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三、解答题
9. 计算：$(\dfrac{1}{3}a^{2}b)^{2}· (-9ab^{3})÷ (-\dfrac{1}{2}a^{4}b^{2}).$
9. 计算：$(\dfrac{1}{3}a^{2}b)^{2}· (-9ab^{3})÷ (-\dfrac{1}{2}a^{4}b^{2}).$
答案
$2ab^3$
解析
本题考查整式的乘除混合运算，按照先算乘方，再从左到右依次计算乘除的顺序求解：
1. 先计算积的乘方：
$(\dfrac{1}{3}a^{2}b)^{2} = (\dfrac{1}{3})^2 · (a^2)^2 · b^2 = \dfrac{1}{9}a^4b^2$
2. 计算乘法运算，根据同底数幂乘法法则$a^m · a^n = a^{m+n}$：
$\dfrac{1}{9}a^4b^2 · (-9ab^3) = \dfrac{1}{9} × (-9) · a^{4+1} · b^{2+3} = -a^5b^5$
3. 计算除法运算，根据同底数幂除法法则$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$：
$-a^5b^5 ÷ (-\dfrac{1}{2}a^4b^2) = [ (-1) ÷ (-\dfrac{1}{2}) ] · a^{5-4} · b^{5-2} = 2ab^3$
1. 先计算积的乘方：
$(\dfrac{1}{3}a^{2}b)^{2} = (\dfrac{1}{3})^2 · (a^2)^2 · b^2 = \dfrac{1}{9}a^4b^2$
2. 计算乘法运算，根据同底数幂乘法法则$a^m · a^n = a^{m+n}$：
$\dfrac{1}{9}a^4b^2 · (-9ab^3) = \dfrac{1}{9} × (-9) · a^{4+1} · b^{2+3} = -a^5b^5$
3. 计算除法运算，根据同底数幂除法法则$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$：
$-a^5b^5 ÷ (-\dfrac{1}{2}a^4b^2) = [ (-1) ÷ (-\dfrac{1}{2}) ] · a^{5-4} · b^{5-2} = 2ab^3$
10. 解方程组：
(1)$\begin{cases} 5m + 6n = 16, \\ 7m - 9n = 5; \end{cases}$
(2)$\begin{cases} \dfrac{x + y}{3} + \dfrac{x - y}{2} = 6, \\ 3(x + y) - 2(x - y) = 28. \end{cases}$
(1)$\begin{cases} 5m + 6n = 16, \\ 7m - 9n = 5; \end{cases}$
(2)$\begin{cases} \dfrac{x + y}{3} + \dfrac{x - y}{2} = 6, \\ 3(x + y) - 2(x - y) = 28. \end{cases}$
答案
(1) $\begin{cases} m=2 \\ n=1 \end{cases}$；(2) $\begin{cases} x=8 \\ y=4 \end{cases}$
解析
(1) 采用加减消元法求解：
$\begin{cases} 5m + 6n = 16 \quad ① \\ 7m - 9n = 5 \quad ② \end{cases}$
①×3，得：$15m + 18n = 48 \quad ③$
②×2，得：$14m - 18n = 10 \quad ④$
③+④，得$29m=58$，解得$m=2$
把$m=2$代入①，得$5×2+6n=16$，解得$n=1$
(2) 用换元法简化运算，令$a=x+y$，$b=x-y$，原方程组变形为：
$\begin{cases} \dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}=6 \\ 3a-2b=28 \end{cases}$
第一个方程两边同乘6去分母，得：$2a + 3b = 36 \quad ①$
第二个方程保留为：$3a - 2b = 28 \quad ②$
①×2，得：$4a + 6b = 72 \quad ③$
②×3，得：$9a - 6b = 84 \quad ④$
③+④，得$13a=156$，解得$a=12$
把$a=12$代入②，得$3×12-2b=28$，解得$b=4$
得到新方程组$\begin{cases} x+y=12 \\ x-y=4 \end{cases}$，两式相加得$2x=16$，解得$x=8$，代入$x+y=12$得$y=4$
$\begin{cases} 5m + 6n = 16 \quad ① \\ 7m - 9n = 5 \quad ② \end{cases}$
