8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=60°,∠ C=45°,AD$是边$BC$上的高,$∠ ABC$的平分线交$AD$于点$F$,交$AC$于点$E$,则图中等腰三角形的个数为 （）



A.2
B.3
C.4
D.5

8. B 解析:题图中△ADC、△ABF和△ABE为等腰三角形,共3个.

【分析】
要判断图中等腰三角形的个数，核心依据是等腰三角形“等角对等边”的判定定理，可按以下思路推导：①先结合已知角度、AD是高、BE是角平分线的条件，计算出图中各相关内角的度数；②逐个分析每个三角形的内角，判断是否存在两个相等的角，存在即为等腰三角形；③最后统计符合条件的等腰三角形数量即可。
【解析】
我们逐个判定：
1. 判定$△ ADC$：
∵AD是BC边上的高，
∴$∠ ADC=90°$，
又
∵$∠ C=45°$，
∴$∠ DAC=180°-∠ ADC-∠ C=180°-90°-45°=45°$，
∴$∠ DAC=∠ C$，即$AD=DC$，$△ ADC$是等腰三角形。
2. 判定$△ ABF$：
∵$AD⊥ BC$，$∠ ABC=60°$，
∴$∠ BAD=180°-∠ ADB-∠ ABC=180°-90°-60°=30°$，
∵BE平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABE=∠ EBC=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$，
∴$∠ ABE=∠ BAD=30°$，即$AF=BF$，$△ ABF$是等腰三角形。
3. 判定$△ ABE$：
在$△ ABC$中，$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ C=180°-60°-45°=75°$，
$∠ AEB$是$△ BEC$的外角，
∴$∠ AEB=∠ EBC+∠ C=30°+45°=75°$，
∴$∠ AEB=∠ BAE=75°$，即$AB=BE$，$△ ABE$是等腰三角形。
其余三角形不存在两个相等的内角，不是等腰三角形，综上共有3个等腰三角形。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础应用题型，解题的关键是结合高、角平分线的性质和三角形内角、外角的性质准确计算各角度，再通过“等角对等边”逐一验证，注意避免错判无等角的三角形。
【难度系数】
0.6

9. 如图，M、N为4×4方格纸中格点上的两点.若以MN为边，在方格中取一点P(P在格点上)，使得△MNP为等腰三角形，则满足条件的点P有 （）

A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

9. C 解析:如图,分三种情况:①当MP=MN时,以点M为圆心、MN的长为半径作圆,则点$P_1$、$P_2$即为所求;②当NP=NM时,以点N为圆心、NM的长为半径作圆,则点$P_3$即为所求;③当PM=PN时,作线段MN的垂直平分线,则点$P_4$、$P_5$即为所求.综上所述,使得△MNP为等腰三角形的点P有5个.

【分析】
要找出满足△MNP为等腰三角形的格点P，需根据等腰三角形“两腰相等”的性质分类讨论：首先分MN为腰、MN为底边两大类，其中MN为腰时又分M为顶角顶点、N为顶角顶点两种情况。分别按照每种情况的几何特征找到对应的格点，再排除不能构成三角形的点，最后统计符合条件的点的个数即可。
【解析】
我们分三类情况讨论：
① 当MP=MN（即MN为腰，M为顶角顶点）时：以点M为圆心、MN的长为半径作圆，与格点的交点中符合要求的是$P_1$、$P_2$，共2个点；
② 当NP=NM（即MN为腰，N为顶角顶点）时：以点N为圆心、NM的长为半径作圆，与格点的交点中符合要求的是$P_3$，共1个点；
③ 当PM=PN（即MN为底边，P为顶角顶点）时：作线段MN的垂直平分线，垂直平分线上的格点中符合要求的是$P_4$、$P_5$，共2个点。
综上，满足条件的点P总共有2+1+2=5个。
【答案】
C

【知识点】
等腰三角形的判定；垂直平分线的性质；圆的基本性质
【点评】
本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握分类讨论的思想，按照“腰和底边”的不同情况逐一排查，避免漏解或多解，同时要结合网格特点验证点是否为格点、三点是否能构成三角形。
【难度系数】
0.7

10. 如图，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC=20°，∠C=38°，则∠BAD的度数为________.

