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1. 已知最简二次根式$\sqrt{4a + b}$与$\sqrt[{a - b}]{23}$的被开方数相同，则$a + b =$
8
.答案
1. 8
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆最简二次根式的相关性质：①二次根式的根指数为2；②若两个最简二次根式的被开方数相同，则被开方数的数值相等。我们可以根据这两个性质列出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值后，再计算a+b的结果即可。
【解析】
根据题意，两个式子都是二次根式且被开方数相同，可得：
1. 二次根式的根指数为2，因此 $a - b = 2$；
2. 被开方数相同，因此 $4a + b = 23$。
联立得到二元一次方程组：
$\begin{cases} a - b = 2 \quad \mathrm{①} \\ 4a + b = 23 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
将①+②，得：$5a = 25$，解得 $a = 5$。
把$a=5$代入①式，得：$5 - b = 2$，解得 $b = 3$。
所以 $a + b = 5 + 3 = 8$。
【答案】
8
【知识点】
最简二次根式定义；同类二次根式性质；二元一次方程组解法
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是准确把握二次根式的根指数要求以及同类最简二次根式的性质，只要能正确根据概念列方程求解即可得分。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆最简二次根式的相关性质：①二次根式的根指数为2；②若两个最简二次根式的被开方数相同，则被开方数的数值相等。我们可以根据这两个性质列出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值后，再计算a+b的结果即可。
【解析】
根据题意，两个式子都是二次根式且被开方数相同，可得：
1. 二次根式的根指数为2，因此 $a - b = 2$；
2. 被开方数相同，因此 $4a + b = 23$。
联立得到二元一次方程组：
$\begin{cases} a - b = 2 \quad \mathrm{①} \\ 4a + b = 23 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
将①+②，得：$5a = 25$，解得 $a = 5$。
把$a=5$代入①式，得：$5 - b = 2$，解得 $b = 3$。
所以 $a + b = 5 + 3 = 8$。
【答案】
8
【知识点】
最简二次根式定义；同类二次根式性质；二元一次方程组解法
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是准确把握二次根式的根指数要求以及同类最简二次根式的性质，只要能正确根据概念列方程求解即可得分。
【难度系数】
0.7
2. 定义运算：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$.若$\begin{vmatrix} a & 3a \\ 2 & 2a \end{vmatrix}=8$,则$a=\_\_\_\_\_\_$.
答案
2. 4或−1
解析
【分析】
首先理解题目给出的新运算规则：二阶行列式的计算结果为主对角线（左上到右下）元素的乘积减去副对角线（右上到左下）元素的乘积。解题时先将题目中行列式的各元素对应到新运算的参数位置，代入规则得到关于a的一元二次方程，再求解方程即可得到a的取值。
【解析】
根据题中定义的运算规则$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，代入已知行列式可得：
$\begin{vmatrix} a & 3a \\ 2 & 2a \end{vmatrix}=a·2a - 3a·2 = 8$
化简运算：
$2a^2 - 6a = 8$
移项整理为标准一元二次方程形式：
$2a^2 - 6a - 8 = 0$
两边同时除以2简化方程：
$a^2 - 3a - 4 = 0$
因式分解得：
$(a - 4)(a + 1) = 0$
因此$a-4=0$或$a+1=0$，解得$a=4$或$a=-1$。
【答案】
4或−1
【知识点】
新定义运算，一元二次方程求解
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题核心是准确理解新运算的规则，将陌生的行列式运算转化为熟悉的代数运算，计算时注意不要混淆两条对角线的运算顺序即可。
【难度系数】
0.8
首先理解题目给出的新运算规则：二阶行列式的计算结果为主对角线（左上到右下）元素的乘积减去副对角线（右上到左下）元素的乘积。解题时先将题目中行列式的各元素对应到新运算的参数位置，代入规则得到关于a的一元二次方程，再求解方程即可得到a的取值。
【解析】
根据题中定义的运算规则$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，代入已知行列式可得：
$\begin{vmatrix} a & 3a \\ 2 & 2a \end{vmatrix}=a·2a - 3a·2 = 8$
化简运算：
$2a^2 - 6a = 8$
移项整理为标准一元二次方程形式：
$2a^2 - 6a - 8 = 0$
两边同时除以2简化方程：
$a^2 - 3a - 4 = 0$
因式分解得：
$(a - 4)(a + 1) = 0$
因此$a-4=0$或$a+1=0$，解得$a=4$或$a=-1$。
【答案】
4或−1
【知识点】
新定义运算，一元二次方程求解
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题核心是准确理解新运算的规则，将陌生的行列式运算转化为熟悉的代数运算，计算时注意不要混淆两条对角线的运算顺序即可。
【难度系数】
0.8
3. 如图,小亮从点 A 出发前进 10 m,向右转 15°,再前进 10 m,又向右转 15°……这样一直走下去,他第一次回到出发点 A 时,一共走了________ m.
