1. 如图,以点O为圆心、任意长为半径画弧,与射线OA交于点B,再以点B为圆心、BO的长为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC,则∠O的度数为 （）



A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$

1. C

【分析】
解题时先从题目给出的尺规作图步骤入手，利用同圆半径相等的特点，推导△OBC的三边关系：首先以O为圆心画弧得到的OB、OC都是圆O的半径，所以OB=OC；再以B为圆心、BO长为半径画弧得到C，说明BC等于BO，由此可得△OBC三边相等，判定为等边三角形，再结合等边三角形的内角性质就能求出∠O的度数。
【解析】
连接BC，根据作图步骤推导：
1. 以点O为圆心画弧时，OB、OC均为该圆的半径，因此$\boldsymbol{OB=OC}$；
2. 以点B为圆心、BO长为半径画弧时，BC为该圆的半径，因此$\boldsymbol{BC=BO}$。
结合上述结论可得$OB=OC=BC$，所以$△ OBC$是等边三角形。
根据等边三角形的性质，等边三角形的三个内角均为$60°$，因此$∠ O=∠ BOC=60°$。
【答案】
C
【知识点】
尺规作图；等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查等边三角形的判定与性质，解题关键是从作图步骤中提取边相等的条件，判断出等边三角形，属于基础题型，熟练掌握相关概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8

2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ B=30°$,$CH ⊥ AB$于点$H$.若$AH=2$,则$BH$的长为________.

2. 6 解析:
∵CH⊥AB,
∴∠AHC=90°.
∵∠ACB=90°,∠B=30°,
∴∠A=60°,
∴∠ACH=30°,
∴AC=2AH=4.
∵∠B=30°,
∴AB=2AC=8,
∴BH=AB-AH=8-2=6.

【分析】
解题时可先从已知的直角与30°角入手，利用直角三角形两锐角互余先求出∠A的度数；再结合CH⊥AB得到Rt△ACH，推出∠ACH=30°，借助“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质求出AC的长度；之后回到原Rt△ABC中，再次利用上述性质求出AB的总长度，最后用AB的长度减去已知的AH长度，即可得到BH的长。
【解析】
∵CH⊥AB，
∴∠AHC=90°，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=180°-90°-30°=60°，
在Rt△ACH中，∠ACH=180°-90°-60°=30°，
∴AC=2AH=2×2=4，
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴AB=2AC=2×4=8，
∴BH=AB-AH=8-2=6。
【答案】
6
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 含30°角的直角三角形的性质
3. 线段和差计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是对含30°角的直角三角形性质的灵活运用，解题时需注意区分不同直角三角形中30°角对应的直角边和斜边，避免混淆边的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

3. 若三角形三边长满足$(a-b)^2 + |a - c| = 0$，则$△ ABC$的形状是.

3. 等边三角形 解析:
∵(a-b)²+|a-c|=0,
∴a-b=0,a-c=0,
∴a=b=c,
∴△ABC为等边三角形.

【分析】
解题时首先观察等式的结构：等式是平方项与绝对值的和为0。根据已学知识，平方数和绝对值都属于非负数，即它们的取值都≥0，两个非负数的和为0时，只有这两个非负数同时为0这一种情况。由此可以先推出a-b=0、a-c=0，进一步得到三边的等量关系，再结合等边三角形的定义即可判断三角形形状。
【解析】
∵(a-b)²≥0，|a-c|≥0，且(a-b)² + |a - c| = 0
∴a - b = 0，a - c = 0
∴a = b，a = c，即a = b = c
∴△ABC为等边三角形
【答案】
等边三角形
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握平方、绝对值的非负性，通过等式推导得出三角形三边的等量关系，结合等边三角形的判定即可快速求解。
【难度系数】
0.9

4. 如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D为圆心、DB的长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC的度数为$\underline{\hspace{5cm}}$.

4. 30° 解析:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°.
∵BD是边AC上的高,
∴BD平分∠ABC,
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.
∵BD=ED,
∴∠DEC=∠CBD=30°.

