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一、选择题
1. 如图1,若两个四边形相似,则∠α的度数是(
A.$87°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$120°$
1. 如图1,若两个四边形相似,则∠α的度数是(
A
)A.$87°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$120°$
答案
1. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等；其次，任意四边形的内角和为360°。观察图形可知，两个相似四边形中60°的角是对应角，度数相等；第二个四边形的138°角对应第一个四边形中除60°、75°、α外的第四个内角，因此该内角也为138°。最后用四边形内角和减去三个已知内角的度数，即可求出∠α的度数。
【解析】
∵ 两个四边形相似
∴ 两个四边形的对应角相等
又
∵ 四边形内角和为360°，两个四边形的60°角为对应角，第二个四边形的138°角对应第一个四边形的另一个内角
∴ ∠α = 360° - 60° - 75° - 138° = 87°
【答案】
A
【知识点】
相似多边形的性质；四边形内角和
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是找准相似多边形的对应角，结合四边形内角和公式列式计算即可，难度较低，掌握相似图形的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等；其次，任意四边形的内角和为360°。观察图形可知，两个相似四边形中60°的角是对应角，度数相等；第二个四边形的138°角对应第一个四边形中除60°、75°、α外的第四个内角，因此该内角也为138°。最后用四边形内角和减去三个已知内角的度数，即可求出∠α的度数。
【解析】
∵ 两个四边形相似
∴ 两个四边形的对应角相等
又
∵ 四边形内角和为360°，两个四边形的60°角为对应角，第二个四边形的138°角对应第一个四边形的另一个内角
∴ ∠α = 360° - 60° - 75° - 138° = 87°
【答案】
A
【知识点】
相似多边形的性质；四边形内角和
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是找准相似多边形的对应角，结合四边形内角和公式列式计算即可，难度较低，掌握相似图形的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
2. 图2是两个形状相同、大小不同的星星图案，则x的值为(
A.15
B.12
C.10
D.8
D
)A.15
B.12
C.10
D.8
答案
2. D
解析
【分析】
首先，两个图案形状相同、大小不同，符合相似图形的特征，因此这两个星星是相似图形。根据相似图形的性质，相似图形的对应边成比例，只需找到两组对应边列出比例式，解比例即可求出x的值。
【解析】
∵两个星星图案形状相同，大小不同
∴这两个图形是相似图形，对应边成比例
可得比例式：$\frac{20}{15}=\frac{x}{6}$
交叉相乘得：$15x=20×6$
计算得：$15x=120$
解得：$x=8$
【答案】
D
【知识点】
相似图形判定，相似图形性质，解比例
【点评】
本题属于基础题，主要考查相似图形性质的应用，解题的关键是准确识别相似图形，找准对应边列出正确的比例式，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
首先，两个图案形状相同、大小不同，符合相似图形的特征，因此这两个星星是相似图形。根据相似图形的性质，相似图形的对应边成比例，只需找到两组对应边列出比例式，解比例即可求出x的值。
【解析】
∵两个星星图案形状相同，大小不同
∴这两个图形是相似图形，对应边成比例
可得比例式：$\frac{20}{15}=\frac{x}{6}$
交叉相乘得：$15x=20×6$
计算得：$15x=120$
解得：$x=8$
【答案】
D
【知识点】
相似图形判定，相似图形性质，解比例
【点评】
本题属于基础题，主要考查相似图形性质的应用，解题的关键是准确识别相似图形，找准对应边列出正确的比例式，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
3. 下列说法:①两个直角三角形是相似三角形;②两个全等三角形是相似三角形;③等边三角形都是相似三角形;④锐角三角形都是相似三角形;⑤两个等腰直角三角形是相似三角形. 其中正确的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3. C
解析
【分析】
