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一、选择题
1. 如图1，已知直线$a// b// c$，直线$m,n$与直线$a,b,c$分别交于点$A,C,E,B,D,F$，$AC=4$，$CE=6$，$BD=3$，则$BF=$(
A.7
B.7.5
C.8
D.8.5
1. 如图1，已知直线$a// b// c$，直线$m,n$与直线$a,b,c$分别交于点$A,C,E,B,D,F$，$AC=4$，$CE=6$，$BD=3$，则$BF=$(
B
)A.7
B.7.5
C.8
D.8.5
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：第一步，先观察题干条件，三条平行线$a、b、c$截两条直线$m、n$，符合平行线分线段成比例定理的使用条件；第二步，找准对应成比例线段：直线$m$上的线段$AC、CE$分别对应直线$n$上的线段$BD、DF$，据此列出比例式；第三步，代入已知数值求解$DF$的长度，最后将$BD$和$DF$相加即可得到$BF$的长度。
【解析】
解：$\because$ 直线$a// b// c$
$\therefore$ 根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$
已知$AC=4$，$CE=6$，$BD=3$，代入比例式得：
$\frac{4}{6}=\frac{3}{DF}$
解得：$DF=\frac{3×6}{4}=4.5$
$\therefore BF=BD+DF=3+4.5=7.5$
【答案】
B
【知识点】
1. 平行线分线段成比例定理；2. 比例式计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题核心是准确识别平行线截直线所得的对应线段，正确列出比例式计算即可，易错点是对应线段找错导致比例式列错。
【难度系数】
0.8
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：第一步，先观察题干条件，三条平行线$a、b、c$截两条直线$m、n$，符合平行线分线段成比例定理的使用条件；第二步，找准对应成比例线段：直线$m$上的线段$AC、CE$分别对应直线$n$上的线段$BD、DF$，据此列出比例式；第三步，代入已知数值求解$DF$的长度，最后将$BD$和$DF$相加即可得到$BF$的长度。
【解析】
解：$\because$ 直线$a// b// c$
$\therefore$ 根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$
已知$AC=4$，$CE=6$，$BD=3$，代入比例式得：
$\frac{4}{6}=\frac{3}{DF}$
解得：$DF=\frac{3×6}{4}=4.5$
$\therefore BF=BD+DF=3+4.5=7.5$
【答案】
B
【知识点】
1. 平行线分线段成比例定理；2. 比例式计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题核心是准确识别平行线截直线所得的对应线段，正确列出比例式计算即可，易错点是对应线段找错导致比例式列错。
【难度系数】
0.8
2. 如图2，在$△ ABC$中，$DE// BC$，若$AD=5$，$BD=10$，$AE=3$，则$CE$的长为(
A.9
B.6
C.3
D.4
B
)A.9
B.6
C.3
D.4
答案
2. B
解析
【分析】
首先观察题目给出的条件：在△ABC中DE//BC，由此可联想到平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。我们需要找到与所求CE相关的对应线段，即AD与BD对应，AE与CE对应，据此列出比例式，代入已知数值求解即可得到CE的长度。
【解析】
解：
∵ DE//BC
∴ 根据平行线分线段成比例的推论，可得$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$
将AD=5，BD=10，AE=3代入上式，得：
$\frac{5}{10}=\frac{3}{CE}$
化简得$\frac{1}{2}=\frac{3}{CE}$
交叉相乘解得：$CE=3×2=6$
【答案】
B
【知识点】
1. 平行线分线段成比例推论
2. 比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平行线分线段成比例相关知识的应用，解题的关键是找准平行线截得的对应线段，正确列出比例式计算，是该知识点的典型常考题。
【难度系数】
0.8
首先观察题目给出的条件：在△ABC中DE//BC，由此可联想到平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例。我们需要找到与所求CE相关的对应线段，即AD与BD对应，AE与CE对应，据此列出比例式，代入已知数值求解即可得到CE的长度。
【解析】
解：
∵ DE//BC
∴ 根据平行线分线段成比例的推论，可得$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$
将AD=5，BD=10，AE=3代入上式，得：
$\frac{5}{10}=\frac{3}{CE}$
化简得$\frac{1}{2}=\frac{3}{CE}$
交叉相乘解得：$CE=3×2=6$
【答案】
B
【知识点】
1. 平行线分线段成比例推论
2. 比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平行线分线段成比例相关知识的应用，解题的关键是找准平行线截得的对应线段，正确列出比例式计算，是该知识点的典型常考题。
【难度系数】
0.8
3. 如图3，在$△ ABC$中，D，E分别为BA，CA延长线上的点，$DE// BC$，$BD=3AD$，若$CE=6$，则AC的长为(
A.2
B.3
C.4
D.5
C
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
3. C
解析
【分析】
看到DE//BC的条件，首先想到平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线，所得的对应线段成比例。首先根据BD=3AD推导AD与AB的比例关系，再利用平行得到的线段比例关系推出AE与AC的比例，最后结合CE=AE+AC=6的线段和关系，即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵DE//BC
