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1.某班有50名学生，数学期末成绩在90～100分的人数为15名，则这一分数段的频率为
0.3
，从该班随意选一名学生，分数在90～100分的概率是0.3
。答案
1. 0.3，0.3。
解析
【分析】
解这道题可分两步思考：第一步先回忆频率的计算公式，频率是频数与总样本数的比值，首先找到题目中90~100分的频数是15，班级总人数是总样本数50，代入公式就能算出频率；第二步明确频率和概率的关系，在等可能试验中，当样本为总体时，频率可以直接作为对应事件发生的概率，因此第二个空的结果和频率一致。
【解析】
1. 计算频率：根据频率的计算公式$频率=\frac{频数}{总样本数}$，已知90~100分的频数为15，班级总人数为50，代入得：
$频率=\frac{15}{50}=0.3$
2. 计算概率：从班级中任选一名学生属于等可能事件，每个学生被选中的概率相等，且本题中样本为全班所有学生，因此分数在90~100分的概率等于该分数段的频率，即概率为0.3。
【答案】
0.3，0.3
【知识点】
频率的计算；用频率估计概率；等可能事件概率计算
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查频率、概率的基础定义以及二者的关联，熟记相关公式就能快速解答，计算时注意避免除法运算失误即可。
【难度系数】
0.9
解这道题可分两步思考：第一步先回忆频率的计算公式，频率是频数与总样本数的比值，首先找到题目中90~100分的频数是15，班级总人数是总样本数50，代入公式就能算出频率；第二步明确频率和概率的关系，在等可能试验中，当样本为总体时，频率可以直接作为对应事件发生的概率，因此第二个空的结果和频率一致。
【解析】
1. 计算频率：根据频率的计算公式$频率=\frac{频数}{总样本数}$，已知90~100分的频数为15，班级总人数为50，代入得：
$频率=\frac{15}{50}=0.3$
2. 计算概率：从班级中任选一名学生属于等可能事件，每个学生被选中的概率相等，且本题中样本为全班所有学生，因此分数在90~100分的概率等于该分数段的频率，即概率为0.3。
【答案】
0.3，0.3
【知识点】
频率的计算；用频率估计概率；等可能事件概率计算
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查频率、概率的基础定义以及二者的关联，熟记相关公式就能快速解答，计算时注意避免除法运算失误即可。
【难度系数】
0.9
2.为了解某班学生的身体发育情况，对该班60名学生的身高进行了测量.经统计，身高在148.5cm～151.5cm之间的频数为3，则这一组的频率为
0.05
，从该班随意选一名学生，身高在148.5cm～151.5cm之间的概率是0.05
.答案
2. 0.05，0.05。
解析
【分析】
解题时首先回忆频率的计算公式：频率=频数÷数据总数，先代入已知的频数和总人数计算出该组的频率；再根据频率与概率的关系，当试验样本数量足够大时，某一事件发生的频率可以近似估计该事件发生的概率，因此直接用所得频率作为对应的概率即可。
【解析】
已知该班总共有60名学生，身高在148.5cm～151.5cm之间的频数为3：
1. 计算该组的频率：根据频率公式，频率 = 频数 ÷ 总人数 = $3÷60=0.05$；
2. 计算对应概率：由于样本数量充足，随机选取一名学生时，身高在该区间的概率可用该组的频率近似估计，因此概率为0.05。
【答案】
0.05，0.05
【知识点】
频率的计算；用频率估计概率
【点评】
本题属于基础题，主要考查频率的基本运算和频率与概率的关联，牢记频率计算公式、理解用频率估计概率的适用场景即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆频率的计算公式：频率=频数÷数据总数，先代入已知的频数和总人数计算出该组的频率；再根据频率与概率的关系，当试验样本数量足够大时，某一事件发生的频率可以近似估计该事件发生的概率，因此直接用所得频率作为对应的概率即可。
【解析】
已知该班总共有60名学生，身高在148.5cm～151.5cm之间的频数为3：
