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13.篮球运动员甲和乙投3分球命中的概率分别为70％和50％.本场比赛中，甲投3分球5次，只命中1次；乙投3分球3次，全部命中.现在全场比赛即将结束，但球队还落后对手2分，还剩最后1次进攻机会，若你是教练，这最后一个3分球由谁来投？请简要说明理由.
答案
13. 理由一:本场比赛中,乙每投必中是明的,对方必重点防守,甲平时命中率比乙高且有隐蔽性,因此最后一个3分球应由甲来投.
理由二:本场比赛中,甲5投1中,乙3投3中,因此乙的竞技状态比甲好、命中率高,由乙来投最后一个3分球更有把握.
理由二:本场比赛中,甲5投1中,乙3投3中,因此乙的竞技状态比甲好、命中率高,由乙来投最后一个3分球更有把握.
解析
【分析】
这是一道结合概率实际应用的开放性题目，解题时首先要明确概率的核心意义：概率反映的是大量重复试验下事件发生的可能性大小，但单次试验结果具有随机性，做决策时还要结合实际比赛的战术、运动员即时状态等因素综合考虑。可以从两个合理方向思考：一是从运动员长期稳定的命中率出发，结合防守战术选择投手；二是从本场运动员的即时竞技状态出发选择投手，两种选择只要理由充分均正确。
【解析】
本题有两种合理选择：
1. 选择甲投最后一个3分球：甲平时三分球命中概率为70%，高于乙的50%，说明甲的三分球整体实力更强；同时本场乙3投全中，一定会被对手重点防守，而甲本场命中次数少，对手对他的防守关注度更低，甲获得优质出手机会的可能性更大，因此选甲更合适。
2. 选择乙投最后一个3分球：本场比赛中乙的竞技状态明显更好，3次出手全部命中，当前手感火热，而甲本场5次出手仅命中1次，状态不佳，因此选乙投命中的可能性更高。
【答案】
理由一:本场比赛中,乙每投必中是明的,对方必重点防守,甲平时命中率比乙高且有隐蔽性,因此最后一个3分球应由甲来投。
理由二:本场比赛中,甲5投1中,乙3投3中,因此乙的竞技状态比甲好、命中率高,由乙来投最后一个3分球更有把握。
【知识点】
1. 概率的意义
2. 可能性大小判断
【点评】
本题是开放性的概率应用类问题，答案不唯一，既考查对概率本质含义的理解，也要求结合实际场景综合分析，能够引导学生学会将数学知识灵活运用到实际生活的决策中。
【难度系数】
0.8
这是一道结合概率实际应用的开放性题目，解题时首先要明确概率的核心意义：概率反映的是大量重复试验下事件发生的可能性大小，但单次试验结果具有随机性，做决策时还要结合实际比赛的战术、运动员即时状态等因素综合考虑。可以从两个合理方向思考：一是从运动员长期稳定的命中率出发，结合防守战术选择投手；二是从本场运动员的即时竞技状态出发选择投手，两种选择只要理由充分均正确。
【解析】
本题有两种合理选择：
1. 选择甲投最后一个3分球：甲平时三分球命中概率为70%，高于乙的50%，说明甲的三分球整体实力更强；同时本场乙3投全中，一定会被对手重点防守，而甲本场命中次数少，对手对他的防守关注度更低，甲获得优质出手机会的可能性更大，因此选甲更合适。
2. 选择乙投最后一个3分球：本场比赛中乙的竞技状态明显更好，3次出手全部命中，当前手感火热，而甲本场5次出手仅命中1次，状态不佳，因此选乙投命中的可能性更高。
【答案】
理由一:本场比赛中,乙每投必中是明的,对方必重点防守,甲平时命中率比乙高且有隐蔽性,因此最后一个3分球应由甲来投。
理由二:本场比赛中,甲5投1中,乙3投3中,因此乙的竞技状态比甲好、命中率高,由乙来投最后一个3分球更有把握。
【知识点】
1. 概率的意义
2. 可能性大小判断
【点评】
本题是开放性的概率应用类问题，答案不唯一，既考查对概率本质含义的理解，也要求结合实际场景综合分析，能够引导学生学会将数学知识灵活运用到实际生活的决策中。
【难度系数】
0.8
14.掷两枚硬币,规定落地后,国徽朝上为“正”,国徽朝下为“反”.问可能有哪些情况发生,分别求出每种情况发生的概率.
小涵的做法——用频率估计概率:
借助经验,又通过自己的试验验证,估计“两正”发生的概率为$\frac{1}{4}$,"一正一反"发生的概率为$\frac{1}{2}$,"两反"发生的概率为$\frac{1}{4}$.
小刚的做法——用分析法预测概率:
小刚认为,掷两枚硬币可能出现的情况有“两正”“一正一反”“两反”三种机会均等的结果,因此各种情况发生的概率均为$\frac{1}{3}$.
小敏的做法——借助表格,把各种可能出现的情况一一列举出来:
由表得出,共有四种机会均等的结果,若把“正反”和“反正”视为一种情况“一正一反”,则“正正”“反反”各出现一次,概率均为$\frac{1}{4}$,"一正一反"出现两次,概率为$\frac{1}{2}$.
