7. 如图,在$△ ABC$中,$PC$平分$∠ ACB$,点$D$在$AC$上,$PB=PD$.若要求$∠ PCB$的度数,则只需知道 （）



A.$∠ ABP$的度数
B.$∠ BPD$的度数
C.$∠ CPD$的度数
D.$∠ PBC$的度数

7. B 解析:如图,在CB上截取$CE=CD$,连接PE,设$∠PCB=α$,$∠DPC=β$.$\because PC$平分$∠ACB$,$\therefore ∠PCB=∠PCD=α$.在$△ECP$和$△DCP$中,$\begin{cases} CE=CD, \\ ∠PCB=∠PCD, \\ CP=CP, \end{cases}$$\therefore △ECP≌△DCP(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠EPC=∠DPC=β$,$PE=PD$,$\therefore ∠DPE=∠EPC+∠DPC=2β$.$\because PB=PD$,$\therefore PB=PE$,$\therefore ∠PBE=∠PEB$.
$\because ∠PEB$是$△PEC$的外角,$\therefore ∠PEB=∠PCB+∠EPC=α+β$,$\therefore ∠PBE=∠PEB=α+β$,$\therefore ∠BPE=180°-(∠PBE+∠PEB)=180°-2α-2β$,$\therefore ∠BPD=∠BPE+∠DPE=180°-2α-2β+2β=180°-2α$,$\therefore α=90°-\frac{1}{2}∠BPD$,即$∠PCB=90°-\frac{1}{2}∠BPD$,$\therefore$要求$∠PCB$的度数,则只需知道$∠BPD$的度数即可.

【分析】
解决本题的核心思路是通过构造全等三角形转化边和角的关系，进而推导∠PCB和选项中角的数量关系。首先看到PC平分∠ACB，可利用角平分线的特性构造全等三角形：在CB上截取与CD相等的线段CE，证明△ECP和△DCP全等，得到PE=PD；结合已知PB=PD可推出PB=PE，得到等腰△PBE；再结合三角形外角性质、内角和定理逐步化简角的关系，即可找到能确定∠PCB度数的角。
【解析】
如图，在CB上截取$CE=CD$，连接PE，设$∠PCB=α$，$∠DPC=β$。
$\because PC$平分$∠ACB$，$\therefore ∠PCB=∠PCD=α$。
在$△ECP$和$△DCP$中，
$\begin{cases} CE=CD, \\ ∠PCB=∠PCD, \\ CP=CP, \end{cases}$
$\therefore △ECP≌△DCP(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠EPC=∠DPC=β$，$PE=PD$，
$\therefore ∠DPE=∠EPC+∠DPC=2β$。
$\because PB=PD$，$\therefore PB=PE$，$\therefore ∠PBE=∠PEB$。
$\because ∠PEB$是$△PEC$的外角，$\therefore ∠PEB=∠PCB+∠EPC=α+β$，
$\therefore ∠PBE=∠PEB=α+β$，
$\therefore ∠BPE=180°-(∠PBE+∠PEB)=180°-2α-2β$，
$\therefore ∠BPD=∠BPE+∠DPE=180°-2α-2β+2β=180°-2α$，
$\therefore α=90°-\frac{1}{2}∠BPD$，即$∠PCB=90°-\frac{1}{2}∠BPD$，
因此要求$∠PCB$的度数，只需知道$∠BPD$的度数即可。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了角平分线、全等三角形、等腰三角形的相关知识，解题的关键是合理构造辅助线得到全等三角形，将分散的边和角的条件整合，进而推导出所求角和已知角的数量关系，解题过程中用到了转化的数学思想，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.5

8. 如图,在$△ ABC$中,点$D$在边$BC$上,且满足$AB=AD=DC$,过点$D$作$DE ⊥ AD$,交$AC$于点$E$.设$∠ BAD=α,∠ CAD=β,∠ CDE=\gamma$,则 （）

A.$2α +3β =180°$
B.$3α +2β =180°$
C.$β +2\gamma =90°$
D.$2β +\gamma =90°$

8. D 解析:$\because AD=DC$,$\therefore ∠C=∠CAD=β$.$\because DE⊥AD$,$\therefore ∠ADE=90°$,$\therefore ∠AED+∠CAD=90°$.$\because ∠CDE=\gamma$,$∠AED=∠C+∠CDE$,$\therefore ∠AED=β+\gamma$,$\therefore 2β+\gamma=90°$.