1. 计算该组的频率：根据频率公式，频率 = 频数 ÷ 总人数 = $3÷60=0.05$；
2. 计算对应概率：由于样本数量充足，随机选取一名学生时，身高在该区间的概率可用该组的频率近似估计，因此概率为0.05。
【答案】
0.05，0.05
【知识点】
频率的计算；用频率估计概率
【点评】
本题属于基础题，主要考查频率的基本运算和频率与概率的关联，牢记频率计算公式、理解用频率估计概率的适用场景即可快速解答。
【难度系数】
0.9
3.如图5-1-2所示的转盘,通过试验,估计指针停在阴影区域的概率是
$\frac{2}{3}$
. 答案
3. $\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
本题属于转盘类几何概率问题，解题思路如下：首先明确均匀转盘的指针停在某区域的概率等于该区域面积占转盘总面积的比例；对于圆形转盘，各区域面积比等于对应圆心角的度数比，因此我们只需先求出阴影区域的总圆心角，再用阴影区域圆心角除以整个圆的周角（360°），即可得到指针停在阴影区域的概率。
【解析】
首先，整个圆的圆心角为周角360°，已知空白区域的圆心角为120°，因此阴影区域的总圆心角为：
$360° - 120° = 240°$
指针停在阴影区域的概率等于阴影区域圆心角与周角的比值，即：
$P(\mathrm{指针停在阴影区域})=\frac{240°}{360°}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
几何概率；概率计算
【点评】
本题是几何概率的基础应用题型，解题关键是理解转盘类问题中概率和对应区域圆心角占比的关系，计算量小，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
本题属于转盘类几何概率问题，解题思路如下：首先明确均匀转盘的指针停在某区域的概率等于该区域面积占转盘总面积的比例；对于圆形转盘，各区域面积比等于对应圆心角的度数比，因此我们只需先求出阴影区域的总圆心角，再用阴影区域圆心角除以整个圆的周角（360°），即可得到指针停在阴影区域的概率。
【解析】
首先，整个圆的圆心角为周角360°，已知空白区域的圆心角为120°，因此阴影区域的总圆心角为：
$360° - 120° = 240°$
指针停在阴影区域的概率等于阴影区域圆心角与周角的比值，即：
$P(\mathrm{指针停在阴影区域})=\frac{240°}{360°}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
几何概率；概率计算
【点评】
本题是几何概率的基础应用题型，解题关键是理解转盘类问题中概率和对应区域圆心角占比的关系，计算量小，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
4.下列四个试验中,概率分别为$P_1,P_2,P_3,P_4$,其大小关系是
① 抛掷两枚质地均匀的硬币,出现两个正面的概率为$P_1$;
② 九张相同的卡片分别写有数字$-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4$,任意抽取一张,数字的绝对值大于2的概率是$P_2$;
③ 把$2,-1$两个数分别任意作为$k$和$b$,那么能够使直线$y = kx + b$不经过第三象限的概率为$P_3$;
④ 如图5-1-3,菱形内接于正六边形,那么在正六边形内任意点一个点,恰好落在菱形外的概率为$P_4$.
$P_3 ＞ P_2 ＞ P_4 ＞ P_1$
.① 抛掷两枚质地均匀的硬币,出现两个正面的概率为$P_1$;
② 九张相同的卡片分别写有数字$-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4$,任意抽取一张,数字的绝对值大于2的概率是$P_2$;
③ 把$2,-1$两个数分别任意作为$k$和$b$,那么能够使直线$y = kx + b$不经过第三象限的概率为$P_3$;
④ 如图5-1-3,菱形内接于正六边形,那么在正六边形内任意点一个点,恰好落在菱形外的概率为$P_4$.
