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三、解答题
1. 如图9,在$△ ABC$中,$MD// AB$,$MN// AE$. 求证:$\frac{CD}{CB}=\frac{CN}{CE}$.
1. 如图9,在$△ ABC$中,$MD// AB$,$MN// AE$. 求证:$\frac{CD}{CB}=\frac{CN}{CE}$.
答案
证明：
∵ $MD// AB$，
由平行线分线段成比例的推论，可得 $\frac{CD}{CB}=\frac{CM}{CA}$。
∵ $MN// AE$，
由平行线分线段成比例的推论，可得 $\frac{CN}{CE}=\frac{CM}{CA}$。
∴ $\frac{CD}{CB}=\frac{CN}{CE}$。
∵ $MD// AB$，
由平行线分线段成比例的推论，可得 $\frac{CD}{CB}=\frac{CM}{CA}$。
∵ $MN// AE$，
由平行线分线段成比例的推论，可得 $\frac{CN}{CE}=\frac{CM}{CA}$。
∴ $\frac{CD}{CB}=\frac{CN}{CE}$。
解析
【分析】
要证明$\frac{CD}{CB}=\frac{CN}{CE}$，可通过寻找公共中间比进行等量代换推导。首先结合已知的两组平行条件，分别在对应的三角形中应用平行线分线段成比例的推论：第一步，由$MD// AB$，在$△ ABC$中可得到$\frac{CD}{CB}$和$\frac{CM}{CA}$相等；第二步，由$MN// AE$，在$△ AEC$中可得到$\frac{CN}{CE}$和$\frac{CM}{CA}$相等；最后两个比例都等于同一个中间比$\frac{CM}{CA}$，即可推出要证的结论。
【解析】
证明：
∵ $MD// AB$，
由平行线分线段成比例的推论，可得 $\frac{CD}{CB}=\frac{CM}{CA}$。
∵ $MN// AE$，
由平行线分线段成比例的推论，可得 $\frac{CN}{CE}=\frac{CM}{CA}$。
∴ $\frac{CD}{CB}=\frac{CN}{CE}$。
【答案】
证明：
∵ $MD// AB$，
由平行线分线段成比例的推论，可得 $\frac{CD}{CB}=\frac{CM}{CA}$。
∵ $MN// AE$，
由平行线分线段成比例的推论，可得 $\frac{CN}{CE}=\frac{CM}{CA}$。
∴ $\frac{CD}{CB}=\frac{CN}{CE}$。
【知识点】
平行线分线段成比例推论、等量代换
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心考查平行线分线段成比例推论的使用，解题关键是找到公共中间比实现等量代换，熟练掌握相关定理就能快速完成证明。
【难度系数】
0.8
要证明$\frac{CD}{CB}=\frac{CN}{CE}$，可通过寻找公共中间比进行等量代换推导。首先结合已知的两组平行条件，分别在对应的三角形中应用平行线分线段成比例的推论：第一步，由$MD// AB$，在$△ ABC$中可得到$\frac{CD}{CB}$和$\frac{CM}{CA}$相等；第二步，由$MN// AE$，在$△ AEC$中可得到$\frac{CN}{CE}$和$\frac{CM}{CA}$相等；最后两个比例都等于同一个中间比$\frac{CM}{CA}$，即可推出要证的结论。
【解析】
证明：
∵ $MD// AB$，
由平行线分线段成比例的推论，可得 $\frac{CD}{CB}=\frac{CM}{CA}$。
∵ $MN// AE$，
由平行线分线段成比例的推论，可得 $\frac{CN}{CE}=\frac{CM}{CA}$。
∴ $\frac{CD}{CB}=\frac{CN}{CE}$。
【答案】
证明：
∵ $MD// AB$，
由平行线分线段成比例的推论，可得 $\frac{CD}{CB}=\frac{CM}{CA}$。
∵ $MN// AE$，
由平行线分线段成比例的推论，可得 $\frac{CN}{CE}=\frac{CM}{CA}$。
∴ $\frac{CD}{CB}=\frac{CN}{CE}$。
【知识点】
平行线分线段成比例推论、等量代换
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心考查平行线分线段成比例推论的使用，解题关键是找到公共中间比实现等量代换，熟练掌握相关定理就能快速完成证明。
【难度系数】
0.8
2. 如图10,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,DE//BC,AD:DB=2:3,AC=5. 求DE的长.