【分析】
解题时首先根据已知的等腰三角形条件，利用“等边对等角”推导相等的角；再结合垂直的条件得到直角，利用直角三角形两锐角互余得到角的和为90°的关系；最后利用三角形外角的性质，将待求的角进行等量代换，整理即可得到三个角之间的数量关系，对应选项选出答案。
【解析】
∵ $AD=DC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，
∴ $∠C=∠CAD=β$。
∵ $DE⊥AD$，
∴ $∠ADE=90°$，在$Rt△ADE$中，两锐角互余，
∴ $∠CAD + ∠AED = 90°$。
又
∵ $∠AED$是$△CDE$的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠AED=∠C + ∠CDE=β+\gamma$。
将$∠AED=β+\gamma$代入$∠CAD + ∠AED = 90°$中，得$β + (β+\gamma)=90°$，整理得$2β + \gamma=90°$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于几何角度推导的基础题，解题的核心是熟练掌握等腰三角形、直角三角形的性质以及三角形外角定理，通过等量代换即可推导出角的数量关系，难度不大。
【难度系数】
0.7

9. 等腰三角形两腰上的高所在直线所夹的锐角是$70°$,则它的顶角的度数是.

9. $110°$或$70°$ 解析:分两种情况.①如图1,当顶角$∠BAC$是钝角时,由题意,得$∠EHD=70°$,$∠AEH=∠ADH=90°$,$\therefore ∠EAD=360°-∠AEH-∠ADH-∠EHD=360°-90°-90°-70°=110°$,$\therefore ∠BAC=∠EAD=110°$;②如图2,当顶角$∠A$是锐角时,由题意,得$∠DHB=∠EHC=70°$,$∠CDA=∠BEA=90°$,$\therefore ∠DHE=110°$,$\therefore ∠A=360°-∠CDA-∠BEA-∠DHE=360°-90°-90°-110°=70°$.综上所述,该等腰三角形的顶角的度数是$110°$或$70°$.

【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形的顶角可能为锐角或钝角，两种情况下两腰上的高的交点位置不同（分别在三角形内部和外部），因此需要分类讨论。解题时利用“高对应的角为90°”、“四边形内角和为360°”的性质，结合已知的两高所夹锐角的度数，即可分别计算两种情况对应的顶角度数。
【解析】
分两种情况讨论：
① 如图1，当顶角∠BAC为钝角时，两腰上的高的延长线交于三角形外的点H，由题意得两高所夹锐角∠EHD=70°，且高对应∠AEH=∠ADH=90°。
在四边形AEHD中，内角和为360°，因此$∠ EAD=360°-∠ AEH-∠ ADH-∠ EHD=360°-90°-90°-70°=110°$，而∠BAC与∠EAD为对顶角，故$∠ BAC=110°$。
② 如图2，当顶角∠A为锐角时，两腰上的高交于三角形内的点H，由题意得两高所夹锐角$∠ DHB=∠ EHC=70°$，因此$∠ DHE=180°-70°=110°$，且高对应$∠ CDA=∠ BEA=90°$。
在四边形ADHE中，内角和为360°，因此$∠ A=360°-∠ CDA-∠ BEA-∠ DHE=360°-90°-90°-110°=70°$。
综上所述，该等腰三角形的顶角的度数是$110°$或$70°$。
【答案】
$110°$或$70°$


【知识点】
等腰三角形的性质，四边形内角和定理，三角形高的定义
【点评】
本题是等腰三角形性质的典型应用，解题的关键是根据顶角的锐角、钝角两种情况分类作图分析，避免因忽略钝角三角形的情况导致漏解。
【难度系数】
0.6

10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=78°$,点$D$、$E$在边$BC$上,且$AB=BE$,$AC=CD$,则$∠ DAE$的度数为________.

