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1.（教材练习变式）如图，在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C=70°$，$D$为$BC$的中点，连接$AD$，则$∠ BAD$的度数为 （
A.$55°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$40°$
B
）A.$55°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$40°$
答案
1. B 解析:
∵∠B=∠C=70°,
∴AB=AC.
∵D为BC的中点,
∴∠ADB=90°,
∴∠BAD=∠ADB-∠B=90°-70°=20°.
∵∠B=∠C=70°,
∴AB=AC.
∵D为BC的中点,
∴∠ADB=90°,
∴∠BAD=∠ADB-∠B=90°-70°=20°.
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，△ABC中两个底角∠B和∠C相等，首先根据等腰三角形的判定定理“等角对等边”可判断△ABC是等腰三角形；再结合D是BC中点的条件，想到等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD垂直于BC，即△ABD是直角三角形；最后利用直角三角形两锐角互余的关系，即可计算出∠BAD的度数。
【解析】
∵ ∠B=∠C=70°，
∴ AB=AC（等角对等边），即△ABC是等腰三角形。
∵ D为BC的中点，
∴ AD⊥BC（等腰三角形三线合一），即∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，∠BAD + ∠B = 90°，
∴ ∠BAD = 90° - ∠B = 90° - 70° = 20°。
【答案】
B
【知识点】
等角对等边，等腰三角形三线合一，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是等腰三角形相关性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定及三线合一的性质，结合直角三角形的角度关系快速求解未知角。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件，△ABC中两个底角∠B和∠C相等，首先根据等腰三角形的判定定理“等角对等边”可判断△ABC是等腰三角形；再结合D是BC中点的条件，想到等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD垂直于BC，即△ABD是直角三角形；最后利用直角三角形两锐角互余的关系，即可计算出∠BAD的度数。
【解析】
∵ ∠B=∠C=70°，
∴ AB=AC（等角对等边），即△ABC是等腰三角形。
∵ D为BC的中点，
∴ AD⊥BC（等腰三角形三线合一），即∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，∠BAD + ∠B = 90°，
∴ ∠BAD = 90° - ∠B = 90° - 70° = 20°。
【答案】
B
【知识点】
等角对等边，等腰三角形三线合一，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是等腰三角形相关性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定及三线合一的性质，结合直角三角形的角度关系快速求解未知角。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A=15°$,$D$是$AC$上一点,连接$BD$,$∠ DBC=60°$,$BD=4$,则$AD$的长为（
A.4
B.5
C.6
D.8
A
）A.4
B.5
C.6
D.8
答案
2. A
解析
【分析】
解题时先从已知角度的直角三角形入手，先计算△BDC中∠BDC的度数，再利用三角形外角的性质推导△ABD中角的数量关系，最后结合等腰三角形的判定定理即可求出AD的长度。具体思考路径：①在Rt△DBC中，利用三角形内角和求出∠BDC；②根据外角性质，由∠BDC和∠A的度数求出∠ABD的度数；③发现∠ABD与∠A相等，根据“等角对等边”即可得到AD和BD的等量关系，代入BD的长度即可得解。
【解析】
在△DBC中，
∵∠C=90°，∠DBC=60°，
∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-90°-60°=30°。
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC=∠A+∠ABD，
又
∵∠A=15°，
∴∠ABD=∠BDC-∠A=30°-15°=15°，
∴∠ABD=∠A，
根据等角对等边可得AD=BD，
∵BD=4，
∴AD=4。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是通过角度推导得到等角，进而利用等腰三角形的判定实现边的转化，不需要复杂的辅助线，掌握基础的角度计算和等腰三角形判定即可解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知角度的直角三角形入手，先计算△BDC中∠BDC的度数，再利用三角形外角的性质推导△ABD中角的数量关系，最后结合等腰三角形的判定定理即可求出AD的长度。具体思考路径：①在Rt△DBC中，利用三角形内角和求出∠BDC；②根据外角性质，由∠BDC和∠A的度数求出∠ABD的度数；③发现∠ABD与∠A相等，根据“等角对等边”即可得到AD和BD的等量关系，代入BD的长度即可得解。
【解析】
在△DBC中，
∵∠C=90°，∠DBC=60°，
∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-90°-60°=30°。
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC=∠A+∠ABD，
又
∵∠A=15°，
∴∠ABD=∠BDC-∠A=30°-15°=15°，
∴∠ABD=∠A，
根据等角对等边可得AD=BD，
∵BD=4，
∴AD=4。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是通过角度推导得到等角，进而利用等腰三角形的判定实现边的转化，不需要复杂的辅助线，掌握基础的角度计算和等腰三角形判定即可解题。
【难度系数】
0.8
3. (1)在$△ ABC$中，$∠ A=100°$，当$∠ B$的度数为________时，$△ ABC$是等腰三角形。
(2)在$△ ABC$中，$∠ A=70°$，当$∠ B$的度数为________时，$△ ABC$是等腰三角形。
(2)在$△ ABC$中，$∠ A=70°$，当$∠ B$的度数为________时，$△ ABC$是等腰三角形。
答案
3. (1)40° (2)55°或70°或40° 解析:若∠A为顶角,且∠A=70°,则∠B=∠C=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=$\frac{1}{2}$×(180°-70°)=55°;若∠A为底角,且∠B为底角,则∠B=∠A=70°;若∠A为底角,且∠B为顶角,则∠A=∠C=70°,∠B=180°-∠A-∠C=180°-70°-70°=40°.
