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1. 如图所示,在直角三角形$ABC$中,$∠B=90°$,以下式子成立的是 （
A.$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
B.$a^{2}+c^{2}=b^{2}$
C.$b^{2}+c^{2}=a^{2}$
D.$(a+c)^{2}=b^{2}$
B
）A.$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
B.$a^{2}+c^{2}=b^{2}$
C.$b^{2}+c^{2}=a^{2}$
D.$(a+c)^{2}=b^{2}$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆勾股定理的内容：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。解题第一步先确定直角位置，本题中∠B=90°，因此∠B所对的边是斜边，剩余两条边是直角边，再对应各边的字母标识，代入勾股定理公式得到正确等式，对比选项就能选出答案。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴ 斜边为∠B的对边AC，长度为b，两条直角边分别为BC=a、AB=c，
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$a^2 + c^2 = b^2$，
因此B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础考查题，解题核心是先根据直角的位置准确区分斜边和直角边，再代入勾股定理公式，只要不混淆边的对应关系即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆勾股定理的内容：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。解题第一步先确定直角位置，本题中∠B=90°，因此∠B所对的边是斜边，剩余两条边是直角边，再对应各边的字母标识，代入勾股定理公式得到正确等式，对比选项就能选出答案。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴ 斜边为∠B的对边AC，长度为b，两条直角边分别为BC=a、AB=c，
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$a^2 + c^2 = b^2$，
因此B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础考查题，解题核心是先根据直角的位置准确区分斜边和直角边，再代入勾股定理公式，只要不混淆边的对应关系即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
2. 如图所示，点 A 在数轴上，$OA=3$，$AB=2$，$∠ BAO=90°$，以原点 O 为圆心，OB 长为半径画弧，交数轴的正半轴于点 C，则点 C 表示的实数是 （
A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{13}$
C.$3$
D.$4$
B
）A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{13}$
C.$3$
D.$4$
答案
2.B
解析
【分析】
首先观察图形可知△OAB是直角三角形，要求数轴上点C表示的数，首先明确OC=OB（同圆的半径相等），所以只需要用勾股定理求出直角三角形斜边OB的长度，就能得到OC的长度，因为点C在数轴正半轴，所以OC的长度就是点C对应的实数。
【解析】
在$Rt△ OAB$中，$∠ BAO=90°$，$OA=3$，$AB=2$，
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$OB^2=OA^2+AB^2=3^2+2^2=9+4=13$，
所以$OB=\sqrt{13}$（长度为正数，舍去负根）。
因为以原点O为圆心，OB长为半径画弧交正半轴于C，所以$OC=OB=\sqrt{13}$，
因此点C表示的实数是$\sqrt{13}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，数轴与实数，圆的性质
【点评】
本题是几何与数轴结合的基础题，解题的关键是利用同圆半径相等得到OC=OB，再结合勾股定理计算出OB的长度即可，难度不大，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知△OAB是直角三角形，要求数轴上点C表示的数，首先明确OC=OB（同圆的半径相等），所以只需要用勾股定理求出直角三角形斜边OB的长度，就能得到OC的长度，因为点C在数轴正半轴，所以OC的长度就是点C对应的实数。
【解析】
在$Rt△ OAB$中，$∠ BAO=90°$，$OA=3$，$AB=2$，
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$OB^2=OA^2+AB^2=3^2+2^2=9+4=13$，
所以$OB=\sqrt{13}$（长度为正数，舍去负根）。
因为以原点O为圆心，OB长为半径画弧交正半轴于C，所以$OC=OB=\sqrt{13}$，
因此点C表示的实数是$\sqrt{13}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，数轴与实数，圆的性质
【点评】
