=$______.

7.4

【分析】
这道题是直角三角形的基础计算题，解题思路如下：首先题干明确给出△ABC是直角三角形，且c为斜边长，首先联想到勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，我们只需将已知的斜边长代入勾股定理公式，即可求出对应结果。（注：题干中$a^{22}$为输入笔误，实际应为$a^2$）
【解析】
解：
∵$\mathrm{Rt}△ ABC$中$c$为斜边，
∴根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$，
已知$c=2$，代入得：
$a^2 + b^2 = 2^2 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，主要考查勾股定理的直接应用，解题时需明确直角三角形的斜边，准确代入公式计算即可。
【难度系数】
0.9

8. 如图所示，某公园安装的摄像头支架由水平、竖直方向的AB，BC两段构成.若$BC=5\ \mathrm{cm}$，$AC=13\ \mathrm{cm}$，则AB的长为________cm.

8.12

【分析】
首先观察支架结构，AB为水平方向、BC为竖直方向，因此∠B是直角，△ABC为直角三角形。已知直角边BC和斜边AC的长度，要求另一条直角边AB的长度，直接使用勾股定理计算即可。解题时先确定直角三角形的直角、直角边和斜边，再代入勾股定理的变形公式求解未知边。
【解析】
解：由题意可知AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，∠B=90°。
根据勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
将$BC=5\ \mathrm{cm}$，$AC=13\ \mathrm{cm}$代入公式变形得：
$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12(\mathrm{cm})$
【答案】
12
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是从实际场景中抽象出直角三角形模型，明确各边的身份，正确运用勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.8

9. 已知数$a$，8和15，使这三个数恰好是一个直角三角形三边的长，则$a$的值为.

9.17或$\sqrt{161}$

【分析】
本题考查勾股定理的应用，由于题目未明确说明a是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论：第一种情况为a是斜边，此时8和15为两条直角边；第二种情况为a是直角边，此时长度更大的15为斜边。再分别根据勾股定理列方程求解，结合三角形边长为正数的条件筛选符合要求的解即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当a为直角三角形的斜边时，根据勾股定理：直角边的平方和等于斜边的平方，可得
$a^2=8^2+15^2=64+225=289$
因为三角形边长为正数，所以$a=\sqrt{289}=17$
2. 当a为直角三角形的直角边时，此时斜边为15（15＞8），根据勾股定理可得
$a^2+8^2=15^2$
整理得$a^2=15^2-8^2=225-64=161$
因为三角形边长为正数，所以$a=\sqrt{161}$
综上，a的值为17或$\sqrt{161}$。
【答案】
17或$\sqrt{161}$
【知识点】
勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是未分类讨论，默认a为斜边导致漏解。若题目未明确直角三角形的斜边，需要分未知边为斜边、直角边两种情况讨论，同时注意三角形边长为正，需舍去负根。
【难度系数】
0.6

10. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，$∠ A,∠ B,∠ C$ 的对边分别是 $a,b,c$。
(1)已知 $a=6,c=10$，求 $b$；
(2)已知 $a=5,b=12$，求 $c$。

10.解:(1)$\because ∠C=90°,a=6,c=10,\therefore b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8.$ 即 $b$ 的值为 8.
(2)$\because ∠C=90°,a=5,b=12,\therefore c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13.$ 即 $c$ 的值为 13.

【分析】
本题是直角三角形中已知两边求第三边的计算问题，解题思路如下：首先明确Rt△ABC中∠C=90°，因此c为斜边，a、b为直角边，适用勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2+b^2=c^2$。（1）问已知直角边a和斜边c，求另一直角边b，可将勾股定理变形为$b=\sqrt{c^2-a^2}$，代入数值计算即可，注意边长为正数，因此取算术平方根；（2）问已知两条直角边a、b，求斜边c，直接使用勾股定理变形$c=\sqrt{a^2+b^2}$，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 因为$∠ C=90°$，$a=6$，$c=10$，根据勾股定理可得：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$
即b的值为8。
(2) 因为$∠ C=90°$，$a=5$，$b=12$，根据勾股定理可得：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
即c的值为13。
【答案】
(1)$b=8$；(2)$c=13$
【知识点】
1.勾股定理 2.二次根式化简
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，核心考查直角三角形已知两边求第三边的计算能力，解题关键是熟记勾股定理的公式及常见变形，计算时注意边长为非负数，需取算术平方根作为结果。
【难度系数】
0.9

11. 如图所示，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$D$是$BC$的中点，$DE⊥ AB$于点$E$，求证：$AE^2 = AC^2 + BE^2$.

11.证明:在$△ ABC$中,$∠C=90°$,$D$ 是 $BC$ 的中点,$DE ⊥ AB$ 于点 $E$,
如图所示,连接 $AD$,
$\therefore BD=CD.\therefore AE^2=AD^2-DE^2=AC^2+CD^2-(BD^2-BE^2)=AC^2+BE^2.$

【分析】
题目要求证明线段平方的等量关系，题干中存在多个直角，优先考虑用勾股定理求解。观察待证式中的$AE$、$AC$、$BE$未在同一个直角三角形中，因此需要添加辅助线构造直角三角形：连接$AD$后，可得到$Rt△ACD$、$Rt△ADE$、$Rt△BDE$三个直角三角形，分别用勾股定理表示各边的平方关系，再结合$D$是$BC$中点即$CD=BD$的条件做等量代换，即可推导出结论。
【解析】
证明：连接$AD$，
$\because$ $D$是$BC$的中点，$\therefore BD=CD$。
$\because ∠C=90°$，在$Rt△ACD$中，由勾股定理可得：$AD^2=AC^2+CD^2$。
$\because DE⊥AB$，在$Rt△ADE$中，由勾股定理可得：$AE^2=AD^2-DE^2$。
在$Rt△BDE$中，由勾股定理可得：$BD^2=DE^2+BE^2$，变形得$DE^2=BD^2-BE^2$。
将$AD^2=AC^2+CD^2$和$DE^2=BD^2-BE^2$代入$AE^2$的表达式：
$AE^2=(AC^2+CD^2)-(BD^2-BE^2)$
又$\because CD=BD$，$\therefore CD^2=BD^2$，代入后两项抵消，可得$AE^2=AC^2+BE^2$，原式得证。
【答案】
证明:在$△ ABC$中,$∠C=90°$,$D$ 是 $BC$ 的中点,$DE ⊥ AB$ 于点$E$,
如图所示,连接 $AD$,
$\therefore BD=CD.\therefore AE^2=AD^2-DE^2=AC^2+CD^2-(BD^2-BE^2)=AC^2+BE^2.$
【知识点】
勾股定理；线段中点的性质；等式的性质
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，解题关键是通过添加辅助线构造直角三角形，将待证的线段平方关系通过勾股定理建立联系，再结合已知条件做等量代换即可完成证明，是几何中常见的基础证明题型。
【难度系数】
0.7