解析
【分析】
要解决等腰三角形的角度计算问题，需结合等腰三角形“两底角相等”的性质和三角形内角和为180°的定理，分情况讨论已知角是顶角还是底角，同时注意三角形内角必须小于180°，排除不符合逻辑的情况。
(1)中∠A=100°为钝角，钝角不可能作为等腰三角形的底角（否则两个底角之和超过180°，不符合内角和定理），因此∠A只能是顶角，仅1种计算情况；
(2)中∠A=70°为锐角，既可以作为顶角，也可以作为底角，因此需要分三种情况讨论，避免漏解。
【解析】
(1)
∵ △ABC是等腰三角形，∠A=100°，且三角形内角和为180°
∴ 100°只能为等腰三角形的顶角，底角∠B=∠C
∴ ∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-100°)÷2=40°
(2) 分三种情况讨论：
① 当∠A为顶角时，∠B和∠C为相等的底角：
∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-70°)÷2=55°
② 当∠A为底角，且∠B也为底角时：
∠B=∠A=70°
③ 当∠A为底角，且∠B为顶角时，另一个底角∠C=∠A=70°：
∠B=180°-∠A-∠C=180°-70°-70°=40°
【答案】
(1) 40°；(2) 55°或70°或40°
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形内角和定理
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题核心是根据已知角的大小合理划分讨论情况，既不能漏解，也要注意结合内角和定理排除不符合实际的角度情况，能有效考查学生思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
要解决等腰三角形的角度计算问题，需结合等腰三角形“两底角相等”的性质和三角形内角和为180°的定理，分情况讨论已知角是顶角还是底角，同时注意三角形内角必须小于180°，排除不符合逻辑的情况。
(1)中∠A=100°为钝角，钝角不可能作为等腰三角形的底角（否则两个底角之和超过180°，不符合内角和定理），因此∠A只能是顶角，仅1种计算情况；
(2)中∠A=70°为锐角，既可以作为顶角，也可以作为底角，因此需要分三种情况讨论，避免漏解。
【解析】
(1)
∵ △ABC是等腰三角形，∠A=100°，且三角形内角和为180°
∴ 100°只能为等腰三角形的顶角，底角∠B=∠C
∴ ∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-100°)÷2=40°
(2) 分三种情况讨论：
① 当∠A为顶角时，∠B和∠C为相等的底角：
∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-70°)÷2=55°
② 当∠A为底角，且∠B也为底角时：
∠B=∠A=70°
③ 当∠A为底角，且∠B为顶角时，另一个底角∠C=∠A=70°：
∠B=180°-∠A-∠C=180°-70°-70°=40°
【答案】
(1) 40°；(2) 55°或70°或40°
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形内角和定理
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题核心是根据已知角的大小合理划分讨论情况，既不能漏解，也要注意结合内角和定理排除不符合实际的角度情况，能有效考查学生思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
4. 如图,已知$OC$平分$∠AOB$,$CD// OB$,若$OD=3\ \mathrm{cm}$,则$CD$的长为________$\mathrm{cm}$.