【分析】
解题时先梳理题干已知条件：首先已知△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，BD、DE是圆D的半径。第一步先利用等边三角形的性质：等边三角形内角为60°，且高与角平分线三线合一，可求出∠CBD的度数；再根据同圆的半径相等得到BD=DE，即△BDE为等腰三角形，利用等腰三角形等边对等角的性质，即可求出∠DEC的度数。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵BD是边AC上的高，根据等边三角形三线合一的性质，
∴BD平分∠ABC，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∵BD、DE均为⊙D的半径，
∴BD=ED，
∴△BDE为等腰三角形，∠DEC=∠CBD=30°。
【答案】
30°
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考查了特殊三角形和圆的基础性质，解题的关键是熟练运用等边三角形三线合一的性质以及等腰三角形等边对等角的性质，这类题是几何基础性质的常见考法，需牢固掌握相关知识点。
【难度系数】
0.8

5. 如图，$△ ABC$为等边三角形，$M$是线段$BC$上的任意一点，$N$是线段$CA$上任意一点，且$BM=CN$，直线$BN$与$AM$交于点$Q$。
(1)求证：$△ BAN≌△ ACM$。
(2)求$∠ BQM$的度数。

5. (1)证明:
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC=CA,∠BAC=∠ACB=60°.
∵BM=CN,
∴BC-BM=AC-CN,即CM=AN.在△BAN和△ACM中,$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠BAN=∠ACM, \\ AN=CM, \end{cases}$
∴△BAN≌△ACM.
(2)
∵△BAN≌△ACM,
∴∠CAM=∠ABN,
∴∠BQM=∠ABN+∠BAQ=∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60°.

【分析】
(1) 要证明△BAN≌△ACM，首先结合等边三角形的性质可得三边相等、内角均为60°，再根据已知BM=CN推导得到AN=CM，即可凑齐SAS判定全等所需的三组对应条件完成证明。
(2) 求∠BQM的度数时，先利用第一问的全等结论得到对应角相等，再结合三角形外角的性质，将∠BQM转化为等边三角形的内角即可求出结果。
【解析】
(1) 证明:
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC=CA,∠BAC=∠ACB=60°.
∵BM=CN,
∴BC-BM=AC-CN,即CM=AN.
在△BAN和△ACM中,
$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠BAN=∠ACM, \\ AN=CM, \end{cases}$
∴△BAN≌△ACM(SAS)。
(2) 解:
∵△BAN≌△ACM,
∴∠CAM=∠ABN,
∵∠BQM是△ABQ的外角,
∴∠BQM=∠ABN+∠BAQ=∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60°。
【答案】
(1) 已证△BAN≌△ACM；
(2) $\boldsymbol{∠BQM=60°}$
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质
【点评】
本题属于等边三角形与全等三角形结合的基础几何题，解题关键是利用等边三角形的边、角特征挖掘全等的判定条件，再通过全等的性质完成角度转化即可求解。
【难度系数】
0.7

6. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=120°$,点$D$、$E$在$BC$上,且$AE=BE$.
(1)求$∠ CAE$的度数.
(2)若$D$为线段$EC$的中点,求证:$△ ADE$是等边三角形.

6. (1)
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∵AE=BE,
∴∠EAB=∠B=30°.
∵∠BAC=120°,
∴∠CAE=∠BAC-∠EAB=120°-30°=90°.
(2)证明:由(1)知,∠CAE=90°,∠C=30°,
∴∠DEA=60°.
∵D为线段EC的中点,
∴AD=DE,
∴∠DAE=∠DEA=60°,
∴△ADE是等边三角形.

【分析】
(1) 求解∠CAE的度数可按以下思路：首先根据等腰△ABC的顶角为120°，利用等腰三角形两底角相等的性质求出底角∠B的度数；再由AE=BE得到△ABE也是等腰三角形，推出∠EAB=∠B；最后用∠BAC减去∠EAB即可得到所求角的度数。
(2) 证明△ADE是等边三角形的思路：首先由(1)的结论得到∠CAE=90°，结合∠C=30°计算出∠AED=60°；再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，由D是EC中点得到AD=DE，此时△ADE是有一个内角为60°的等腰三角形，即可判定其为等边三角形。
【解析】
(1) 解：
∵ $AB=AC$，$∠BAC=120°$，
∴ $∠B=∠C=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∵ $AE=BE$，
∴ $∠EAB=∠B=30°$，
∵ $∠BAC=120°$，
∴ $∠CAE=∠BAC-∠EAB=120°-30°=90°$。
(2) 证明：
由(1)可知$∠CAE=90°$，$∠C=30°$，
∴ $∠DEA=180°-∠CAE-∠C=60°$，
∵ $D$为线段$EC$的中点，
∴ $AD=DE$，
∴ $∠DAE=∠DEA=60°$，
∴ $△ADE$是等边三角形。
【答案】
(1) $∠CAE=90°$；
(2) 已证$△ADE$是等边三角形。
【知识点】
等腰三角形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，综合考查了特殊三角形的核心性质与判定方法，解题时需要逐步推导角的数量关系，结合对应特殊三角形的性质转化边、角的等量关系即可求解，是巩固特殊三角形相关知识点的典型习题。
【难度系数】
0.7