本题是几何与数轴结合的基础题，解题的关键是利用同圆半径相等得到OC=OB，再结合勾股定理计算出OB的长度即可，难度不大，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.8
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，则边$AB$上的高$CD$的长为 （
A.$5$
B.$4.8$
C.$2.4$
D.$1.2$
C
）A.$5$
B.$4.8$
C.$2.4$
D.$1.2$
答案
3.C
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，先利用勾股定理求出直角三角形斜边AB的长度；第二步，根据三角形面积的两种计算方法（用两条直角边计算、用斜边和斜边上的高计算），建立等式即可求出CD的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2=3^2+4^2=9+16=25$，
$\therefore AB=5$。
三角形的面积可通过两种方式计算：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×3×4=6$，
同时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CD$，
代入$AB=5$得：$\frac{1}{2}×5× CD=6$，
解得$CD=\frac{12}{5}=2.4$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；等面积法应用
【点评】
本题是直角三角形计算的基础题型，等面积法是求线段长度的常用技巧，熟练掌握勾股定理和三角形面积公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：第一步，先利用勾股定理求出直角三角形斜边AB的长度；第二步，根据三角形面积的两种计算方法（用两条直角边计算、用斜边和斜边上的高计算），建立等式即可求出CD的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2=3^2+4^2=9+16=25$，
$\therefore AB=5$。
三角形的面积可通过两种方式计算：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×3×4=6$，
同时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CD$，
代入$AB=5$得：$\frac{1}{2}×5× CD=6$，
解得$CD=\frac{12}{5}=2.4$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；等面积法应用
【点评】
本题是直角三角形计算的基础题型，等面积法是求线段长度的常用技巧，熟练掌握勾股定理和三角形面积公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 如图所示，若正方形A，C的面积分别为25和9，则正方形B的面积是 （
A.4
B.8
C.12
D.16
D
）A.4
B.8
C.12
D.16
答案
4.D
解析
【分析】
观察图形可知，三个正方形的边长恰好对应中间直角三角形的三条边，而正方形的面积等于边长的平方，因此可结合勾股定理推导三个正方形的面积关系。首先明确正方形A的边长是直角三角形的斜边，正方形B、C的边长分别是直角三角形的两条直角边，根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，可得三个正方形面积的等量关系，代入已知面积即可求出正方形B的面积。
【解析】
设正方形A、B、C的边长分别为$a$、$b$、$c$，根据正方形面积公式可得：
$S_A=a^2=25$，$S_C=c^2=9$
由图可知，边长为$a$的边是直角三角形的斜边，边长为$b$、$c$的边是直角三角形的两条直角边，根据勾股定理可得：
$b^2 + c^2 = a^2$
变形得正方形B的面积$S_B=b^2=a^2 - c^2$，代入数值计算：
$S_B=25 - 9=16$
【答案】
D
【知识点】
1.勾股定理
2.正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的关键是建立正方形面积和直角三角形边长平方的对应关系，不需要单独求解边长，直接利用面积的等量关系计算即可，解题思路清晰，属于基础巩固类题目。
【难度系数】
0.8
观察图形可知，三个正方形的边长恰好对应中间直角三角形的三条边，而正方形的面积等于边长的平方，因此可结合勾股定理推导三个正方形的面积关系。首先明确正方形A的边长是直角三角形的斜边，正方形B、C的边长分别是直角三角形的两条直角边，根据勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，可得三个正方形面积的等量关系，代入已知面积即可求出正方形B的面积。
【解析】
设正方形A、B、C的边长分别为$a$、$b$、$c$，根据正方形面积公式可得：
$S_A=a^2=25$，$S_C=c^2=9$
由图可知，边长为$a$的边是直角三角形的斜边，边长为$b$、$c$的边是直角三角形的两条直角边，根据勾股定理可得：
$b^2 + c^2 = a^2$
变形得正方形B的面积$S_B=b^2=a^2 - c^2$，代入数值计算：
$S_B=25 - 9=16$
【答案】
D
【知识点】
1.勾股定理
2.正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的关键是建立正方形面积和直角三角形边长平方的对应关系，不需要单独求解边长，直接利用面积的等量关系计算即可，解题思路清晰，属于基础巩固类题目。
【难度系数】