10. 58° 解析:如图,延长AD交BC于点E.
∵∠DAC=20°,∠C=38°,
∴∠AEB=∠DAC+∠C=20°+38°=58°.
∵BD⊥AD,
∴∠BDA=90°.
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠DBE,
∴∠BAD=∠BEA=58°.

【分析】
当题目中同时出现角平分线和垂直于角平分线的线段时，通常采用延长垂线段的方式构造全等三角形，以此实现角度的转化。本题第一步先延长AD交BC于点E，先利用三角形外角性质计算∠AEB的度数，再结合角平分线、垂直的条件证明△ABD与△EBD全等，即可得到∠BAD的度数。
【解析】
延长AD交BC于点E。
∵ ∠AEB是△AEC的外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴ ∠AEB = ∠DAC + ∠C = 20° + 38° = 58°。
∵ BD⊥AD，
∴ ∠ADB = ∠EDB = 90°。
∵ BD是∠ABC的平分线，
∴ ∠ABD = ∠EBD。
在△ABD和△EBD中：
$\{\begin{array}{l}∠ABD=∠EBD \\BD=BD \\∠ADB=∠EDB\end{array} $
∴ △ABD ≌ △EBD（ASA），
∴ ∠BAD = ∠BED = 58°。
【答案】
58°
【知识点】
三角形外角性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何角度计算的常规题型，解题的关键是掌握“角平分线+垂线”这一组合对应的辅助线构造方法，结合基础的三角形性质和全等判定即可求解。
【难度系数】
0.7

11. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=45°$.
(1) 如图，点$D$在边$AB$上，点$E$在边$AC$上，$BD=CE$，$BE$与$CD$交于点$F$. 求证：$BF=CF$.
(2) 若$D$是边$AB$上的一个动点，$E$是边$AC$上的一个动点，且$BD=CE$，$BE$与$CD$交于点$F$. 当$△ BFD$是等腰三角形时，求$∠ FBD$的度数.

11. (1)证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.在△BCD和△CBE中,
$\{\begin{array}{l}BC=CB,\\∠DBC=∠ECB,\\BD=CE,\end{array} $
∴△BCD≌△CBE(SAS),
∴∠FCB=∠FBC,
∴BF=CF.
(2)
∵AB=AC,∠BAC=45°,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=$\frac{1}{2}$×(180°-45°)=67.5°,由(1)知,∠FBC=∠FCB,
∴∠FBD=∠ECF.设∠FBD=∠ECF=x°,则∠FBC=∠FCB=(67.5°-x°),∠BDF=∠ECF+∠BAC=x°+45°,∠DFB=2∠FBC=2(67.5°-x°)=135°-2x°.
∵△BFD是等腰三角形,故分三种情况讨论:①当BD=BF时,此时∠BDF=∠DFB,
∴x+45=135-2x,解得x=30,即∠FBD=30°;②当BD=DF时,此时∠FBD=∠DFB,
∴x=135-2x,解得x=45,即∠FBD=45°;③当BF=DF时,此时∠FBD=∠FDB,
∴x=x+45,不符合题意,舍去.综上所述,∠FBD的度数为30°或45°.