①×3，得：$15m + 18n = 48 \quad ③$
②×2，得：$14m - 18n = 10 \quad ④$
③+④，得$29m=58$，解得$m=2$
把$m=2$代入①，得$5×2+6n=16$，解得$n=1$
(2) 用换元法简化运算，令$a=x+y$，$b=x-y$，原方程组变形为：
$\begin{cases} \dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}=6 \\ 3a-2b=28 \end{cases}$
第一个方程两边同乘6去分母，得：$2a + 3b = 36 \quad ①$
第二个方程保留为：$3a - 2b = 28 \quad ②$
①×2，得：$4a + 6b = 72 \quad ③$
②×3，得：$9a - 6b = 84 \quad ④$
③+④，得$13a=156$，解得$a=12$
把$a=12$代入②，得$3×12-2b=28$，解得$b=4$
得到新方程组$\begin{cases} x+y=12 \\ x-y=4 \end{cases}$，两式相加得$2x=16$，解得$x=8$，代入$x+y=12$得$y=4$
11. 如图，$△ ABC$ 中，$E$ 是 $BC$ 的中点，$AD = 3BD$，已知 $S_{△ BDE} = 6$，求 $S_{△ ABC}$.
答案
$\boldsymbol{48}$
解析
1. 连接AE，
△BDE和△ADE共顶点E，底边BD、AD在同一直线AB上，因此两个三角形的高相等。根据等高三角形的面积比等于对应底边长的比，结合已知$AD=3BD$，可得：
$S_{△ ADE}=3S_{△ BDE}$
代入$S_{△ BDE}=6$，得$S_{△ ADE}=3×6=18$，因此$S_{△ ABE}=S_{△ BDE}+S_{△ ADE}=6+18=24$。
2. 因为E是BC的中点，所以$BE=EC$。
△ABE和△AEC共顶点A，底边BE、EC在同一直线BC上，两个三角形的高相等，因此面积相等：
$S_{△ AEC}=S_{△ ABE}=24$
3. 最终可得$S_{△ ABC}=S_{△ ABE}+S_{△ AEC}=24+24=48$。
△BDE和△ADE共顶点E，底边BD、AD在同一直线AB上，因此两个三角形的高相等。根据等高三角形的面积比等于对应底边长的比，结合已知$AD=3BD$，可得：
$S_{△ ADE}=3S_{△ BDE}$
代入$S_{△ BDE}=6$，得$S_{△ ADE}=3×6=18$，因此$S_{△ ABE}=S_{△ BDE}+S_{△ ADE}=6+18=24$。
2. 因为E是BC的中点，所以$BE=EC$。
△ABE和△AEC共顶点A，底边BE、EC在同一直线BC上，两个三角形的高相等，因此面积相等：
$S_{△ AEC}=S_{△ ABE}=24$
3. 最终可得$S_{△ ABC}=S_{△ ABE}+S_{△ AEC}=24+24=48$。
12. 如图，$△ ABC$中，$AD$是$BC$边上的高，$AE$，$BF$分别是$∠ BAC$，$∠ ABC$的平分线，$∠ BAC=50°$，$∠ ABC=60°$，试求$∠ EAD+∠ ACD$的度数.
答案
$\boldsymbol{75°}$
解析
1. 由AD是BC边上的高，得∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，∠ABC=60°，因此∠BAD=90°-∠ABC=90°-60°=30°。
2. 因为AE是∠BAC的平分线，∠BAC=50°，所以：
$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×50°=25°$，
由此可得∠EAD=∠BAD-∠BAE=30°-25°=5°。
3. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠ACD=180°-∠BAC-∠ABC=180°-50°-60°=70°。
4. 求和得∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°。
在Rt△ABD中，∠ABC=60°，因此∠BAD=90°-∠ABC=90°-60°=30°。
2. 因为AE是∠BAC的平分线，∠BAC=50°，所以：
$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×50°=25°$，
由此可得∠EAD=∠BAD-∠BAE=30°-25°=5°。
3. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠ACD=180°-∠BAC-∠ABC=180°-50°-60°=70°。
4. 求和得∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°。
