4. 已知：如图，在$△ ABC$中，$D$是$AB$上一点，且$AD = 1$，$AB = 3$，$AC = \sqrt{3}$.求证：$△ ACD ∽ △ ABC$.

证明：
∵AD=1，AB=3，AC=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$。
又
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC。

5. 如图，在$4×4$的正方形网格图中，$△ ABC$和$△ DEF$的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
(1)$∠ ABC=$，$BC=$.
(2)判断$△ ABC$与$△ DEF$是否相似，并证明你的结论.

5. (1) $135°$，$2\sqrt{2}$
(2) △ABC∽△DEF。
证明：
∵在4×4的正方形网格图中，
∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°，
∴∠ABC=∠DEF。
∵AB=2，BC=$2\sqrt{2}$，EF=2，DE=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$。
∴△ABC∽△DEF。

6. 已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且$BP=3PC$，Q为CD的中点. 求证：$△ PCQ ∽ △ QDA$.

证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AD=DC。
又
∵BP=3PC，Q为CD的中点，
∴$\frac{PC}{DQ}=\frac{CQ}{AD}=\frac{1}{2}$。
又
∵∠QCP=∠ADQ=90°，
∴△PCQ∽△QDA。

7. 如图，$∠ C = 90°$，$BC = 8\ \mathrm{cm}$，$AC:AB=3:5$，点P从点B出发，沿BC向点C以2 cm/s的速度移动，点Q从点C出发，沿CA向点A以1 cm/s的速度移动。若点P，Q分别从点B，C同时出发，则经过多少秒，以C，P，Q为顶点的三角形恰好与$△ ABC$相似？

7. 解：
∵∠C=90°，BC=8 cm，AC:AB=3:5，
∴设AC=3x cm，AB=5x cm，
则BC=$\sqrt{AB^2-AC^2}$=4x(cm)，
即4x=8。
解得x=2。
∴AC=6 cm，AB=10 cm。
设经过t s，以C，P，Q为顶点的三角形恰好与△ABC相似，
则BP=2t cm，CP=BC-BP=(8-2t) cm，CQ=t cm。
∵∠C是公共角，
∴当$\frac{CP}{CB}=\frac{CQ}{CA}$，即$\frac{8-2t}{8}=\frac{t}{6}$时，
△CPQ∽△CBA。
此时，解得t=2.4。
当$\frac{CP}{CA}=\frac{CQ}{CB}$，即$\frac{8-2t}{6}=\frac{t}{8}$时，
△CPQ∽△CAB，
此时，解得$t=\frac{32}{11}$。
综上所述，经过2.4 s或$\frac{32}{11}$ s时，以C，P，Q为顶点的三角形恰好与△ABC相似。