∴根据平行线分线段成比例的推论，可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
∵BD=3AD，且AB=BD-AD
∴AB=3AD - AD=2AD，即$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，即$AC=2AE$
∵E在CA的延长线上
∴$CE=AE+AC=6$
将$AC=2AE$代入得：$AE+2AE=6$
解得$AE=2$，则$AC=2×2=4$
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例，比例计算，线段和差运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平行线分线段成比例推论的应用，解题的关键是理清各线段之间的比例关系与和差关系，结合已知条件建立等式求解即可。
【难度系数】
0.8
看到DE//BC的条件，首先想到平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线，所得的对应线段成比例。首先根据BD=3AD推导AD与AB的比例关系，再利用平行得到的线段比例关系推出AE与AC的比例，最后结合CE=AE+AC=6的线段和关系，即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵DE//BC
∴根据平行线分线段成比例的推论，可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
∵BD=3AD，且AB=BD-AD
∴AB=3AD - AD=2AD，即$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，即$AC=2AE$
∵E在CA的延长线上
∴$CE=AE+AC=6$
将$AC=2AE$代入得：$AE+2AE=6$
解得$AE=2$，则$AC=2×2=4$
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例，比例计算，线段和差运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平行线分线段成比例推论的应用，解题的关键是理清各线段之间的比例关系与和差关系，结合已知条件建立等式求解即可。
【难度系数】
0.8
4. 如图4,已知$AB// CD// EF$,则下列结论正确的是(
A.$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{BE}$
B.$\frac{DF}{AF}=\frac{EC}{BC}$
C.$\frac{AF}{BE}=\frac{AD}{BC}$
D.$\frac{CE}{DF}=\frac{AD}{BC}$
C
)A.$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{BE}$
B.$\frac{DF}{AF}=\frac{EC}{BC}$
C.$\frac{AF}{BE}=\frac{AD}{BC}$
D.$\frac{CE}{DF}=\frac{AD}{BC}$
答案
4. C
解析
【分析】
首先回忆平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。观察图形可知，AB、CD、EF这三条平行线截了两条直线，先明确两条被截直线上的对应线段：左侧被截直线上的线段BC、CE、BE分别对应右侧被截直线上的线段AD、DF、AF。再根据定理写出比例关系，逐一验证四个选项是否符合比例变形规则即可。
【解析】
解：$\because AB// CD// EF$，根据平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{BC}{AD}=\frac{CE}{DF}=\frac{BE}{AF}$
对各选项逐一判断：
A选项：由比例关系可得$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}≠\frac{BC}{BE}$，故A错误；
B选项：由比例关系可得$\frac{DF}{AF}=\frac{CE}{BE}≠\frac{EC}{BC}$，故B错误；
C选项：由$\frac{AD}{BC}=\frac{AF}{BE}$，根据比例的基本性质变形可得$\frac{AF}{BE}=\frac{AD}{BC}$，故C正确；
D选项：由比例关系可得$\frac{CE}{DF}=\frac{BC}{AD}≠\frac{AD}{BC}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例定理；比例的基本性质
【点评】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题核心是找准不同被截直线上的对应线段，避免因对应关系混淆出错，属于基础题型，熟练掌握定理内容即可快速解答。
【难度系数】
0.7
首先回忆平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。观察图形可知，AB、CD、EF这三条平行线截了两条直线，先明确两条被截直线上的对应线段：左侧被截直线上的线段BC、CE、BE分别对应右侧被截直线上的线段AD、DF、AF。再根据定理写出比例关系，逐一验证四个选项是否符合比例变形规则即可。
【解析】
解：$\because AB// CD// EF$，根据平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{BC}{AD}=\frac{CE}{DF}=\frac{BE}{AF}$
对各选项逐一判断：
A选项：由比例关系可得$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}≠\frac{BC}{BE}$，故A错误；
B选项：由比例关系可得$\frac{DF}{AF}=\frac{CE}{BE}≠\frac{EC}{BC}$，故B错误；
C选项：由$\frac{AD}{BC}=\frac{AF}{BE}$，根据比例的基本性质变形可得$\frac{AF}{BE}=\frac{AD}{BC}$，故C正确；
D选项：由比例关系可得$\frac{CE}{DF}=\frac{BC}{AD}≠\frac{AD}{BC}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例定理；比例的基本性质