解题的核心是依据相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似），结合每类三角形的内角特征，逐个判断说法是否正确。首先明确相似三角形的判定标准：只要两个三角形的三组对应角分别相等，就满足相似的条件，接下来逐一分析5个说法即可。
【解析】
我们结合相似三角形的判定逐个判断：
①两个直角三角形：仅直角相等，另外两个锐角不一定对应相等，例如含30°角的直角三角形和等腰直角三角形就不相似，故①错误；
②两个全等三角形：对应角全部相等，对应边的比为1，满足相似三角形的要求，故②正确；
③等边三角形：所有等边三角形的内角都是60°，三组角对应相等，因此所有等边三角形都相似，故③正确；
④锐角三角形：锐角三角形的三个内角都是锐角，但角度不一定对应相等，例如三个角为50°、60°、70°的锐角三角形和等边三角形就不相似，故④错误；
⑤两个等腰直角三角形：所有等腰直角三角形的内角都是90°、45°、45°，三组角对应相等，因此都相似，故⑤正确。
综上，正确的说法是②③⑤，共3个。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、特殊三角形的内角性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，需要将相似三角形的判定和各类常见三角形的内角特点结合起来分析，做题时要注意不要以偏概全，避免忽略不同同类三角形的内角差异导致误判。
【难度系数】
0.7
解题的核心是依据相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似），结合每类三角形的内角特征，逐个判断说法是否正确。首先明确相似三角形的判定标准：只要两个三角形的三组对应角分别相等，就满足相似的条件，接下来逐一分析5个说法即可。
【解析】
我们结合相似三角形的判定逐个判断：
①两个直角三角形：仅直角相等，另外两个锐角不一定对应相等，例如含30°角的直角三角形和等腰直角三角形就不相似，故①错误；
②两个全等三角形：对应角全部相等，对应边的比为1，满足相似三角形的要求，故②正确；
③等边三角形：所有等边三角形的内角都是60°，三组角对应相等，因此所有等边三角形都相似，故③正确；
④锐角三角形：锐角三角形的三个内角都是锐角，但角度不一定对应相等，例如三个角为50°、60°、70°的锐角三角形和等边三角形就不相似，故④错误；
⑤两个等腰直角三角形：所有等腰直角三角形的内角都是90°、45°、45°，三组角对应相等，因此都相似，故⑤正确。
综上，正确的说法是②③⑤，共3个。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、特殊三角形的内角性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，需要将相似三角形的判定和各类常见三角形的内角特点结合起来分析，做题时要注意不要以偏概全，避免忽略不同同类三角形的内角差异导致误判。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 在地图上的1 cm表示实际距离400 m，那么该地图的比例尺为
1. 在地图上的1 cm表示实际距离400 m，那么该地图的比例尺为
1:40 000
。答案
1. 1:40 000
解析
【分析】
解题首先要明确比例尺的定义：比例尺等于图上距离与实际距离的比。由于题目给出的图上距离和实际距离单位不统一，不能直接作比，因此第一步需要先将两个距离的单位换算为一致的单位，再代入比例尺的定义式计算比值，即可得到最终的比例尺。
【解析】
1. 牢记比例尺计算公式：$\mathrm{比例尺}=\mathrm{图上距离}:\mathrm{实际距离}$
2. 统一单位：已知实际距离为$400\mathrm{m}$，根据长度换算关系$1\mathrm{m}=100\mathrm{cm}$，可得$400\mathrm{m}=400×100=40000\mathrm{cm}$
3. 代入计算：图上距离为$1\mathrm{cm}$，因此比例尺为$1\mathrm{cm}:40000\mathrm{cm}=1:40000$
【答案】
$1:40\,000$
【知识点】
比例尺的计算、长度单位换算
【点评】
本题属于比例尺相关的基础题型，最常见的错误是计算前未统一图上距离和实际距离的单位，直接用不同单位的数值作比得到错误结果，解题时只要注意先统一单位再计算即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确比例尺的定义：比例尺等于图上距离与实际距离的比。由于题目给出的图上距离和实际距离单位不统一，不能直接作比，因此第一步需要先将两个距离的单位换算为一致的单位，再代入比例尺的定义式计算比值，即可得到最终的比例尺。
【解析】
1. 牢记比例尺计算公式：$\mathrm{比例尺}=\mathrm{图上距离}:\mathrm{实际距离}$