答案
3. 240
解析
【分析】
小亮每次前进相同距离后右转相同角度，回到出发点时走过的路径恰好是一个正多边形：其中每段10m的路程是正多边形的边长，每次右转的15°是正多边形的外角度数。我们可以先利用多边形外角和为360°的性质，求出正多边形的边数，再用边数乘单段路程长度，就能得到总路程。
【解析】
由题意可知，小亮行走的路径是正多边形，该正多边形的每个外角为15°，每条边长为10m。
∵ 任意多边形的外角和均为360°
∴ 该正多边形的边数 = 360°÷15° = 24
总路程 = 边数 × 单边长 = 24 × 10 = 240（m）
【答案】
240
【知识点】
多边形外角和定理；正多边形的性质；周长计算
【点评】
本题将实际行走问题转化为正多边形的数学模型，解题核心是识别出每次转向的角度对应正多边形的外角，结合多边形外角和固定为360°的性质求解，考查了知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
小亮每次前进相同距离后右转相同角度，回到出发点时走过的路径恰好是一个正多边形：其中每段10m的路程是正多边形的边长，每次右转的15°是正多边形的外角度数。我们可以先利用多边形外角和为360°的性质，求出正多边形的边数，再用边数乘单段路程长度，就能得到总路程。
【解析】
由题意可知，小亮行走的路径是正多边形，该正多边形的每个外角为15°，每条边长为10m。
∵ 任意多边形的外角和均为360°
∴ 该正多边形的边数 = 360°÷15° = 24
总路程 = 边数 × 单边长 = 24 × 10 = 240（m）
【答案】
240
【知识点】
多边形外角和定理；正多边形的性质；周长计算
【点评】
本题将实际行走问题转化为正多边形的数学模型，解题核心是识别出每次转向的角度对应正多边形的外角，结合多边形外角和固定为360°的性质求解，考查了知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点$C'$处,折痕为EF,若$∠ ABE = 20°$,那么$∠ EFC'$的度数为
125°
.答案
4. $125°$
解析
【分析】
解题时先利用矩形内角为直角的性质求出△ABE中∠AEB的度数，结合平角定义得到∠BED的度数；再根据折叠的性质，得出折痕EF平分∠BED，求出∠DEF的度数；接着利用矩形对边平行的性质，由内错角相等得到∠EFB的度数；最后根据折叠前后对应角相等，结合邻补角的关系即可求出∠EFC'的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=90°，AD//BC
在Rt△ABE中，∠ABE=20°
∴∠AEB=90°-20°=70°
∴∠BED=180°-∠AEB=180°-70°=110°
由折叠的性质可得：∠BEF=∠DEF，∠EFC'=∠EFC
∴∠DEF=∠BEF=$\frac{1}{2}$∠BED=$\frac{1}{2}$×110°=55°
∵AD//BC
∴∠DEF=∠EFB=55°（两直线平行，内错角相等）
∴∠EFC=180°-∠EFB=180°-55°=125°
∴∠EFC'=∠EFC=125°
【答案】
$125°$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合矩形和平行线的角度关系逐步推导，理清各角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用矩形内角为直角的性质求出△ABE中∠AEB的度数，结合平角定义得到∠BED的度数；再根据折叠的性质，得出折痕EF平分∠BED，求出∠DEF的度数；接着利用矩形对边平行的性质，由内错角相等得到∠EFB的度数；最后根据折叠前后对应角相等，结合邻补角的关系即可求出∠EFC'的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=90°，AD//BC
在Rt△ABE中，∠ABE=20°
∴∠AEB=90°-20°=70°
∴∠BED=180°-∠AEB=180°-70°=110°
由折叠的性质可得：∠BEF=∠DEF，∠EFC'=∠EFC
∴∠DEF=∠BEF=$\frac{1}{2}$∠BED=$\frac{1}{2}$×110°=55°
∵AD//BC
∴∠DEF=∠EFB=55°（两直线平行，内错角相等）
∴∠EFC=180°-∠EFB=180°-55°=125°
∴∠EFC'=∠EFC=125°
【答案】
