8. 设$ a $，$ b $是方程$ x^2 + x - 2023 = 0 $的两个实数根，则$ a^2 + ab + 2a + b $的值是（）.

A.2 022
B.2 023
C.−1
D.−2

8. C

【分析】
本题可利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解：首先根据a是方程的根，得到a²+a的数值；再由根与系数的关系得到两根之和a+b、两根之积ab的数值；最后将所求代数式变形为含有上述三个式子的形式，整体代入计算即可，无需直接求出a、b的具体值。
【解析】
∵ a是方程$x^2 + x - 2023 = 0$的实数根，
∴ 将x=a代入方程得：$a^2 + a - 2023 = 0$，即$a^2 + a = 2023$。
∵ a，b是方程$x^2 + x - 2023 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系可得：
$a + b = -1$，$ab = -2023$。
对所求代数式变形：
$a^2 + ab + 2a + b = (a^2 + a) + ab + (a + b)$
将上述所得数值代入：
原式$= 2023 + (-2023) + (-1) = -1$
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.根与系数的关系
3.代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根相关的基础常考题，核心解题思路是整体代入，避免了求解方程根的复杂运算，重点考查对根的定义和根与系数关系的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

9. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE，EF为折痕，$∠ BAE = 30°$，$AB = \sqrt{3}$，折叠后，点C落在边AD上的点$C_1$处，并且点B落在边$EC_1$上的点$B_1$处，则BC的长为（）。

A.$\sqrt{3}$
B.2
C.3
D.$2\sqrt{3}$

9. C

【分析】
解决本题的核心是利用折叠的性质找到相等的边和角，结合矩形的性质逐步推导：1. 先在Rt△ABE中，利用30°角的直角三角形性质求出BE和AE的长度；2. 结合折叠性质和平行线的性质，证明△AEC₁是等边三角形，得到EC的长度；3. 最终由BC=BE+EC算出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD//BC。
在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=√3，
∴∠AEB=60°，
由三角函数得：$BE=AB · \tan30°=\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3}=1$，$AE=\frac{AB}{\cos30°}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$。
根据折叠的性质：∠AEB₁=∠AEB=60°，$EC=EC₁$。
∵AD//BC，
∴∠EAC₁=∠AEB=60°，
∴△AEC₁中，∠EAC₁=∠AEB₁=60°，故△AEC₁是等边三角形，
∴$EC₁=AE=2$，则$EC=2$，
∴$BC=BE+EC=1+2=3$。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，矩形的性质，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题属于几何折叠类基础计算题，解题关键是抓住折叠前后边、角不变的特点，结合矩形和平行线的性质，将所求线段拆分为已知可求的两段相加，难度不大，考查对几何基本性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

10. 小甜同学所在的八(1)班共有 50 名学生，一次体检测量了全班学生的身高，求得该班学生的平均身高是 1.65 m，而小甜的身高是 1.66 m，下列说法正确的是().

A.该班至少有 25 位同学的身高超过 1.65 m
B.1.65 m 是该班学生身高的一般水平
C.该班比小甜同学高的学生人数不会超过 25 人
D.该班学生身高出现次数最多的是 1.65 m

10. B

【分析】
解决本题首先要明确平均数的核心意义：平均数是一组数据总和除以数据个数得到的结果，反映的是数据的一般水平，它不能直接确定高于/低于平均值的具体人数，也不等同于众数（出现次数最多的数）。解题时可结合平均数的性质逐一分析每个选项，排除错误表述即可得到正确答案。
【解析】
首先明确平均身高的计算方式：全班身高总和÷总人数=1.65m，即全班身高总和为$50×1.65=82.5\mathrm{m}$。
对各选项逐一分析：
A. 平均身高1.65m仅代表整体平均水平，可能仅少数身高极高的同学拉高了平均值，高于1.65m的人数可以远少于25人，该说法错误；
B. 平均数的统计意义就是反映一组数据的一般水平，因此1.65m是该班学生身高的一般水平，该说法正确；
C. 只要较高同学身高超出平均值的总部分，等于较矮同学低于平均值的总部分，即可满足平均身高为1.65m，因此比1.66m高的学生人数可以超过25人，该说法错误；
D. 1.65m是平均数，学生身高出现次数最多的是众数，平均数和众数没有必然相等的关系，无法判断1.65m是出现次数最多的身高，该说法错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 平均数的意义
2. 众数的概念
【点评】
本题考查统计中平均数的相关概念，需要准确区分平均数、众数的不同性质，不要混淆不同统计量的意义，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8

三、解答题
11. 先化简,再求值:$\dfrac{a - 2}{a^2 - 1} ÷ (a - 1 - \dfrac{2a - 1}{a + 1})$,其中$a$是方程$x^2 - x = 6$的根.

