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14. 观察下列方程和等式，寻找规律，完成问题：
① 方程$x^2 - 7x + 6 = 0$的两根为$x_1=1$，$x_2=6$，而$x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6)$；
② 方程$x^2 - 4x - 5 = 0$的两根为$x_1=5$，$x_2=-1$，而$x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)$；
③ 方程$4x^2 - 12x + 9 = 0$的两根为$x_1 = \frac{3}{2}$，$x_2 = \frac{3}{2}$，而$4x^2 - 12x + 9 = 4(x - \frac{3}{2})(x - \frac{3}{2})$；
④ 方程$3x^2 + 7x + 4 = 0$的两根为$x_1 = -\frac{4}{3}$，$x_2 = -1$，而$3x^2 + 7x + 4 = 3(x + \frac{4}{3})(x + 1)$；
……
（1）探究规律：关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0,\ b^2 - 4ac ＞ 0)$的两根为
（2）解决问题：根据上述材料将下列多项式分解.
$x^2 - x - 2 =$
（3）拓展应用：如图，现有$1×1$，$a×a$的正方形纸片和$1×a$的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次），在下面的虚线方框中画出拼成的一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为$2a^2 + 5a + 2$，并标出此矩形相邻两边长.
① 方程$x^2 - 7x + 6 = 0$的两根为$x_1=1$，$x_2=6$，而$x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6)$；
② 方程$x^2 - 4x - 5 = 0$的两根为$x_1=5$，$x_2=-1$，而$x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)$；
③ 方程$4x^2 - 12x + 9 = 0$的两根为$x_1 = \frac{3}{2}$，$x_2 = \frac{3}{2}$，而$4x^2 - 12x + 9 = 4(x - \frac{3}{2})(x - \frac{3}{2})$；
④ 方程$3x^2 + 7x + 4 = 0$的两根为$x_1 = -\frac{4}{3}$，$x_2 = -1$，而$3x^2 + 7x + 4 = 3(x + \frac{4}{3})(x + 1)$；
……
（1）探究规律：关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0,\ b^2 - 4ac ＞ 0)$的两根为
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
，则$ax^2 + bx + c =$$a(x - \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})(x - \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})$
；（2）解决问题：根据上述材料将下列多项式分解.
$x^2 - x - 2 =$
$(x+1)(x-2)$
；$2x^2 + 3x - 2 =$$2(x+2)(x - \frac{1}{2})$
；（3）拓展应用：如图，现有$1×1$，$a×a$的正方形纸片和$1×a$的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次），在下面的虚线方框中画出拼成的一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为$2a^2 + 5a + 2$，并标出此矩形相邻两边长.
答案
14. (1) $x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$；$a(x - \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})(x - \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})$
(2) $(x+1)(x-2)$；$2(x+2)(x - \frac{1}{2})$
(3) 将$2a^2 +5a +2$分解因式，得$2a^2 +5a +2=(a+2)(2a+1)$.因此拼出的矩形相邻两边长分别为$a+2$，$2a+1$.图略
(2) $(x+1)(x-2)$；$2(x+2)(x - \frac{1}{2})$
(3) 将$2a^2 +5a +2$分解因式，得$2a^2 +5a +2=(a+2)(2a+1)$.因此拼出的矩形相邻两边长分别为$a+2$，$2a+1$.图略
解析
【分析】
本题是规律探究结合实际应用的综合题型，解题思路如下：
1. 第（1）问：观察给出的4个示例，总结一元二次方程的根和二次三项式因式分解的对应关系，结合一元二次方程求根公式，即可写出两根和分解后的表达式。
2. 第（2）问：利用第（1）问得到的规律，先求解对应一元二次方程的两根，再按照规律将多项式因式分解，也可通过十字相乘法直接验证结果。
3. 第（3）问：先将表示面积的多项式因式分解，得到矩形的相邻两边长，再根据多项式各项的系数对应选用三种纸片，拼接成符合要求的矩形即可，注意每种纸片至少使用一次。
【解析】
