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15.如图，一次函数$y=kx-3$的图象与$x$轴、$y$轴交于$A$，$B$两点，与反比例函数$y=\dfrac{12}{x}$图象交于点$C$，且$AB=AC$，则$k$的值为.
答案
$\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先求出一次函数与y轴交点B的坐标，以及与x轴交点A的坐标表达式；2. 由AB=AC可推出A是线段BC的中点，利用中点坐标的性质求出点C的纵坐标；3. 结合点C在反比例函数图象上，代入纵坐标求出C点的横坐标，得到C点完整坐标；4. 最后将C点坐标代入一次函数解析式，解方程即可求出k的值。
【解析】
1. 求点B坐标：
对于一次函数$y=kx-3$，令$x=0$，得$y=-3$，因此$B(0,-3)$。
2. 求点A坐标：
一次函数与x轴交于A点，令$y=0$，得$kx-3=0$，解得$x=\frac{3}{k}$，因此$A(\frac{3}{k},0)$。
3. 利用中点性质求C点纵坐标：
由$AB=AC$可知A是线段BC的中点，设$C(x,y)$，根据中点坐标公式，纵坐标满足$\frac{-3+y}{2}=0$，解得$y=3$。
4. 求C点坐标：
点C在反比例函数$y=\frac{12}{x}$上，将$y=3$代入得$3=\frac{12}{x}$，解得$x=4$，因此$C(4,3)$。
5. 求k的值：
将$C(4,3)$代入一次函数$y=kx-3$，得$3=4k-3$，解得$4k=6$，即$k=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一次函数与反比例函数综合；中点坐标公式；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于函数综合基础题，核心是通过线段相等关系转化为中点性质，快速定位点C的坐标特征，再结合函数解析式的性质求解，对学生的数形结合能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：1. 先求出一次函数与y轴交点B的坐标，以及与x轴交点A的坐标表达式；2. 由AB=AC可推出A是线段BC的中点，利用中点坐标的性质求出点C的纵坐标；3. 结合点C在反比例函数图象上，代入纵坐标求出C点的横坐标，得到C点完整坐标；4. 最后将C点坐标代入一次函数解析式，解方程即可求出k的值。
【解析】
1. 求点B坐标：
对于一次函数$y=kx-3$，令$x=0$，得$y=-3$，因此$B(0,-3)$。
2. 求点A坐标：
一次函数与x轴交于A点，令$y=0$，得$kx-3=0$，解得$x=\frac{3}{k}$，因此$A(\frac{3}{k},0)$。
3. 利用中点性质求C点纵坐标：
由$AB=AC$可知A是线段BC的中点，设$C(x,y)$，根据中点坐标公式，纵坐标满足$\frac{-3+y}{2}=0$，解得$y=3$。
4. 求C点坐标：
点C在反比例函数$y=\frac{12}{x}$上，将$y=3$代入得$3=\frac{12}{x}$，解得$x=4$，因此$C(4,3)$。
5. 求k的值：
将$C(4,3)$代入一次函数$y=kx-3$，得$3=4k-3$，解得$4k=6$，即$k=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一次函数与反比例函数综合；中点坐标公式；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于函数综合基础题，核心是通过线段相等关系转化为中点性质，快速定位点C的坐标特征，再结合函数解析式的性质求解，对学生的数形结合能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
三、解答题(共9小题,共75分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16. (6分)已知函数$y=(m^2+2m-3)x^{|m|-2}$.
(1)若它是正比例函数,求$m$的值;
(2)若它是反比例函数,求$m$的值.
16. (6分)已知函数$y=(m^2+2m-3)x^{|m|-2}$.
(1)若它是正比例函数,求$m$的值;
(2)若它是反比例函数,求$m$的值.