11. 原式=$\frac{1}{a^2-a}$.当 a 是方程 $x^2 - x = 6$ 的根时,原式=$\frac{1}{6}$

【分析】
这是分式化简求值类题目，解题分两步进行：第一步先化简分式，先处理括号内的分式减法运算，将整式通分转化为同分母分式后计算差，再把分式除法转化为乘法，通过约分化为最简形式；第二步利用方程根的性质，无需解出a的具体值，观察化简后的式子和方程的关系，整体代入计算即可，同时要注意隐含的分式有意义的条件，确保代入的根符合要求。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算括号内的部分：
$a - 1 - \dfrac{2a - 1}{a + 1} = \dfrac{(a - 1)(a + 1)}{a + 1} - \dfrac{2a - 1}{a + 1}$
$= \dfrac{a^2 - 1 - (2a - 1)}{a + 1}$
$= \dfrac{a^2 - 1 - 2a + 1}{a + 1} = \dfrac{a^2 - 2a}{a + 1} = \dfrac{a(a - 2)}{a + 1}$
2. 将除法转化为乘法运算：
原式$= \dfrac{a - 2}{a^2 - 1} ÷ \dfrac{a(a - 2)}{a + 1}$
$= \dfrac{a - 2}{(a - 1)(a + 1)} × \dfrac{a + 1}{a(a - 2)}$
3. 约分化简：
约掉分子分母的公因式$(a - 2)$和$(a + 1)$，得：
原式$= \dfrac{1}{a(a - 1)} = \dfrac{1}{a^2 - a}$
4. 代入求值：
∵a是方程$x^2 - x = 6$的根，
∴把$x=a$代入方程得$a^2 - a = 6$
将$a^2 - a = 6$代入化简后的式子，得原式$= \dfrac{1}{6}$
（注：分式有意义的条件为$a≠±1,a≠0,a≠2$，方程$x^2 -x =6$的根为$x_1=3,x_2=-2$，均满足要求）
【答案】
原式化简为$\dfrac{1}{a^2 - a}$，值为$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
分式的混合运算、一元二次方程的根的定义、整体代入求值
【点评】
本题综合考查分式的化简计算和方程根的应用，解题时需遵循分式运算的顺序先化简再求值，利用整体代入的方法可简化计算，同时要注意验证分式有意义的条件，避免出现增根导致结果错误。
【难度系数】
0.7

12. 如图,在$△ ABC$中,$D$是$BC$的中点,点$E$在$AD$上,点$F$在$AD$的延长线上,且$BE// CF$.
(1) 求证: 四边形$BECF$是平行四边形;
(2) 请在$△ ABC$中添加一个条件________,使四边形$BECF$是菱形,并说明理由.

12.（1）$\because BE // CF$，$\therefore ∠ BED=∠ CFD$. $\because ∠ BDE=∠ CDF,BD=CD,\therefore △ BDE≌△ CDF$. $\therefore DE=DF$. $\therefore$ 四边形 $BECF$ 是平行四边形 （2）答案不唯一.如: $AB=AC$.理由: $\because AB=AC,BD=CD$, $\therefore AD⊥ BC$.由(1)得四边形 $BECF$ 是平行四边形.$\therefore$ 四边形 $BECF$ 是菱形

【分析】
(1) 要证四边形BECF是平行四边形，已知BE//CF，可通过证明对角线互相平分来推导：先利用平行线性质得一组内错角相等，结合D是BC中点得BD=CD，再加对顶角相等，证明△BDE≌△CDF，得到DE=DF，即可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形完成证明。
(2) 菱形判定为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”或“邻边相等的平行四边形是菱形”，因此可添加让平行四边形对角线垂直的条件，如AB=AC，利用等腰三角形三线合一得AD⊥BC，即可推导平行四边形为菱形。
【解析】
(1) 证明：
$\because BE // CF$，
$\therefore ∠BED=∠CFD$，
$\because D$是$BC$的中点，
$\therefore BD=CD$，
在$△ BDE$和$△ CDF$中：
$\begin{cases}∠BED=∠CFD \\∠BDE=∠CDF \\BD=CD\end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ CDF(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DE=DF$，
又$\because BD=CD$，即四边形$BECF$的对角线互相平分，
$\therefore$ 四边形$BECF$是平行四边形。
(2) 添加条件示例：$AB=AC$，理由如下：
$\because AB=AC$，$BD=CD$，
$\therefore AD⊥BC$（等腰三角形三线合一），即$EF⊥BC$，
由(1)得四边形$BECF$是平行四边形，
$\because$ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
$\therefore$ 四边形$BECF$是菱形。（答案不唯一，合理即可）
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $AB=AC$（答案不唯一），理由见上述解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，侧重考查特殊四边形的判定定理，第二问为开放性设问，解题时只要结合菱形的判定规则添加合理条件即可，能够帮助学生巩固特殊四边形的判定逻辑。
【难度系数】
0.7