典例3 求满足下列条件的二次函数的解析式：
(1)图象经过点$(0,0),(1,1)$和$(2,5)$；
(2)图象顶点坐标为$(1,-6)$，且经过点$(2,-8)$。

解：
(1) 设所求二次函数的解析式为 $ y = ax^2 + bx + c \ (a ≠ 0) $。
将点$(0,0)$代入解析式，得 $ c = 0 $。
将点$(1,1)$、$(2,5)$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}a + b = 1 \\4a + 2b = 5\end{cases}$
解得 $ a = \frac{3}{2} $，$ b = -\frac{1}{2} $。
因此所求二次函数的解析式为 $ y = \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{2}x $。
(2) 已知二次函数图象顶点坐标为$(1,-6)$，设所求二次函数的解析式为 $ y = a(x-1)^2 - 6 \ (a ≠ 0) $。
将点$(2,-8)$代入解析式，得：
$a · (2-1)^2 - 6 = -8$
解得 $ a = -2 $。
整理得二次函数解析式为 $ y = -2(x-1)^2 -6 = -2x^2 +4x -8 $。
因此所求二次函数的解析式为 $ y = -2x^2 +4x -8 $。

典例4 已知二次函数$y=x^2 -2ax +a^2 -2a -4$（$a$为常数）的图象与$x$轴有交点，且当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而增大，则$a$的取值范围是（）.

A.$a≥ -2$
B.$a＜3$
C.$-2≤ a＜3$
D.$-2≤ a≤3$

典例4 答案D

典例5 如图，利用墙（墙足够长）和篱笆（图中虚线部分）围成一矩形ABCD.已知篱笆的长度为16 m.
（1）当所围成的矩形ABCD的面积是60 m²时，求矩形的长.
（2）当矩形的长是多少时，矩形的面积S最大？最大面积是多少？

典例5 解（1）设矩形的长为 $ x \, \mathrm{m} $，则宽为 $ (16 - x) \, \mathrm{m} $，
由题意，得 $ x(16 - x) = 60 $，
解得 $ x_1 = 6, x_2 = 10 $，
$\therefore 16 - x = 10$，或 $ 16 - x = 6 $。
$\because 6 ＜ 10$，
$\therefore$ 矩形的长为 $ 10 \, \mathrm{m} $。
（2）根据题意，得 $ S = x(16 - x) = -x^2 + 16x = -(x - 8)^2 + 64 $，
$\therefore$ 当 $ x = 8 $ 时，$ S $ 有最大值，最大值为 64。
因此，当矩形的长是 $ 8 \, \mathrm{m} $ 时，矩形的面积 $ S $ 最大，最大面积是 $ 64 \, \mathrm{m}^2 $。