2. 统一单位：已知实际距离为$400\mathrm{m}$，根据长度换算关系$1\mathrm{m}=100\mathrm{cm}$，可得$400\mathrm{m}=400×100=40000\mathrm{cm}$
3. 代入计算：图上距离为$1\mathrm{cm}$，因此比例尺为$1\mathrm{cm}:40000\mathrm{cm}=1:40000$
【答案】
$1:40\,000$
【知识点】
比例尺的计算、长度单位换算
【点评】
本题属于比例尺相关的基础题型，最常见的错误是计算前未统一图上距离和实际距离的单位，直接用不同单位的数值作比得到错误结果，解题时只要注意先统一单位再计算即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
2. 已知两地的实际距离为250 m,用1:5 000的比例尺画图,图上两地的距离应画
5
cm.答案
2. 5
解析
【分析】
解题时首先明确比例尺的定义：比例尺是图上距离与实际距离的比值，要求图上距离，可对比例尺公式变形得到“图上距离=实际距离×比例尺”。本题要注意单位统一，题目给出的实际距离单位是m，最终要求结果的单位是cm，因此需先将实际距离的单位换算为cm，再代入公式计算即可。
【解析】
解：先统一单位：$250\ \mathrm{m}=250×100\ \mathrm{cm}=25000\ \mathrm{cm}$
根据比例尺公式：$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}$，变形得：
$\mathrm{图上距离}=\mathrm{实际距离}×\mathrm{比例尺}$
代入数据计算：$\mathrm{图上距离}=25000\ \mathrm{cm}×\frac{1}{5000}=5\ \mathrm{cm}$
【答案】
5
【知识点】
比例尺的应用；长度单位换算
【点评】
本题属于比例尺应用的基础题，解题核心是牢记比例尺的计算公式，易错点是计算时忽略单位统一导致结果错误，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确比例尺的定义：比例尺是图上距离与实际距离的比值，要求图上距离，可对比例尺公式变形得到“图上距离=实际距离×比例尺”。本题要注意单位统一，题目给出的实际距离单位是m，最终要求结果的单位是cm，因此需先将实际距离的单位换算为cm，再代入公式计算即可。
【解析】
解：先统一单位：$250\ \mathrm{m}=250×100\ \mathrm{cm}=25000\ \mathrm{cm}$
根据比例尺公式：$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}$，变形得：
$\mathrm{图上距离}=\mathrm{实际距离}×\mathrm{比例尺}$
代入数据计算：$\mathrm{图上距离}=25000\ \mathrm{cm}×\frac{1}{5000}=5\ \mathrm{cm}$
【答案】
5
【知识点】
比例尺的应用；长度单位换算
【点评】
本题属于比例尺应用的基础题，解题核心是牢记比例尺的计算公式，易错点是计算时忽略单位统一导致结果错误，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
3. 下列说法:①所有的等腰三角形都相似;②所有的矩形都相似;③所有的正六边形都相似;④所有的菱形都相似;⑤所有的正方形都相似. 其中正确命题为
③⑤
.答案
3. ③⑤
解析
【分析】
判断这类命题的核心依据是相似多边形的判定规则：边数相同的两个多边形相似，必须同时满足两个条件：一是所有对应角相等，二是所有对应边成比例，二者缺一不可。解题时我们逐一验证每个说法是否同时满足这两个条件即可。
【解析】
我们逐个分析5个说法：
①等腰三角形：等腰三角形的顶角可以是任意角度，比如顶角为30°的等腰三角形和顶角为100°的等腰三角形，对应角不相等，不满足相似条件，故①错误；
②矩形：矩形的四个内角都是90°，对应角相等，但边长比例不一定相同，比如长为4宽为1的矩形和长为3宽为2的矩形，对应边的比不相等，不满足相似条件，故②错误；
③正六边形：所有正六边形的每个内角都是120°，对应角相等；且正六边形的六条边长度都相等，因此任意两个正六边形的对应边一定成比例，同时满足两个相似条件，故③正确；
④菱形：菱形的四条边长度相等，对应边成比例，但内角不一定相等，比如内角为60°和120°的菱形，和内角为45°和135°的菱形，对应角不相等，不满足相似条件，故④错误；
⑤正方形：所有正方形的四个内角都是90°，对应角相等；且正方形四条边长度都相等，对应边一定成比例，同时满足两个相似条件，故⑤正确。
综上，正确的命题是③⑤。
【答案】
③⑤
【知识点】
相似多边形的判定；正多边形的性质
【点评】