10. $51°$ 解析:$\because AB=BE$,$AC=CD$,$\therefore ∠BEA=∠BAE$,$∠ADC=∠DAC$.$\because ∠ADC=∠B+∠BAD$,$∠BEA=∠C+∠EAC$,$\therefore ∠DAC=∠B+∠BAD=∠DAE+∠EAC$,$∠BAE=∠C+∠EAC=∠BAD+∠DAE$,$\therefore ∠B+∠BAD+∠C+∠EAC=2∠DAE+∠EAC+∠BAD$,即$∠B+∠C=2∠DAE$.$\because ∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-78°=102°$,$\therefore ∠DAE=102°×\frac{1}{2}=51°$.

【分析】
首先观察题目条件，存在两组边相等（$AB=BE$、$AC=CD$），可优先利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到两组等角；要求$∠ DAE$的度数，已知$∠ BAC$的度数，可结合三角形外角的性质，将等腰三角形的底角转化为与$∠ B$、$∠ C$、$∠ DAE$相关的角，再通过等式变形消去公共角，推导得出$∠ DAE$与$∠ B+∠ C$的关系；最后利用三角形内角和定理求出$∠ B+∠ C$的度数，代入即可计算出$∠ DAE$的大小。
【解析】
$\because AB=BE$，$AC=CD$，
$\therefore ∠ BEA=∠ BAE$，$∠ ADC=∠ DAC$（等边对等角）。
根据三角形外角的性质：
$∠ ADC=∠ B+∠ BAD$，$∠ BEA=∠ C+∠ EAC$，
$\therefore ∠ DAC=∠ B+∠ BAD=∠ DAE+∠ EAC$，
$∠ BAE=∠ C+∠ EAC=∠ BAD+∠ DAE$。
将两个等式左右分别相加得：
$∠ B+∠ BAD+∠ C+∠ EAC=2∠ DAE+∠ EAC+∠ BAD$，
消去等式两边的$∠ BAD$和$∠ EAC$，可得：$∠ B+∠ C=2∠ DAE$。
在$△ ABC$中，由三角形内角和定理得：
$∠ B+∠ C=180°-∠ BAC=180°-78°=102°$，
$\therefore ∠ DAE=\frac{1}{2}×102°=51°$。
【答案】
$51°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质与三角形角的关系的综合应用题，解题的核心是利用等边对等角和外角性质建立角的等量关系，通过恒等变形消去未知角，找到待求角与已知角的关联，属于等腰三角形章节的常规典型题。
【难度系数】
0.65

11. 如图1,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是BC的中点,点E在AD上.
(1)求证:$BE=CE$.
(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且$BF\bot AC$,垂足为F,$∠ BAC=45°$,原题设其他条件不变.求证:$AE=BC$.

11. 证明:(1)$\because AB=AC$,D是BC的中点,$\therefore AD$垂直平分BC,$\therefore BE=CE$.
(2)$\because BF⊥AC$,$∠BAC=45°$,$\therefore △ABF$是等腰直角三角形,$\therefore AF=BF$.
$\because AB=AC$,D是BC的中点,$\therefore AD⊥BC$,$\therefore ∠EAF+∠C=90°$.$\because BF⊥AC$,$\therefore ∠CBF+∠C=90°$,$\therefore ∠EAF=∠CBF$.在$△AEF$和$△BCF$中,$\begin{cases} ∠EAF=∠CBF, \\ ∠AFE=∠BFC, \\ AF=BF, \end{cases}$$\therefore △AEF≌△BCF(\mathrm{ASA})$,$\therefore AE=BC$.