（1）根据一元二次方程求根公式，当$a≠0,\ b^2 - 4ac ＞ 0$时，方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根为$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$；结合示例规律可知，二次三项式分解时需保留二次项系数作为公因式，因此$ax^2 + bx + c = a(x - \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})(x - \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})$。
（2）① 对$x^2 - x - 2$，解方程$x^2 - x - 2=0$，得两根$x_1=2$，$x_2=-1$，因此$x^2 - x - 2=(x-2)(x+1)$；
② 对$2x^2 + 3x - 2$，解方程$2x^2 + 3x - 2=0$，得两根$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-2$，因此$2x^2 + 3x - 2=2(x-\frac{1}{2})(x+2)$。
（3）先分解多项式$2a^2 +5a +2$，十字相乘可得$2a^2 +5a +2=(2a+1)(a+2)$，因此矩形相邻两边长为$2a+1$和$a+2$。拼图时取2块$a×a$正方形、5块$1×a$矩形、2块$1×1$正方形，组合成对应尺寸的矩形，保留各纸片的边界痕迹即可。
【答案】
(1) $x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$；$a(x - \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})(x - \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})$
(2) $(x+1)(x-2)$；$2(x+2)(x - \frac{1}{2})$
(3) 矩形相邻两边长为$a+2$和$2a+1$，图略
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 因式分解
3. 整式的几何意义
【点评】
本题从规律探究出发，将一元二次方程的解与多项式因式分解相结合，延伸到几何拼图应用，既考查学生的观察归纳能力，也检验知识迁移和动手操作的能力，需要学生熟练掌握一元二次方程求解、因式分解的方法，同时理解整式与图形面积的对应关系。
【难度系数】
0.7
本题是规律探究结合实际应用的综合题型，解题思路如下：
1. 第（1）问：观察给出的4个示例，总结一元二次方程的根和二次三项式因式分解的对应关系，结合一元二次方程求根公式，即可写出两根和分解后的表达式。
2. 第（2）问：利用第（1）问得到的规律，先求解对应一元二次方程的两根，再按照规律将多项式因式分解，也可通过十字相乘法直接验证结果。
3. 第（3）问：先将表示面积的多项式因式分解，得到矩形的相邻两边长，再根据多项式各项的系数对应选用三种纸片，拼接成符合要求的矩形即可，注意每种纸片至少使用一次。
【解析】
（1）根据一元二次方程求根公式，当$a≠0,\ b^2 - 4ac ＞ 0$时，方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根为$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$；结合示例规律可知，二次三项式分解时需保留二次项系数作为公因式，因此$ax^2 + bx + c = a(x - \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})(x - \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})$。
（2）① 对$x^2 - x - 2$，解方程$x^2 - x - 2=0$，得两根$x_1=2$，$x_2=-1$，因此$x^2 - x - 2=(x-2)(x+1)$；
② 对$2x^2 + 3x - 2$，解方程$2x^2 + 3x - 2=0$，得两根$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-2$，因此$2x^2 + 3x - 2=2(x-\frac{1}{2})(x+2)$。
（3）先分解多项式$2a^2 +5a +2$，十字相乘可得$2a^2 +5a +2=(2a+1)(a+2)$，因此矩形相邻两边长为$2a+1$和$a+2$。拼图时取2块$a×a$正方形、5块$1×a$矩形、2块$1×1$正方形，组合成对应尺寸的矩形，保留各纸片的边界痕迹即可。
【答案】
(1) $x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$；$a(x - \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})(x - \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})$
(2) $(x+1)(x-2)$；$2(x+2)(x - \frac{1}{2})$
(3) 矩形相邻两边长为$a+2$和$2a+1$，图略
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 因式分解
3. 整式的几何意义
【点评】
本题从规律探究出发，将一元二次方程的解与多项式因式分解相结合，延伸到几何拼图应用，既考查学生的观察归纳能力，也检验知识迁移和动手操作的能力，需要学生熟练掌握一元二次方程求解、因式分解的方法，同时理解整式与图形面积的对应关系。
【难度系数】
0.7