答案
4. 3
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：①OC平分∠AOB，根据角平分线的定义可得两个角相等；②CD//OB，根据平行线的内错角相等的性质，可得到另一组相等的角；通过等量代换可得到△OCD中两个内角相等，再根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，即可得到CD和OD的长度关系，代入已知OD的长度就能求出CD的长。
【解析】
解：
∵OC平分∠AOB
∴∠DOC = ∠BOC（角平分线的定义）
∵CD // OB
∴∠DCO = ∠BOC（两直线平行，内错角相等）
∴∠DOC = ∠DCO（等量代换）
∴△DOC是等腰三角形
∴CD = OD（等角对等边）
又
∵OD = 3cm
∴CD = 3cm
【答案】
3
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何应用题，解题的核心是通过角平分线和平行线的性质推导得到相等的角，进而判定等腰三角形，熟练掌握相关性质和判定定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.85
解题时首先从已知条件入手：①OC平分∠AOB，根据角平分线的定义可得两个角相等；②CD//OB，根据平行线的内错角相等的性质，可得到另一组相等的角；通过等量代换可得到△OCD中两个内角相等，再根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，即可得到CD和OD的长度关系，代入已知OD的长度就能求出CD的长。
【解析】
解：
∵OC平分∠AOB
∴∠DOC = ∠BOC（角平分线的定义）
∵CD // OB
∴∠DCO = ∠BOC（两直线平行，内错角相等）
∴∠DOC = ∠DCO（等量代换）
∴△DOC是等腰三角形
∴CD = OD（等角对等边）
又
∵OD = 3cm
∴CD = 3cm
【答案】
3
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何应用题，解题的核心是通过角平分线和平行线的性质推导得到相等的角，进而判定等腰三角形，熟练掌握相关性质和判定定理是快速解题的关键。
【难度系数】
0.85
5. 如图，把长方形纸片沿着线段AB折叠，重叠部分的$△ ABC$是________三角形.
答案
5. 等腰
解析
【分析】
解题时先结合折叠的性质得到对应角相等，再利用长方形对边平行的性质得到内错角相等，通过等量代换得到△ABC的两个内角相等，最后根据等腰三角形的判定定理即可判断三角形的形状。
【解析】
∵ 长方形纸片沿线段AB折叠，
∴ 折叠前后对应角相等，即∠DAB=∠CAB。
∵ 长方形的对边互相平行，即AD//BC，
∴ 根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠DAB=∠CBA。
∴ ∠CAB=∠CBA（等量代换），
∴ AC=BC（等角对等边），
∴ △ABC是等腰三角形。
【答案】
等腰
【知识点】
折叠的性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础常考题，将折叠变换与几何图形性质结合考查，解题的核心是通过角的等量关系推出边相等，熟练掌握相关性质和判定定理就能快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时先结合折叠的性质得到对应角相等，再利用长方形对边平行的性质得到内错角相等，通过等量代换得到△ABC的两个内角相等，最后根据等腰三角形的判定定理即可判断三角形的形状。
【解析】
∵ 长方形纸片沿线段AB折叠，
∴ 折叠前后对应角相等，即∠DAB=∠CAB。
∵ 长方形的对边互相平行，即AD//BC，
∴ 根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠DAB=∠CBA。
∴ ∠CAB=∠CBA（等量代换），
∴ AC=BC（等角对等边），
∴ △ABC是等腰三角形。
【答案】
等腰
【知识点】
折叠的性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础常考题，将折叠变换与几何图形性质结合考查，解题的核心是通过角的等量关系推出边相等，熟练掌握相关性质和判定定理就能快速解答。
【难度系数】
0.8
6. 如图,已知 AC 和 BD 相交于点 O,且 $AB// DC$,$OA=OB$. 求证:$OC=OD$.
答案
6. 证明:
∵AB//DC,
∴∠A=∠C,∠B=∠D.又
∵OA=OB,
∴∠A=∠B,
∴∠C=∠D,
∴OC=OD.
∵AB//DC,
∴∠A=∠C,∠B=∠D.又
∵OA=OB,
∴∠A=∠B,
∴∠C=∠D,
∴OC=OD.
