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1. 某校九年级的同学小红，在自己家附近进行测量一座楼房高度的实践活动. 如图，她在山坡坡脚A处测得这座楼房的楼顶B处的仰角为$60°$,小红沿着山坡往上走到C处且测得$∠ NCB=45°$,$∠ ACS=71.6°$.已知$OA=20\ \mathrm{m}$,且O、A、D在同一条直线上.$(\tan 71.6°\approx3)$求:
(1)楼房OB的高度；
(2)小红在山坡上C处和坡脚A处的高度差.(计算过程和结果均保留根号)
(1)楼房OB的高度；
(2)小红在山坡上C处和坡脚A处的高度差.(计算过程和结果均保留根号)
答案
1. (1) 过点 B 作 $BE // OA$,交NS 于点 E,NS 与 AD 交于点 F. 由题意得,$∠OAB=60^{\circ },∠NCB=45^{\circ }$,$∠ACF=71.6^{\circ },OA=20\ \mathrm{m},OF=BE$,$OB=EF$.
在 $\mathrm{Rt} △ ABO$ 中, $OA=20\ \mathrm{m}$,$∠OAB=60^{\circ },\tan ∠OAB=\frac{OB}{OA},\therefore OB=20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$.
(2) 在 $\mathrm{Rt} △ ACF$ 中,$∠ACF=71.6^{\circ },\tan ∠ACF=\frac{AF}{CF},\therefore CF=x$,$AF=3x$. 在 $\mathrm{Rt} △ BCE$ 中,$∠NCB=45^{\circ },\therefore BE=CE,\therefore 20+3x=20\sqrt{3}-x,\therefore CF=x=(5\sqrt{3}-5)\mathrm{m}$.
即楼房 OB 的高度为 $20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$;小红在山坡上 C 处和坡脚 A 处的高度差为 $(5\sqrt{3}-5)\mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt} △ ABO$ 中, $OA=20\ \mathrm{m}$,$∠OAB=60^{\circ },\tan ∠OAB=\frac{OB}{OA},\therefore OB=20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$.
(2) 在 $\mathrm{Rt} △ ACF$ 中,$∠ACF=71.6^{\circ },\tan ∠ACF=\frac{AF}{CF},\therefore CF=x$,$AF=3x$. 在 $\mathrm{Rt} △ BCE$ 中,$∠NCB=45^{\circ },\therefore BE=CE,\therefore 20+3x=20\sqrt{3}-x,\therefore CF=x=(5\sqrt{3}-5)\mathrm{m}$.
即楼房 OB 的高度为 $20\sqrt{3}\ \mathrm{m}$;小红在山坡上 C 处和坡脚 A 处的高度差为 $(5\sqrt{3}-5)\mathrm{m}$.
2. 如图，在东西方向的海岸线$ l $上有长为300 m的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东$ 45° $方向上，同一时刻，在A点正东方向距离100 m的C处测得轮船M在北偏东$ 22° $方向上.
(1)求轮船M到海岸线$ l $的距离；(结果精确到0.01 m)
(2)如果轮船M沿着南偏东$ 30° $的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？说明理由.
(参考数据：$ \sin 22° \approx 0.375, \cos 22° \approx 0.927, \tan 22° \approx 0.404, \sqrt{3} \approx 1.732 $)
(1)求轮船M到海岸线$ l $的距离；(结果精确到0.01 m)
(2)如果轮船M沿着南偏东$ 30° $的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？说明理由.
(参考数据：$ \sin 22° \approx 0.375, \cos 22° \approx 0.927, \tan 22° \approx 0.404, \sqrt{3} \approx 1.732 $)
答案
2. (1) 过点 M 作 $MD ⊥ AC$ 交AC 的延长线于点 D,设 $DM=x$.
$\because$ 在 $\mathrm{Rt} △ CDM$ 中,$CD=DM · \tan ∠CMD=x · \tan 22^{\circ }$, 又 $\because$ 在$\mathrm{Rt} △ ADM$ 中, $∠MAC = 45^{\circ }$,$\therefore AD=DM. \because AD=AC+CD=100+x · \tan 22^{\circ },\therefore 100+x · \tan 22^{\circ }=x$. $\therefore x=\frac{100}{1-\tan 22^{\circ }}\approx \frac{100}{1-0.404}\approx167.785\approx167.79\ \mathrm{m}$.
即轮船 M 到海岸线 l 的距离约为 167.79 m.
(2) 作 $∠DMF=30^{\circ }$,交海岸线 l于点 F. 在 $\mathrm{Rt} △ DMF$ 中,$DF=DM · \tan ∠FMD=DM · \tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}DM\approx \frac{1.732}{3}×167.79\approx96.87\ \mathrm{米}.\therefore AF=AC+CD+DF=DM+DF\approx167.79+96.87=264.66＜300$. 所以该轮船能行至码头靠岸.
$\because$ 在 $\mathrm{Rt} △ CDM$ 中,$CD=DM · \tan ∠CMD=x · \tan 22^{\circ }$, 又 $\because$ 在$\mathrm{Rt} △ ADM$ 中, $∠MAC = 45^{\circ }$,$\therefore AD=DM. \because AD=AC+CD=100+x · \tan 22^{\circ },\therefore 100+x · \tan 22^{\circ }=x$. $\therefore x=\frac{100}{1-\tan 22^{\circ }}\approx \frac{100}{1-0.404}\approx167.785\approx167.79\ \mathrm{m}$.
即轮船 M 到海岸线 l 的距离约为 167.79 m.
(2) 作 $∠DMF=30^{\circ }$,交海岸线 l于点 F. 在 $\mathrm{Rt} △ DMF$ 中,$DF=DM · \tan ∠FMD=DM · \tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}DM\approx \frac{1.732}{3}×167.79\approx96.87\ \mathrm{米}.\therefore AF=AC+CD+DF=DM+DF\approx167.79+96.87=264.66＜300$. 所以该轮船能行至码头靠岸.