(1)以上三种做法,你同意哪种?试说明你的理由.
(2)用分析的方法预测概率时,要注意的问题是什么?
小涵的做法——用频率估计概率:
借助经验,又通过自己的试验验证,估计“两正”发生的概率为$\frac{1}{4}$,"一正一反"发生的概率为$\frac{1}{2}$,"两反"发生的概率为$\frac{1}{4}$.
小刚的做法——用分析法预测概率:
小刚认为,掷两枚硬币可能出现的情况有“两正”“一正一反”“两反”三种机会均等的结果,因此各种情况发生的概率均为$\frac{1}{3}$.
小敏的做法——借助表格,把各种可能出现的情况一一列举出来:
由表得出,共有四种机会均等的结果,若把“正反”和“反正”视为一种情况“一正一反”,则“正正”“反反”各出现一次,概率均为$\frac{1}{4}$,"一正一反"出现两次,概率为$\frac{1}{2}$.
(1)以上三种做法,你同意哪种?试说明你的理由.
(2)用分析的方法预测概率时,要注意的问题是什么?
答案
14. (1) 小涵和小敏的做法正确;理由(见教科书).
(2) 等可能的结果是否列全,是否有重复.
(2) 等可能的结果是否列全,是否有重复.
解析
【分析】
本题围绕概率的计算与方法判断展开，解题思路清晰：
(1) 判断三人做法正误的核心是明确掷两枚硬币的所有等可能结果：两枚硬币结果相互独立，实际有“正正”“正反”“反正”“反反”4种等可能结果。以此为依据：小刚错把“正反”“反正”两种不同的等可能结果合并为1种，误判为3种等可能结果，因此错误；小涵用频率估计概率，试验次数足够时频率会稳定在概率附近，方法正确；小敏用列表法完整列举所有等可能结果计算概率，方法正确。
(2) 分析法预测概率的关键是保证结果的等可能性，列举时既不能重复也不能遗漏，否则会导致概率计算错误。
【解析】
(1) 掷两枚硬币共有4种等可能的结果：
① 小刚未区分“第一枚正、第二枚反”和“第一枚反、第二枚正”两种不同情况，错误认为只有3种等可能结果，因此做法错误；
② 小涵通过试验用频率估计概率，符合概率的统计规律，当试验次数足够多时频率趋近于理论概率，做法正确；
③ 小敏通过列表法完整列举出所有4种等可能结果，再根据事件包含的结果数计算概率，符合等可能事件概率的计算规则，做法正确。
因此同意小涵和小敏的做法。
(2) 用分析的方法预测概率时，首先要确保列举的所有结果都是等可能发生的，其次要完整列举所有等可能结果，不能重复计数也不能遗漏。
【答案】
(1) 小涵和小敏的做法正确;理由(见教科书).
(2) 等可能的结果是否列全,是否有重复.
【知识点】
等可能事件概率，频率估计概率，列表法求概率
【点评】
本题考查概率计算的基础逻辑，易错点是列举等可能结果时出现重复或遗漏，需要掌握列举法求概率的要求，理解频率与概率的关系，正确区分不同的等可能事件。
【难度系数】
0.7
本题围绕概率的计算与方法判断展开，解题思路清晰：
(1) 判断三人做法正误的核心是明确掷两枚硬币的所有等可能结果：两枚硬币结果相互独立，实际有“正正”“正反”“反正”“反反”4种等可能结果。以此为依据：小刚错把“正反”“反正”两种不同的等可能结果合并为1种，误判为3种等可能结果，因此错误；小涵用频率估计概率，试验次数足够时频率会稳定在概率附近，方法正确；小敏用列表法完整列举所有等可能结果计算概率，方法正确。
(2) 分析法预测概率的关键是保证结果的等可能性，列举时既不能重复也不能遗漏，否则会导致概率计算错误。
【解析】
(1) 掷两枚硬币共有4种等可能的结果：
① 小刚未区分“第一枚正、第二枚反”和“第一枚反、第二枚正”两种不同情况，错误认为只有3种等可能结果，因此做法错误；
② 小涵通过试验用频率估计概率，符合概率的统计规律，当试验次数足够多时频率趋近于理论概率，做法正确；
③ 小敏通过列表法完整列举出所有4种等可能结果，再根据事件包含的结果数计算概率，符合等可能事件概率的计算规则，做法正确。
因此同意小涵和小敏的做法。
(2) 用分析的方法预测概率时，首先要确保列举的所有结果都是等可能发生的，其次要完整列举所有等可能结果，不能重复计数也不能遗漏。
【答案】
(1) 小涵和小敏的做法正确;理由(见教科书).
(2) 等可能的结果是否列全,是否有重复.
【知识点】
等可能事件概率，频率估计概率，列表法求概率
【点评】
本题考查概率计算的基础逻辑，易错点是列举等可能结果时出现重复或遗漏，需要掌握列举法求概率的要求，理解频率与概率的关系，正确区分不同的等可能事件。
【难度系数】
0.7