【分析】
(1) 要证明$BE=CE$，可结合等腰三角形三线合一的性质推导：已知$AB=AC$，D是BC中点，可得AD是BC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，即可得到结论。
(2) 要证明$AE=BC$，可通过证明$△ AEF$和$△ BCF$全等来推导：首先由$BF⊥ AC$、$∠ BAC=45°$可得$△ ABF$是等腰直角三角形，得到$AF=BF$；再利用同角的余角相等推出$∠ EAF=∠ CBF$，结合一组直角相等的条件，用ASA判定两个三角形全等，即可得到对应边相等的结论。
【解析】
(1) 证明：$\because AB=AC$，D是BC的中点，
$\therefore AD$垂直平分BC，
$\because$点E在AD上，
$\therefore BE=CE$。
(2) 证明：$\because BF⊥ AC$，$∠ BAC=45°$，
$\therefore △ ABF$是等腰直角三角形，
$\therefore AF=BF$。
$\because AB=AC$，D是BC的中点，
$\therefore AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ EAF+∠ C=90°$。
$\because BF⊥ AC$，
$\therefore ∠ CBF+∠ C=90°$，
$\therefore ∠ EAF=∠ CBF$。
在$△ AEF$和$△ BCF$中，
$\begin{cases} ∠ EAF=∠ CBF, \\ ∠ AFE=∠ BFC, \\ AF=BF, \end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ BCF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AE=BC$。
【答案】
(1) $BE=CE$，证明成立；
(2) $AE=BC$，证明成立。
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查等腰三角形相关性质和全等三角形的判定，解题关键是灵活运用三线合一、同角的余角相等的性质找到全等的判定条件，梳理清楚逻辑即可完成证明。
【难度系数】
0.7

12. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$CD⊥ AB$于点$D$,$BE⊥ AC$于点$E$,$BE$与$CD$相交于点$O$.
(1)求证:$AD=AE$.
(2)连接$OA$,判断直线$OA$、$BC$的位置关系,并说明理由.

12. (1)证明:$\because CD⊥AB$,$BE⊥AC$,$\therefore ∠ADC=∠AEB = 90°$. 在$△ADC$和$△AEB$中,$\begin{cases} ∠ADC=∠AEB, \\ ∠DAC=∠EAB, \\ AC=AB, \end{cases}$$\therefore △ADC≌△AEB(\mathrm{AAS})$,$\therefore AD=AE$.
(2)$OA⊥BC$. 理由如下:如图,延长AO交BC于点F. 在$\mathrm{Rt}△ADO$和$\mathrm{Rt}△AEO$中,$\begin{cases} AD=AE, \\ AO=AO, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ADO≌\mathrm{Rt}△AEO(\mathrm{HL})$,$\therefore ∠DAO=∠EAO$. 又$\because AB=AC$,$\therefore OA⊥BC$.

【分析】
(1)要证明AD=AE，可通过证明AD、AE所在的△ADC与△AEB全等来推导。已知CD⊥AB、BE⊥AC，可得两个三角形的对应直角相等，同时两三角形有公共角∠BAC，结合已知AB=AC，满足AAS全等判定条件，证得全等后即可得到对应边AD=AE。
(2)判断OA与BC的位置关系，结合等腰三角形的性质可猜测为垂直关系，需先证明OA是等腰△ABC顶角的角平分线：利用(1)得到的AD=AE，结合公共边AO，可通过HL证明Rt△ADO与Rt△AEO全等，得到AO平分∠BAC，再根据等腰三角形“三线合一”的性质，即可推出OA⊥BC。
【解析】
(1)证明：$\because CD⊥AB$，$BE⊥AC$，$\therefore ∠ADC=∠AEB = 90°$。
在$△ADC$和$△AEB$中，
$\begin{cases} ∠ADC=∠AEB, \\ ∠DAC=∠EAB, \\ AC=AB, \end{cases}$
$\therefore △ADC≌△AEB(\mathrm{AAS})$，$\therefore AD=AE$。
(2)$OA⊥BC$，理由如下：
如图，延长AO交BC于点F。
在$\mathrm{Rt}△ADO$和$\mathrm{Rt}△AEO$中，
$\begin{cases} AD=AE, \\ AO=AO, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ADO≌\mathrm{Rt}△AEO(\mathrm{HL})$，$\therefore ∠DAO=∠EAO$。
又$\because AB=AC$，$\therefore OA⊥BC$。
【答案】
(1)$AD=AE$，证明见上述过程；
(2)$OA⊥BC$，理由见上述过程。

【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的三线合一
3. 直角三角形全等判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，考查全等三角形与等腰三角形性质的结合应用，解题核心是根据已知条件选取合适的全等判定定理，再结合等腰三角形的特殊性质推导线段的位置关系，是三角形章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.7