答案
4. $P_3 ＞ P_2 ＞ P_4 ＞ P_1$。
解析
【分析】
要比较四个概率的大小，只需分别计算出每个试验对应的概率值，再比较数值大小即可：首先分别计算古典概型的$P_1$、$P_2$、$P_3$，再计算几何概型的$P_4$，最后对四个概率排序。
1. 计算$P_1$：先列出抛掷两枚硬币的所有等可能结果，找出出现两个正面的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数得到$P_1$；
2. 计算$P_2$：找出绝对值大于2的数字个数，除以卡片总张数得到$P_2$；
3. 计算$P_3$：先列出$k$、$b$的所有等可能组合，再根据一次函数图象性质找出直线不经过第三象限的组合数，计算得到$P_3$；
4. 计算$P_4$：将正六边形拆分为面积相等的正三角形，分别计算菱形外的面积和正六边形总面积，比值即为$P_4$。
【解析】
1. 计算$P_1$：抛掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能的结果为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种，其中出现两个正面的结果有1种，故$P_1=\frac{1}{4}=0.25$。
2. 计算$P_2$：9张卡片中，数字的绝对值大于2的有$-4$、$-3$、$3$、$4$，共4个，任意抽取1张的所有等可能结果共9种，故$P_2=\frac{4}{9}\approx0.444$。
3. 计算$P_3$：把2、-1分别作为$k$和$b$，所有等可能的组合为：$\begin{cases}k=2\\b=-1\end{cases}$、$\begin{cases}k=-1\\b=2\end{cases}$，共2种。
一次函数$y=kx+b$不经过第三象限的条件是$k＜0$且$b＞0$，只有$\begin{cases}k=-1\\b=2\end{cases}$符合条件，故$P_3=\frac{1}{2}=0.5$。
4. 计算$P_4$：将正六边形分割为6个面积相等的正三角形，观察图形可知菱形占4个正三角形的面积，因此菱形外的面积占2个正三角形的面积，故$P_4=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx0.333$。
比较四个概率的大小：$0.5＞\frac{4}{9}＞\frac{1}{3}＞0.25$，即$P_3＞P_2＞P_4＞P_1$。
【答案】
$P_3 ＞ P_2 ＞ P_4 ＞ P_1$
【知识点】
概率的计算；一次函数的图象性质；几何概率
【点评】
本题综合考查了古典概率和几何概率的计算，需要熟练掌握概率的求解方法，同时结合一次函数、正六边形的相关性质进行计算，考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要比较四个概率的大小，只需分别计算出每个试验对应的概率值，再比较数值大小即可：首先分别计算古典概型的$P_1$、$P_2$、$P_3$，再计算几何概型的$P_4$，最后对四个概率排序。
1. 计算$P_1$：先列出抛掷两枚硬币的所有等可能结果，找出出现两个正面的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数得到$P_1$；
2. 计算$P_2$：找出绝对值大于2的数字个数，除以卡片总张数得到$P_2$；
3. 计算$P_3$：先列出$k$、$b$的所有等可能组合，再根据一次函数图象性质找出直线不经过第三象限的组合数，计算得到$P_3$；
4. 计算$P_4$：将正六边形拆分为面积相等的正三角形，分别计算菱形外的面积和正六边形总面积，比值即为$P_4$。
【解析】
1. 计算$P_1$：抛掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能的结果为：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种，其中出现两个正面的结果有1种，故$P_1=\frac{1}{4}=0.25$。
2. 计算$P_2$：9张卡片中，数字的绝对值大于2的有$-4$、$-3$、$3$、$4$，共4个，任意抽取1张的所有等可能结果共9种，故$P_2=\frac{4}{9}\approx0.444$。
3. 计算$P_3$：把2、-1分别作为$k$和$b$，所有等可能的组合为：$\begin{cases}k=2\\b=-1\end{cases}$、$\begin{cases}k=-1\\b=2\end{cases}$，共2种。
一次函数$y=kx+b$不经过第三象限的条件是$k＜0$且$b＞0$，只有$\begin{cases}k=-1\\b=2\end{cases}$符合条件，故$P_3=\frac{1}{2}=0.5$。