【点评】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题核心是找准不同被截直线上的对应线段，避免因对应关系混淆出错，属于基础题型，熟练掌握定理内容即可快速解答。
【难度系数】
0.7
1. 如图5,如果D,E分别是$△ ABC$的边AB,AC延长线上的点,而且$DE// BC$,$AE=30$,$AC=10$,$AB=16$,那么$AD=$
48
.答案
1. 48
解析
【分析】
首先读题提取已知条件：DE//BC，D、E分别在AB、AC的延长线上，已知AE=30、AC=10、AB=16，要求AD的长度。看到平行线截三角形两边延长线的条件，优先联想平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。接下来找准对应线段：AC和AE是一组对应边，AB和AD是另一组对应边，列出比例式后代入已知数值计算即可求出AD。
【解析】
解：
∵DE//BC，D、E分别在AB、AC的延长线上
∴根据平行线分线段成比例的推论，可得：$\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}$
将AE=30，AC=10，AB=16代入比例式：
$\frac{10}{30}=\frac{16}{AD}$
化简得：$\frac{1}{3}=\frac{16}{AD}$
交叉相乘解得：$AD=16×3=48$
【答案】
48
【知识点】
1.平行线分线段成比例推论
2.比例的基本性质
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题，解题关键是准确识别对应线段，避免把比例式写反，掌握比例的基本运算即可快速得出结果，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
首先读题提取已知条件：DE//BC，D、E分别在AB、AC的延长线上，已知AE=30、AC=10、AB=16，要求AD的长度。看到平行线截三角形两边延长线的条件，优先联想平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。接下来找准对应线段：AC和AE是一组对应边，AB和AD是另一组对应边，列出比例式后代入已知数值计算即可求出AD。
【解析】
解：
∵DE//BC，D、E分别在AB、AC的延长线上
∴根据平行线分线段成比例的推论，可得：$\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}$
将AE=30，AC=10，AB=16代入比例式：
$\frac{10}{30}=\frac{16}{AD}$
化简得：$\frac{1}{3}=\frac{16}{AD}$
交叉相乘解得：$AD=16×3=48$
【答案】
48
【知识点】
1.平行线分线段成比例推论
2.比例的基本性质
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题，解题关键是准确识别对应线段，避免把比例式写反，掌握比例的基本运算即可快速得出结果，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
2. 如图6，直线$l_1 // l_2 // l_3$，已知AE=1，BE=2，DE=3，则CD的长为
图5 图6 图7 图8
$\frac{9}{2}$
。 图5 图6 图7 图8
答案
2. $\frac{9}{2}$
解析
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先回忆定理内容：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；接着结合已知线段找到对应的成比例线段，列出比例式先求出CE的长度；最后根据CD是CE与DE的和，代入数值计算即可得到CD的长。
【解析】
解：根据平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
∵ $ l_1 // l_2 // l_3 $
∴ $\frac{AE}{BE} = \frac{CE}{DE}$
将AE=1，BE=2，DE=3代入比例式：
$\frac{1}{2} = \frac{CE}{3}$
解得：$CE = \frac{3}{2}$
∴ $CD = CE + DE = \frac{3}{2} + 3 = \frac{9}{2}$
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
平行线分线段成比例、比例式求解、线段长度计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例的常规基础题，解题关键是准确识别对应成比例的线段，避免比例关系写反导致计算错误，熟练掌握定理内容就能快速解答。
【难度系数】
0.7
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先回忆定理内容：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；接着结合已知线段找到对应的成比例线段，列出比例式先求出CE的长度；最后根据CD是CE与DE的和，代入数值计算即可得到CD的长。
【解析】
解：根据平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
∵ $ l_1 // l_2 // l_3 $
∴ $\frac{AE}{BE} = \frac{CE}{DE}$
将AE=1，BE=2，DE=3代入比例式：
$\frac{1}{2} = \frac{CE}{3}$
解得：$CE = \frac{3}{2}$
∴ $CD = CE + DE = \frac{3}{2} + 3 = \frac{9}{2}$
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
平行线分线段成比例、比例式求解、线段长度计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例的常规基础题，解题关键是准确识别对应成比例的线段，避免比例关系写反导致计算错误，熟练掌握定理内容就能快速解答。
【难度系数】
0.7
3. 如图7, 在 Rt△ABC 中, ∠C=90°, ED⊥BC , D 为垂足, BD=3 cm, DC=2 cm, AB=6 cm, 则 BE=