解析
【分析】
要证明OC=OD，可通过证明△OCD为等腰三角形实现，即先证∠C=∠D，再利用等角对等边得到结论。首先由已知OA=OB，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠A=∠B；再结合AB//DC的条件，根据平行线内错角相等的性质，可得∠A=∠C、∠B=∠D，通过等量代换即可推出∠C=∠D，最终得到OC=OD的结论。
【解析】
证明:
∵AB//DC,
∴∠A=∠C,∠B=∠D。
又
∵OA=OB,
∴∠A=∠B,
∴∠C=∠D,
∴OC=OD。
【答案】
证明:
∵AB//DC,
∴∠A=∠C,∠B=∠D.又
∵OA=OB,
∴∠A=∠B,
∴∠C=∠D,
∴OC=OD。
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是熟练掌握平行线性质、等腰三角形的性质与判定，通过角的等量代换建立已知条件和待证结论的联系，侧重考察基础几何知识的应用能力和简单逻辑推理能力。
【难度系数】
0.85
要证明OC=OD，可通过证明△OCD为等腰三角形实现，即先证∠C=∠D，再利用等角对等边得到结论。首先由已知OA=OB，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠A=∠B；再结合AB//DC的条件，根据平行线内错角相等的性质，可得∠A=∠C、∠B=∠D，通过等量代换即可推出∠C=∠D，最终得到OC=OD的结论。
【解析】
证明:
∵AB//DC,
∴∠A=∠C,∠B=∠D。
又
∵OA=OB,
∴∠A=∠B,
∴∠C=∠D,
∴OC=OD。
【答案】
证明:
∵AB//DC,
∴∠A=∠C,∠B=∠D.又
∵OA=OB,
∴∠A=∠B,
∴∠C=∠D,
∴OC=OD。
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是熟练掌握平行线性质、等腰三角形的性质与判定，通过角的等量代换建立已知条件和待证结论的联系，侧重考察基础几何知识的应用能力和简单逻辑推理能力。
【难度系数】
0.85
7. 如图，$AE$ 是 $△ ABC$ 的外角的平分线，且 $AE // BC$。求证：$△ ABC$ 是等腰三角形。
答案
7. 证明:
∵AE//BC,
∴∠DAE=∠B,∠EAC=∠C.
∵AE是△ABC外角的平分线,
∴∠DAE=∠EAC,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.
∵AE//BC,
∴∠DAE=∠B,∠EAC=∠C.
∵AE是△ABC外角的平分线,
∴∠DAE=∠EAC,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.
解析
【分析】
要证明△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，只需证明△ABC的两个底角∠B=∠C即可。首先结合已知AE//BC，利用平行线的性质可得到同位角∠DAE=∠B、内错角∠EAC=∠C；再根据AE是△ABC的外角平分线，可得∠DAE=∠EAC，通过等量代换即可推出∠B=∠C，进而完成证明。
【解析】
证明：
∵AE//BC，
∴∠DAE=∠B（两直线平行，同位角相等），∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等）。
∵AE是△ABC外角的平分线，
∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义），
∴∠B=∠C（等量代换），
∴AB=AC（等角对等边），即△ABC是等腰三角形。
【答案】
证明:
∵AE//BC,
∴∠DAE=∠B,∠EAC=∠C.
∵AE是△ABC外角的平分线,
∴∠DAE=∠EAC,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.
【知识点】
等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查等腰三角形的判定方法，解题的关键是熟练运用平行线的性质和角平分线的性质推导角的等量关系，是等腰三角形相关考点的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，只需证明△ABC的两个底角∠B=∠C即可。首先结合已知AE//BC，利用平行线的性质可得到同位角∠DAE=∠B、内错角∠EAC=∠C；再根据AE是△ABC的外角平分线，可得∠DAE=∠EAC，通过等量代换即可推出∠B=∠C，进而完成证明。
【解析】
证明：
∵AE//BC，
∴∠DAE=∠B（两直线平行，同位角相等），∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等）。
∵AE是△ABC外角的平分线，
∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义），
∴∠B=∠C（等量代换），
∴AB=AC（等角对等边），即△ABC是等腰三角形。
【答案】
证明:
∵AE//BC,
∴∠DAE=∠B,∠EAC=∠C.
∵AE是△ABC外角的平分线,
∴∠DAE=∠EAC,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.
【知识点】
等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心考查等腰三角形的判定方法，解题的关键是熟练运用平行线的性质和角平分线的性质推导角的等量关系，是等腰三角形相关考点的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