4. 计算$P_4$：将正六边形分割为6个面积相等的正三角形，观察图形可知菱形占4个正三角形的面积，因此菱形外的面积占2个正三角形的面积，故$P_4=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx0.333$。
比较四个概率的大小：$0.5＞\frac{4}{9}＞\frac{1}{3}＞0.25$，即$P_3＞P_2＞P_4＞P_1$。
【答案】
$P_3 ＞ P_2 ＞ P_4 ＞ P_1$
【知识点】
概率的计算；一次函数的图象性质；几何概率
【点评】
本题综合考查了古典概率和几何概率的计算，需要熟练掌握概率的求解方法，同时结合一次函数、正六边形的相关性质进行计算，考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
5.六一儿童节期间，小洁的妈妈经营的玩具店购进了一纸箱除颜色外其他都相同的散装塑料球，共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出1个球记下颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出1个球记下颜色，把它放回纸箱中……多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，由此估计纸箱内红球大约有
200
个.答案
5. 200。
解析
【分析】
本题是利用频率估计概率的实际应用问题，解题思路如下：首先明确大量重复试验时，某一事件发生的频率会逐渐稳定在对应的概率附近，因此可以用摸到红球的稳定频率0.2作为红球出现的概率；再结合总球数，用总球数乘以红球的概率即可估算出红球的总个数。
【解析】
∵ 大量重复摸球试验后，摸到红球的频率逐渐稳定在0.2
∴ 可估计摸到红球的概率为0.2
∵ 纸箱内总共有1000个球
∴ 纸箱内红球的个数大约为 $1000 × 0.2 = 200$（个）
【答案】
200
【知识点】
频率估计概率、概率计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是理解大量重复试验中频率与概率的关系，能将稳定频率作为概率的估计值进行相关计算。
【难度系数】
0.8
本题是利用频率估计概率的实际应用问题，解题思路如下：首先明确大量重复试验时，某一事件发生的频率会逐渐稳定在对应的概率附近，因此可以用摸到红球的稳定频率0.2作为红球出现的概率；再结合总球数，用总球数乘以红球的概率即可估算出红球的总个数。
【解析】
∵ 大量重复摸球试验后，摸到红球的频率逐渐稳定在0.2
∴ 可估计摸到红球的概率为0.2
∵ 纸箱内总共有1000个球
∴ 纸箱内红球的个数大约为 $1000 × 0.2 = 200$（个）
【答案】
200
【知识点】
频率估计概率、概率计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是理解大量重复试验中频率与概率的关系，能将稳定频率作为概率的估计值进行相关计算。
【难度系数】
0.8
6.在一个暗箱内放有a个除颜色外其余完全相同的小球，其中红球只有3个且摸到红球的概率为15%，则a的值是……【 】
A.20
B.15
C.12
D.9
A.20
B.15
C.12
D.9
答案
A。
解析
【分析】
本题考查概率公式的基础应用，解题思路可分三步梳理：第一步，回忆简单随机事件的概率计算公式：某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷所有可能的情况总数；第二步，对应本题条件，摸到红球的对应情况数是红球个数3，所有可能的情况数是球的总个数a，已知摸到红球的概率为15%，将已知量代入公式即可得到关于a的方程；第三步，解方程求出a的值，匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：根据概率计算公式，摸到红球的概率 = 红球个数 ÷ 球的总个数，结合题意列方程：
$\frac{3}{a}=15\%$
将15%换算为小数0.15，可得：
$\frac{3}{a}=0.15$
解方程得：$a=3÷0.15=20$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
概率公式应用；一元一次方程求解
【点评】
本题属于概率基础题型，核心考查对概率计算公式的理解与简单应用，解题关键是明确概率计算中各量对应的实际意义，准确代入计算即可得分，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