本题是相似图形判定的基础题型，易错点是容易遗漏相似多边形需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，仅满足其中一个条件无法判定相似。
【难度系数】
0.7
判断这类命题的核心依据是相似多边形的判定规则：边数相同的两个多边形相似，必须同时满足两个条件：一是所有对应角相等，二是所有对应边成比例，二者缺一不可。解题时我们逐一验证每个说法是否同时满足这两个条件即可。
【解析】
我们逐个分析5个说法：
①等腰三角形：等腰三角形的顶角可以是任意角度，比如顶角为30°的等腰三角形和顶角为100°的等腰三角形，对应角不相等，不满足相似条件，故①错误；
②矩形：矩形的四个内角都是90°，对应角相等，但边长比例不一定相同，比如长为4宽为1的矩形和长为3宽为2的矩形，对应边的比不相等，不满足相似条件，故②错误；
③正六边形：所有正六边形的每个内角都是120°，对应角相等；且正六边形的六条边长度都相等，因此任意两个正六边形的对应边一定成比例，同时满足两个相似条件，故③正确；
④菱形：菱形的四条边长度相等，对应边成比例，但内角不一定相等，比如内角为60°和120°的菱形，和内角为45°和135°的菱形，对应角不相等，不满足相似条件，故④错误；
⑤正方形：所有正方形的四个内角都是90°，对应角相等；且正方形四条边长度都相等，对应边一定成比例，同时满足两个相似条件，故⑤正确。
综上，正确的命题是③⑤。
【答案】
③⑤
【知识点】
相似多边形的判定；正多边形的性质
【点评】
本题是相似图形判定的基础题型，易错点是容易遗漏相似多边形需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，仅满足其中一个条件无法判定相似。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 如图3,四边形ABCD和四边形EFGH相似,求∠α、∠β的大小和EH的长度x.
1. 如图3,四边形ABCD和四边形EFGH相似,求∠α、∠β的大小和EH的长度x.
答案
1. ∠α=83°,∠β=81°,x=28 cm
解析
【分析】
已知两个四边形相似，根据相似多边形的性质可得对应角相等、对应边成比例。首先确定对应角：∠α与∠B是对应角，可直接得出∠α的度数；∠H与∠D是对应角，可得∠D的度数，再结合四边形内角和为360°就能算出∠β的度数。接着确定对应边：CD与HG是对应边、AD与EH是对应边，根据对应边成比例列方程即可求出x的值。
【解析】
∵四边形ABCD∽四边形EFGH
∴对应角相等，对应边成比例
1. 求角的度数：
∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°
根据四边形内角和为360°，可得：
∠β=360°-∠B-∠C-∠D=360°-83°-78°-118°=81°
2. 求EH的长度x：
由对应边成比例得$\frac{AD}{EH}=\frac{CD}{HG}$
代入AD=21cm，CD=18cm，HG=24cm，EH=x，得：
$\frac{21}{x}=\frac{18}{24}$
解得$x=\frac{21×24}{18}=28$（cm）
【答案】
∠α=83°,∠β=81°,x=28 cm
【知识点】
相似图形的性质，多边形内角和，比例线段
【点评】
本题是相似图形性质的基础应用题，解题核心是准确找到相似图形的对应角和对应边，结合多边形内角和公式即可求解，需要注意计算比例时不要把对应边的顺序搞反。
【难度系数】
0.75
已知两个四边形相似，根据相似多边形的性质可得对应角相等、对应边成比例。首先确定对应角：∠α与∠B是对应角，可直接得出∠α的度数；∠H与∠D是对应角，可得∠D的度数，再结合四边形内角和为360°就能算出∠β的度数。接着确定对应边：CD与HG是对应边、AD与EH是对应边，根据对应边成比例列方程即可求出x的值。
【解析】
∵四边形ABCD∽四边形EFGH
∴对应角相等，对应边成比例
1. 求角的度数：
∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°
根据四边形内角和为360°，可得：
∠β=360°-∠B-∠C-∠D=360°-83°-78°-118°=81°
2. 求EH的长度x：
由对应边成比例得$\frac{AD}{EH}=\frac{CD}{HG}$
代入AD=21cm，CD=18cm，HG=24cm，EH=x，得：
$\frac{21}{x}=\frac{18}{24}$
解得$x=\frac{21×24}{18}=28$（cm）
【答案】
∠α=83°,∠β=81°,x=28 cm
【知识点】
相似图形的性质，多边形内角和，比例线段
【点评】
本题是相似图形性质的基础应用题，解题核心是准确找到相似图形的对应角和对应边，结合多边形内角和公式即可求解，需要注意计算比例时不要把对应边的顺序搞反。
【难度系数】
0.75