0.8
5. 如图所示,某物流公司的全自动无人机需从仓库出发,向东飞行 1.6 km 后,再向北飞行1.2 km 抵达社区配送点.由于中央区域有信号塔障碍,无人机必须严格沿正东、正北方向飞行.若升级后的导航系统支持直线飞行绕过障碍,则从仓库到社区配送点的最短路径为
(
A.$1.8\ \mathrm{km}$
B.$2.0\ \mathrm{km}$
C.$2.1\ \mathrm{km}$
D.$3.0\ \mathrm{km}$
(
B
)A.$1.8\ \mathrm{km}$
B.$2.0\ \mathrm{km}$
C.$2.1\ \mathrm{km}$
D.$3.0\ \mathrm{km}$
答案
5.B
解析
【分析】
首先明确正东与正北方向互相垂直，因此仓库、正东飞行1.6km的点、社区配送点三点可构成直角三角形，两条直角边长度分别为1.6km和1.2km。根据两点之间线段最短的原理，从仓库到配送点的最短路径就是这个直角三角形的斜边，可通过勾股定理计算斜边长度得到结果。
【解析】
由题意可知，正东方向和正北方向互相垂直，因此无人机向东飞行的1.6km、向北飞行的1.2km和两地的直线距离恰好构成直角三角形的两条直角边和斜边。
设最短路径长度为x km，根据勾股定理：
$x^2 = 1.6^2 + 1.2^2$
计算得：$x^2 = 2.56 + 1.44 = 4$
因为x为正数，所以$x = \sqrt{4} = 2.0$
即最短路径为2.0km，故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用，最短路径问题
【点评】
本题结合生活实际场景考察数学知识的应用，解题关键是将实际问题转化为直角三角形的几何模型，再利用勾股定理计算即可，整体思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先明确正东与正北方向互相垂直，因此仓库、正东飞行1.6km的点、社区配送点三点可构成直角三角形，两条直角边长度分别为1.6km和1.2km。根据两点之间线段最短的原理，从仓库到配送点的最短路径就是这个直角三角形的斜边，可通过勾股定理计算斜边长度得到结果。
【解析】
由题意可知，正东方向和正北方向互相垂直，因此无人机向东飞行的1.6km、向北飞行的1.2km和两地的直线距离恰好构成直角三角形的两条直角边和斜边。
设最短路径长度为x km，根据勾股定理：
$x^2 = 1.6^2 + 1.2^2$
计算得：$x^2 = 2.56 + 1.44 = 4$
因为x为正数，所以$x = \sqrt{4} = 2.0$
即最短路径为2.0km，故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用，最短路径问题
【点评】
本题结合生活实际场景考察数学知识的应用，解题关键是将实际问题转化为直角三角形的几何模型，再利用勾股定理计算即可，整体思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
6. 如图所示，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$。若$BC=12$，$BD=13$，则点$D$到$AB$的距离是（
A.$5$
B.$6$
C.$6.5$
D.$8$
A
）A.$5$
B.$6$
C.$6.5$
D.$8$
答案
6.A
解析
【分析】
要求点D到AB的距离，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知BD平分∠ABC，∠C=90°即DC⊥BC，因此点D到AB的距离等于CD的长度，接下来只需在Rt△BCD中利用勾股定理求出CD的长度即可得到答案。
【解析】
解：在Rt△BCD中，∠C=90°，BC=12，BD=13，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{BD^2-BC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$。
∵BD平分∠ABC，∠C=90°（即DC⊥BC），
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴点D到AB的距离等于CD的长度，即为5。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是利用角平分线的性质将未知的点到直线的距离转化为可求的线段长度，再结合勾股定理计算即可，解题时要注意性质的适用条件，避免混淆。
【难度系数】
0.8
要求点D到AB的距离，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知BD平分∠ABC，∠C=90°即DC⊥BC，因此点D到AB的距离等于CD的长度，接下来只需在Rt△BCD中利用勾股定理求出CD的长度即可得到答案。
【解析】
解：在Rt△BCD中，∠C=90°，BC=12，BD=13，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{BD^2-BC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$。
∵BD平分∠ABC，∠C=90°（即DC⊥BC），
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴点D到AB的距离等于CD的长度，即为5。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础计算题，解题核心是利用角平分线的性质将未知的点到直线的距离转化为可求的线段长度，再结合勾股定理计算即可，解题时要注意性质的适用条件，避免混淆。
【难度系数】
0.8