本题考查概率公式的基础应用，解题思路可分三步梳理：第一步，回忆简单随机事件的概率计算公式：某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷所有可能的情况总数；第二步，对应本题条件，摸到红球的对应情况数是红球个数3，所有可能的情况数是球的总个数a，已知摸到红球的概率为15%，将已知量代入公式即可得到关于a的方程；第三步，解方程求出a的值，匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：根据概率计算公式，摸到红球的概率 = 红球个数 ÷ 球的总个数，结合题意列方程：
$\frac{3}{a}=15\%$
将15%换算为小数0.15，可得：
$\frac{3}{a}=0.15$
解方程得：$a=3÷0.15=20$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
概率公式应用；一元一次方程求解
【点评】
本题属于概率基础题型，核心考查对概率计算公式的理解与简单应用，解题关键是明确概率计算中各量对应的实际意义，准确代入计算即可得分，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
7.某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图5-1-4所示的折线图，则符合这一结
图5-1-4
A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B.一副无大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取1个球是黄球
D.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是4
图5-1-4
A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B.一副无大、小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取1个球是黄球
D.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是4
答案
D。
解析
【分析】
本题可根据“大量重复试验时，频率会稳定在概率附近”的规律求解：首先观察折线图，确定频率稳定的数值范围，再分别计算四个选项对应事件的概率，找出概率与频率稳定值一致的选项即可。
【解析】
观察折线统计图可知，随着试验次数增加，该事件出现的频率逐渐稳定在0.16~0.17附近，即该事件的概率约为$\frac{1}{6}$。
分别计算各选项事件的概率：
A. “石头、剪刀、布”游戏中小明随机出“剪刀”的概率为$\frac{1}{3}\approx0.33$，不符合；
B. 无大小王的扑克牌共52张，其中红桃有13张，任抽一张是红桃的概率为$\frac{13}{52}=\frac{1}{4}=0.25$，不符合；
C. 暗箱中共有3个球，其中2个黄球，任取一个是黄球的概率为$\frac{2}{3}\approx0.67$，不符合；
D. 掷质地均匀的正六面体骰子，向上点数是4的概率为$\frac{1}{6}\approx0.167$，与频率稳定值一致，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
用频率估计概率，简单事件概率计算，频率的稳定性
【点评】
本题属于基础题，核心考查频率与概率的关系，解题时要明确：大量重复试验中，频率的稳定值就是事件发生的概率，再结合简单的概率计算就能快速得到答案。
【难度系数】
0.7
本题可根据“大量重复试验时，频率会稳定在概率附近”的规律求解：首先观察折线图，确定频率稳定的数值范围，再分别计算四个选项对应事件的概率，找出概率与频率稳定值一致的选项即可。
【解析】
观察折线统计图可知，随着试验次数增加，该事件出现的频率逐渐稳定在0.16~0.17附近，即该事件的概率约为$\frac{1}{6}$。
分别计算各选项事件的概率：
A. “石头、剪刀、布”游戏中小明随机出“剪刀”的概率为$\frac{1}{3}\approx0.33$，不符合；
B. 无大小王的扑克牌共52张，其中红桃有13张，任抽一张是红桃的概率为$\frac{13}{52}=\frac{1}{4}=0.25$，不符合；
C. 暗箱中共有3个球，其中2个黄球，任取一个是黄球的概率为$\frac{2}{3}\approx0.67$，不符合；
D. 掷质地均匀的正六面体骰子，向上点数是4的概率为$\frac{1}{6}\approx0.167$，与频率稳定值一致，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
用频率估计概率，简单事件概率计算，频率的稳定性
【点评】
本题属于基础题，核心考查频率与概率的关系，解题时要明确：大量重复试验中，频率的稳定值就是事件发生的概率，再结合简单的概率计算就能快速得到答案。
【难度系数】
0.7