答案
2. 3
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察到DE//BC，可利用平行线分线段成比例定理得到AE与EC的比值等于AD与DB的比值；再结合CD是∠ACB的平分线和平行线的性质，可推导出∠EDC=∠ECD，进而得到DE=EC的等量关系；最后结合AC的总长度，按比例求出EC的长度，即可得到DE的长。
【解析】
解：
∵$DE// BC$
∴根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3}$
∵CD平分$∠ ACB$
∴$∠ DCB=∠ DCE$
又
∵$DE// BC$
∴$∠ EDC=∠ DCB$（两直线平行，内错角相等）
∴$∠ EDC=∠ DCE$
∴$DE=EC$（等角对等边）
∵$AC=AE+EC=5$，且$AE:EC=2:3$
∴$EC=\frac{3}{2+3}× AC=\frac{3}{5}×5=3$
∴$DE=EC=3$
【答案】
3
【知识点】
平行线分线段成比例；等腰三角形判定；角平分线定义
【点评】
本题属于基础综合题，将平行线性质、角平分线定义、等腰三角形判定与线段比例计算结合考查，解题的关键是通过角的等量关系推出DE与EC相等，再结合比例关系计算线段长度。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先观察到DE//BC，可利用平行线分线段成比例定理得到AE与EC的比值等于AD与DB的比值；再结合CD是∠ACB的平分线和平行线的性质，可推导出∠EDC=∠ECD，进而得到DE=EC的等量关系；最后结合AC的总长度，按比例求出EC的长度，即可得到DE的长。
【解析】
解：
∵$DE// BC$
∴根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{AE}{EC}=\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3}$
∵CD平分$∠ ACB$
∴$∠ DCB=∠ DCE$
又
∵$DE// BC$
∴$∠ EDC=∠ DCB$（两直线平行，内错角相等）
∴$∠ EDC=∠ DCE$
∴$DE=EC$（等角对等边）
∵$AC=AE+EC=5$，且$AE:EC=2:3$
∴$EC=\frac{3}{2+3}× AC=\frac{3}{5}×5=3$
∴$DE=EC=3$
【答案】
3
【知识点】
平行线分线段成比例；等腰三角形判定；角平分线定义
【点评】
本题属于基础综合题，将平行线性质、角平分线定义、等腰三角形判定与线段比例计算结合考查，解题的关键是通过角的等量关系推出DE与EC相等，再结合比例关系计算线段长度。
【难度系数】
0.7
3. 如图11，△ABC是边长为2的等边三角形，DE//BC，△BCD的面积是△ABC面积的$\frac{1}{4}$. 求EC的长. 
答案
$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题思路：首先观察△BCD与△ABC的位置关系，二者共用AB边上从C出发的高，因此面积比等于对应底BD与AB的长度比，结合已知面积比可求出BD长，进而得到AD长；再根据DE//BC，利用平行线分线段成比例的性质得到AD与AB的比等于AE与AC的比，求出AE长；最后用AC长减去AE长即可得到EC的长度。
【解析】
解：
∵△BCD和△ABC以C为顶点时，AB边上的高相等
∴$\frac{S_{△ BCD}}{S_{△ ABC}}=\frac{BD}{AB}$
已知$\frac{S_{△ BCD}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{4}$，等边△ABC边长AB=2
∴$\frac{BD}{2}=\frac{1}{4}$，解得$BD=\frac{1}{2}$
∴$AD=AB-BD=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
∵$DE// BC$，根据平行线分线段成比例性质可得：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
又等边△ABC中$AC=AB=2$
∴$\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{AE}{2}$，解得$AE=\frac{3}{2}$
∴$EC=AC-AE=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
同高三角形面积比性质、平行线分线段成比例、等边三角形性质
【点评】
本题是三角形面积性质与平行线分线段成比例的综合应用题，解题关键是将面积比转化为线段比，再结合平行线的性质逐步推导，整体计算量小，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先观察△BCD与△ABC的位置关系，二者共用AB边上从C出发的高，因此面积比等于对应底BD与AB的长度比，结合已知面积比可求出BD长，进而得到AD长；再根据DE//BC，利用平行线分线段成比例的性质得到AD与AB的比等于AE与AC的比，求出AE长；最后用AC长减去AE长即可得到EC的长度。
【解析】
解：
∵△BCD和△ABC以C为顶点时，AB边上的高相等
∴$\frac{S_{△ BCD}}{S_{△ ABC}}=\frac{BD}{AB}$
已知$\frac{S_{△ BCD}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{4}$，等边△ABC边长AB=2
∴$\frac{BD}{2}=\frac{1}{4}$，解得$BD=\frac{1}{2}$
∴$AD=AB-BD=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
∵$DE// BC$，根据平行线分线段成比例性质可得：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
又等边△ABC中$AC=AB=2$
∴$\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{AE}{2}$，解得$AE=\frac{3}{2}$
∴$EC=AC-AE=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
同高三角形面积比性质、平行线分线段成比例、等边三角形性质
【点评】
本题是三角形面积性质与平行线分线段成比例的综合应用题，解题关键是将面积比转化为线段比，再结合平行线的性质逐步推导，整体计算量小，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.7