$125°$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合矩形和平行线的角度关系逐步推导，理清各角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5. 要考察某批炮弹的杀伤半径，从中抽取一部分炮弹进行试验，然后用这一部分炮弹的杀伤半径去估计这批炮弹的杀伤半径，这里蕴含的重要数学思想方法是
用样本估计总体
.答案
5. 用样本估计总体
解析
【分析】
解题时先明确考察对象：整批炮弹的杀伤半径是要研究的总体，由于测试杀伤半径的试验会消耗炮弹，具有破坏性，不可能对所有炮弹逐一测试，因此只能抽取部分炮弹（即样本）开展试验。我们的目标是得到总体的杀伤半径特征，自然可以通过分析样本的特征推断总体的特征，对应的就是统计中常用的用样本估计总体的思想。
【解析】
首先明确相关统计概念：①总体：该批所有炮弹的杀伤半径；②样本：抽取的部分炮弹的杀伤半径。因为测试炮弹杀伤半径的试验具有破坏性，无法对所有炮弹逐一测试，所以通过统计样本的杀伤半径数据，来估计整批炮弹的杀伤半径情况，这种数学思想方法就是用样本估计总体。
【答案】
用样本估计总体
【知识点】
1. 用样本估计总体 2. 抽样调查
【点评】
本题结合实际试验场景考查统计基础思想方法的理解，属于基础概念题，掌握总体、样本的区别和联系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时先明确考察对象：整批炮弹的杀伤半径是要研究的总体，由于测试杀伤半径的试验会消耗炮弹，具有破坏性，不可能对所有炮弹逐一测试，因此只能抽取部分炮弹（即样本）开展试验。我们的目标是得到总体的杀伤半径特征，自然可以通过分析样本的特征推断总体的特征，对应的就是统计中常用的用样本估计总体的思想。
【解析】
首先明确相关统计概念：①总体：该批所有炮弹的杀伤半径；②样本：抽取的部分炮弹的杀伤半径。因为测试炮弹杀伤半径的试验具有破坏性，无法对所有炮弹逐一测试，所以通过统计样本的杀伤半径数据，来估计整批炮弹的杀伤半径情况，这种数学思想方法就是用样本估计总体。
【答案】
用样本估计总体
【知识点】
1. 用样本估计总体 2. 抽样调查
【点评】
本题结合实际试验场景考查统计基础思想方法的理解，属于基础概念题，掌握总体、样本的区别和联系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
6. 如图,在 $Rt△ MNQ$ 中,$∠ NQM=90°$,点 $M$, $Q$ 在数轴上所表示的数分别为$-2$, $1$.以点 $M$ 为圆心、$MN$ 长为半径画弧交数轴正半轴于点 $A$,数轴上点 $A$ 所表示的数为 $a$,则 $a$ 的值是(
A.$-2+\sqrt{10}$
B.$\sqrt{10}-1$
C.$-1-\sqrt{10}$
D.$2-\sqrt{10}$
A
).A.$-2+\sqrt{10}$
B.$\sqrt{10}-1$
C.$-1-\sqrt{10}$
D.$2-\sqrt{10}$
答案
6. A
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步先求直角三角形的直角边MQ的长度，利用数轴上两点距离等于右侧点表示的数减左侧点表示的数即可计算；第二步用勾股定理求出斜边MN的长度，MN就是圆弧的半径；第三步根据圆的半径相等得到MA=MN，再结合点M的位置和点A在M右侧的特点，就能算出点A对应的数a。
【解析】
首先计算线段MQ的长度：
∵点M、Q在数轴上表示的数分别为-2、1，
∴$MQ = 1 - (-2) = 3$。
在$Rt△MNQ$中，$∠NQM=90°$，$QN=1$，由勾股定理得：
$MN = \sqrt{MQ^2 + QN^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$。
∵以M为圆心、MN长为半径画弧交数轴正半轴于点A，
∴$MA = MN = \sqrt{10}$。
∵点A在点M的右侧，点M表示的数为-2，
∴点A表示的数$a = -2 + \sqrt{10}$。
符合A选项。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，数轴与实数，圆的基本性质
【点评】
本题是数形结合类基础题，融合了数轴、直角三角形、圆的相关知识，解题关键是先求出圆弧半径的长度，再结合数轴上点的位置关系计算对应实数，这类题型是实数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题可按三步思考：第一步先求直角三角形的直角边MQ的长度，利用数轴上两点距离等于右侧点表示的数减左侧点表示的数即可计算；第二步用勾股定理求出斜边MN的长度，MN就是圆弧的半径；第三步根据圆的半径相等得到MA=MN，再结合点M的位置和点A在M右侧的特点，就能算出点A对应的数a。