$\frac{18}{5}$
cm, EA= $\frac{12}{5}$
cm.答案
3. $\frac{18}{5},\frac{12}{5}$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：∠C=90°即AC⊥BC，ED⊥BC，可先推出ED与AC平行；再结合平行线分线段成比例的推论，得到△ABC中BE与BA的比等于BD与BC的比；先计算BC的总长度，再代入已知的AB、BD长度即可求出BE，最后用AB减去BE得到EA的长度。
【解析】
解：
∵BD=3cm，DC=2cm，
∴BC=BD+DC=3+2=5cm，
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
又
∵ED⊥BC，
∴ED//AC（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
根据平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例，可得：
$\frac{BE}{BA}=\frac{BD}{BC}$，
将BA=6cm，BD=3cm，BC=5cm代入得：
$\frac{BE}{6}=\frac{3}{5}$，
解得$BE=\frac{18}{5}$cm，
∴$EA=AB-BE=6-\frac{18}{5}=\frac{12}{5}$cm。
【答案】
$\frac{18}{5}$，$\frac{12}{5}$
【知识点】
平行线的判定；平行线分线段成比例
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题，解题的核心是先根据垂直关系证明线段平行，再准确找到对应成比例的线段代入计算，计算时注意分数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件：∠C=90°即AC⊥BC，ED⊥BC，可先推出ED与AC平行；再结合平行线分线段成比例的推论，得到△ABC中BE与BA的比等于BD与BC的比；先计算BC的总长度，再代入已知的AB、BD长度即可求出BE，最后用AB减去BE得到EA的长度。
【解析】
解：
∵BD=3cm，DC=2cm，
∴BC=BD+DC=3+2=5cm，
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
又
∵ED⊥BC，
∴ED//AC（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
根据平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例，可得：
$\frac{BE}{BA}=\frac{BD}{BC}$，
将BA=6cm，BD=3cm，BC=5cm代入得：
$\frac{BE}{6}=\frac{3}{5}$，
解得$BE=\frac{18}{5}$cm，
∴$EA=AB-BE=6-\frac{18}{5}=\frac{12}{5}$cm。
【答案】
$\frac{18}{5}$，$\frac{12}{5}$
【知识点】
平行线的判定；平行线分线段成比例
【点评】
本题是平行线分线段成比例的基础应用题，解题的核心是先根据垂直关系证明线段平行，再准确找到对应成比例的线段代入计算，计算时注意分数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
4*. 如图8,利用黄金分割法,所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分,其中E为边AB的黄金分割点,即$BE^2 = AE · AB$. 已知AB为2米,则线段BE的长为
$(\sqrt{5}-1)$
米.答案
4. $(\sqrt{5}-1)$
解析
【分析】
解题时首先根据题目给出的黄金分割等量关系$BE^2 = AE · AB$出发，已知AB的长度为2米，我们可以设BE的长为x米，用AB和BE表示出AE的长度为$(2-x)$米，将各量代入等量关系即可得到关于x的一元二次方程，求解后根据线段长度为正的实际意义舍去负根，就能得到BE的长度。
【解析】
解：设线段BE的长为x米。
∵ $AB = 2$米，
∴ $AE = AB - BE = (2 - x)$米。
根据题意$BE^2 = AE·AB$，代入得：
$x^2 = 2(2 - x)$
整理得一元二次方程：
$x^2 + 2x - 4 = 0$
由求根公式解得：
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 + 4 × 4}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$
∵ 线段长度为正数，故舍去负根$x = -1 - \sqrt{5}$，
∴ $x = \sqrt{5} - 1$。
【答案】
$(\sqrt{5}-1)$
【知识点】
黄金分割、一元二次方程的解法
【点评】
本题考查黄金分割相关的实际计算，解题核心是利用题目给出的等量关系列方程，求解后要注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据题目给出的黄金分割等量关系$BE^2 = AE · AB$出发，已知AB的长度为2米，我们可以设BE的长为x米，用AB和BE表示出AE的长度为$(2-x)$米，将各量代入等量关系即可得到关于x的一元二次方程，求解后根据线段长度为正的实际意义舍去负根，就能得到BE的长度。
【解析】
解：设线段BE的长为x米。
∵ $AB = 2$米，
∴ $AE = AB - BE = (2 - x)$米。
根据题意$BE^2 = AE·AB$，代入得：
$x^2 = 2(2 - x)$
整理得一元二次方程：
$x^2 + 2x - 4 = 0$
由求根公式解得：
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 + 4 × 4}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$
∵ 线段长度为正数，故舍去负根$x = -1 - \sqrt{5}$，
∴ $x = \sqrt{5} - 1$。
【答案】
$(\sqrt{5}-1)$
【知识点】
黄金分割、一元二次方程的解法
【点评】
本题考查黄金分割相关的实际计算，解题核心是利用题目给出的等量关系列方程，求解后要注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