【分析】
(1) 要证明BF=CF，可通过证明∠FBC=∠FCB实现。已知AB=AC，可得△ABC底角相等，结合BD=CE、公共边BC，可先证△BCD与△CBE全等，得到对应角相等，即可推出BF=CF。
(2) 先根据等腰△ABC的顶角度数求出底角∠ABC、∠ACB的度数，结合(1)的结论可知∠FBC=∠FCB。设∠FBD为x°，用含x的式子表示出△BFD的三个内角，由于等腰三角形的腰不明确，分三种情况：BD=BF、BD=DF、BF=DF，分别根据等边对等角列方程求解，最后舍去不符合三角形内角规律的解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB。
在△BCD和△CBE中，
$\{\begin{array}{l}BC=CB,\\∠DBC=∠ECB,\\BD=CE,\end{array} $
∴△BCD≌△CBE(SAS)，
∴∠FCB=∠FBC，
∴BF=CF。
(2) 解：
∵AB=AC，∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=$\frac{1}{2}$×(180°-45°)=67.5°。
由(1)知∠FBC=∠FCB，
∴∠FBD=∠ECF。
设∠FBD=∠ECF=x°，则∠FBC=∠FCB=(67.5-x)°，
∠BDF=∠ECF+∠BAC=x°+45°，
∠DFB=2∠FBC=2(67.5-x)°=135°-2x°。
∵△BFD是等腰三角形，分三种情况讨论：
① 当BD=BF时，∠BDF=∠DFB，
∴x+45=135-2x，解得x=30，即∠FBD=30°；
② 当BD=DF时，∠FBD=∠DFB，
∴x=135-2x，解得x=45，即∠FBD=45°；
③ 当BF=DF时，∠FBD=∠FDB，
∴x=x+45，等式不成立，舍去。
综上所述，∠FBD的度数为30°或45°。
【答案】
(1) BF=CF得证；
(2) ∠FBD的度数为30°或45°。
【知识点】
1. 等腰三角形的性质与判定
2. 全等三角形SAS判定
3. 三角形外角性质
【点评】
本题属于等腰三角形的典型综合题，第一问侧重基础的全等证明和等腰三角形判定的应用，第二问需要结合等腰三角形的性质进行分类讨论，解题时需注意不要漏解，同时要对结果进行合理性检验，能够有效锻炼几何逻辑推理能力和分类讨论的思维。
【难度系数】
0.6

12. 如图,在$△ ABC$中,$CE$平分$∠ ACB$,交$AB$于点$E$,$EG // BC$,交$AC$于点$G$.
(1)求证:$EG=CG$.
(2)延长$EG$交$CF$于点$H$,若$G$是$EH$的中点,求证:$CF$平分$∠ ACD$.

12. 证明:(1)
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE=∠ECB.
∵EG//BC,
∴∠GEC=∠ECB,
∴∠GEC=∠ACE,
∴EG=CG.
(2)由(1)知,EG=CG,∠GEC=∠GCE.
∵G是EH的中点,
∴EG=GH,
∴CG=GH,
∴∠GCH=∠GHC,
∴∠GCE+∠GCH=90°,
∴∠ECB+∠HCD=90°.
∵∠ACE=∠ECB,
∴∠ACH=∠HCD,
∴CF平分∠ACD.

【分析】
(1) 要证明EG=CG，考虑使用等腰三角形“等角对等边”的判定定理：首先由CE平分∠ACB可得∠ACE=∠ECB，再结合EG//BC，利用平行线内错角相等的性质得到∠GEC=∠ECB，通过等量代换得到∠GEC=∠ACE，即可推出EG=CG。
(2) 要证明CF平分∠ACD，即需要证明∠ACH=∠HCD：首先由(1)的结论得EG=CG，结合G是EH中点的条件可得CG=GH，进而得到∠GCH=∠GHC；再结合角度和关系、角平分线以及平行线的性质，通过角度的等量代换推导得出∠ACH=∠HCD，即可证得CF平分∠ACD。
【解析】
(1) 证明：
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ECB。
∵EG // BC，
∴∠GEC=∠ECB，
∴∠GEC=∠ACE，
∴EG=CG。
(2) 证明：
由(1)知，EG=CG，∠GEC=∠GCE。
∵G是EH的中点，
∴EG=GH，
∴CG=GH，
∴∠GCH=∠GHC，
∴∠GCE+∠GCH=90°，
∴∠ECB+∠HCD=90°。
∵∠ACE=∠ECB，
∴∠ACH=∠HCD，
∴CF平分∠ACD。
【答案】
(1) 证明成立，EG=CG；
(2) 证明成立，CF平分∠ACD。
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何证明题，综合考查了角平分线、平行线以及等腰三角形的相关知识，解题时利用“平行线+角平分线”的常见几何模型可快速推导等角关系，进一步转化为边的关系即可完成后续证明，有利于锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7