【解析】
首先计算线段MQ的长度：
∵点M、Q在数轴上表示的数分别为-2、1，
∴$MQ = 1 - (-2) = 3$。
在$Rt△MNQ$中，$∠NQM=90°$，$QN=1$，由勾股定理得：
$MN = \sqrt{MQ^2 + QN^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$。
∵以M为圆心、MN长为半径画弧交数轴正半轴于点A，
∴$MA = MN = \sqrt{10}$。
∵点A在点M的右侧，点M表示的数为-2，
∴点A表示的数$a = -2 + \sqrt{10}$。
符合A选项。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，数轴与实数，圆的基本性质
【点评】
本题是数形结合类基础题，融合了数轴、直角三角形、圆的相关知识，解题关键是先求出圆弧半径的长度，再结合数轴上点的位置关系计算对应实数，这类题型是实数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
7. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别是$a$，$b$，$c$，则下列结论错误的是（ ）.
A.$c=2a$
B.$a^2 + b^2 = c^2$
C.$a:b = 1:\sqrt{3}$
D.$b^2 = 2a^2$
A.$c=2a$
B.$a^2 + b^2 = c^2$
C.$a:b = 1:\sqrt{3}$
D.$b^2 = 2a^2$
答案
7. D
解析
【分析】
本题考查直角三角形的相关性质，解题思路为：首先根据含30°角的直角三角形的性质得到斜边与30°角对边的关系，再结合勾股定理推导三边的数量关系，逐一验证四个选项，找出错误的结论即可。
【解析】
已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的对边分别为$a$、$b$、$c$：
1. 验证选项A：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，$∠ A=30°$，它所对的直角边是$a$，斜边是$c$，因此$c=2a$，A选项结论正确，不符合题意。
2. 验证选项B：任意直角三角形都满足勾股定理，即两直角边的平方和等于斜边的平方，因此$a^2+b^2=c^2$，B选项结论正确，不符合题意。
3. 验证选项C：将$c=2a$代入勾股定理公式得$a^2 + b^2=(2a)^2=4a^2$，整理得$b^2=3a^2$，由于边长为正数，因此$b=\sqrt{3}a$，因此$a:b=a:\sqrt{3}a=1:\sqrt{3}$，C选项结论正确，不符合题意。
4. 验证选项D：由上述推导可知$b^2=3a^2$，而非$b^2=2a^2$，D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础题，主要考察直角三角形的基础性质，只要熟练掌握含30°角的直角三角形的边角关系和勾股定理，就能快速判断各选项的正误。
【难度系数】
0.8
本题考查直角三角形的相关性质，解题思路为：首先根据含30°角的直角三角形的性质得到斜边与30°角对边的关系，再结合勾股定理推导三边的数量关系，逐一验证四个选项，找出错误的结论即可。
【解析】
已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的对边分别为$a$、$b$、$c$：
1. 验证选项A：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，$∠ A=30°$，它所对的直角边是$a$，斜边是$c$，因此$c=2a$，A选项结论正确，不符合题意。
2. 验证选项B：任意直角三角形都满足勾股定理，即两直角边的平方和等于斜边的平方，因此$a^2+b^2=c^2$，B选项结论正确，不符合题意。
3. 验证选项C：将$c=2a$代入勾股定理公式得$a^2 + b^2=(2a)^2=4a^2$，整理得$b^2=3a^2$，由于边长为正数，因此$b=\sqrt{3}a$，因此$a:b=a:\sqrt{3}a=1:\sqrt{3}$，C选项结论正确，不符合题意。
4. 验证选项D：由上述推导可知$b^2=3a^2$，而非$b^2=2a^2$，D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础题，主要考察直角三角形的基础性质，只要熟练掌握含30°角的直角三角形的边角关系和勾股定理，就能快速判断各选项的正误。
【难度系数】
0.8