答案
解：
(1) 若函数$y=(m^2+2m-3)x^{|m|-2}$是正比例函数，根据正比例函数的定义，需满足：
$\begin{cases}|m|-2=1 \\m^2+2m-3 ≠ 0\end{cases}$
由$|m|-2=1$，解得$m=3$或$m=-3$。
当$m=-3$时，$m^2+2m-3=9-6-3=0$，不符合系数不为0的条件，舍去；
当$m=3$时，$m^2+2m-3=9+6-3=12 ≠ 0$，符合要求。
因此$m=3$。
(2) 若函数$y=(m^2+2m-3)x^{|m|-2}$是反比例函数，根据反比例函数的定义，需满足：
$\begin{cases}|m|-2=-1 \\m^2+2m-3 ≠ 0\end{cases}$
由$|m|-2=-1$，解得$m=1$或$m=-1$。
当$m=1$时，$m^2+2m-3=1+2-3=0$，不符合系数不为0的条件，舍去；
当$m=-1$时，$m^2+2m-3=1-2-3=-4 ≠ 0$，符合要求。
因此$m=-1$。
(1) 若函数$y=(m^2+2m-3)x^{|m|-2}$是正比例函数，根据正比例函数的定义，需满足：
$\begin{cases}|m|-2=1 \\m^2+2m-3 ≠ 0\end{cases}$
由$|m|-2=1$，解得$m=3$或$m=-3$。
当$m=-3$时，$m^2+2m-3=9-6-3=0$，不符合系数不为0的条件，舍去；
当$m=3$时，$m^2+2m-3=9+6-3=12 ≠ 0$，符合要求。
因此$m=3$。
(2) 若函数$y=(m^2+2m-3)x^{|m|-2}$是反比例函数，根据反比例函数的定义，需满足：
$\begin{cases}|m|-2=-1 \\m^2+2m-3 ≠ 0\end{cases}$
由$|m|-2=-1$，解得$m=1$或$m=-1$。
当$m=1$时，$m^2+2m-3=1+2-3=0$，不符合系数不为0的条件，舍去；
当$m=-1$时，$m^2+2m-3=1-2-3=-4 ≠ 0$，符合要求。
因此$m=-1$。
解析
【分析】
本题需结合正比例函数、反比例函数的定义求解参数m。解题思路分为两步：第一步，根据对应函数类型对自变量次数的要求，列绝对值方程求出m的所有可能取值；第二步，结合函数定义中比例系数不能为0的要求，将求出的m值代入系数检验，舍去使系数为0的取值，即可得到最终结果。
【解析】
(1) 若函数$y=(m^2+2m-3)x^{|m|-2}$是正比例函数，根据正比例函数的定义，需满足：
$\begin{cases}|m|-2=1 \\m^2+2m-3 ≠ 0\end{cases}$
由$|m|-2=1$，解得$m=3$或$m=-3$。
当$m=-3$时，$m^2+2m-3=9-6-3=0$，不符合系数不为0的条件，舍去；
当$m=3$时，$m^2+2m-3=9+6-3=12 ≠ 0$，符合要求。
因此$m=3$。
(2) 若函数$y=(m^2+2m-3)x^{|m|-2}$是反比例函数，根据反比例函数的定义，需满足：
$\begin{cases}|m|-2=-1 \\m^2+2m-3 ≠ 0\end{cases}$
由$|m|-2=-1$，解得$m=1$或$m=-1$。
当$m=1$时，$m^2+2m-3=1+2-3=0$，不符合系数不为0的条件，舍去；
当$m=-1$时，$m^2+2m-3=1-2-3=-4 ≠ 0$，符合要求。
因此$m=-1$。
【答案】
(1)$m=3$；(2)$m=-1$
【知识点】
正比例函数的定义、反比例函数的定义、绝对值方程求解
【点评】
本题是函数定义类基础题型，解题核心是牢记两类函数的两个限制条件：一是自变量的次数要求，二是比例系数不能为0。常见易错点是遗漏系数不为0的条件导致多解，求解后检验可有效避免错误。
【难度系数】
0.75
本题需结合正比例函数、反比例函数的定义求解参数m。解题思路分为两步：第一步，根据对应函数类型对自变量次数的要求，列绝对值方程求出m的所有可能取值；第二步，结合函数定义中比例系数不能为0的要求，将求出的m值代入系数检验，舍去使系数为0的取值，即可得到最终结果。
【解析】
(1) 若函数$y=(m^2+2m-3)x^{|m|-2}$是正比例函数，根据正比例函数的定义，需满足：
$\begin{cases}|m|-2=1 \\m^2+2m-3 ≠ 0\end{cases}$
由$|m|-2=1$，解得$m=3$或$m=-3$。
当$m=-3$时，$m^2+2m-3=9-6-3=0$，不符合系数不为0的条件，舍去；
当$m=3$时，$m^2+2m-3=9+6-3=12 ≠ 0$，符合要求。
因此$m=3$。
(2) 若函数$y=(m^2+2m-3)x^{|m|-2}$是反比例函数，根据反比例函数的定义，需满足：
$\begin{cases}|m|-2=-1 \\m^2+2m-3 ≠ 0\end{cases}$
由$|m|-2=-1$，解得$m=1$或$m=-1$。
当$m=1$时，$m^2+2m-3=1+2-3=0$，不符合系数不为0的条件，舍去；
当$m=-1$时，$m^2+2m-3=1-2-3=-4 ≠ 0$，符合要求。
因此$m=-1$。
【答案】
(1)$m=3$；(2)$m=-1$
【知识点】
正比例函数的定义、反比例函数的定义、绝对值方程求解
【点评】
本题是函数定义类基础题型，解题核心是牢记两类函数的两个限制条件：一是自变量的次数要求，二是比例系数不能为0。常见易错点是遗漏系数不为0的条件导致多解，求解后检验可有效避免错误。
【难度系数】
0.75
17.(8分)已知$y=-\dfrac{12}{x}$，下表给出了一些x与y的对应值：
(1)将表格补充完整；
(2)请画出该反比例函数的图象.
第17小题图
(1)将表格补充完整；
(2)请画出该反比例函数的图象.
第17小题图
答案
解：
(1) 对反比例函数$y=-\dfrac{12}{x}$，代入已知对应值计算空缺：
当$y=2$时，$x=\dfrac{-12}{2}=-6$；
当$x=-3$时，$y=\dfrac{-12}{-3}=4$；
当$x=2$时，$y=\dfrac{-12}{2}=-6$；
当$y=-3$时，$x=\dfrac{-12}{-3}=4$；
当$x=6$时，$y=\dfrac{-12}{6}=-2$。
补全表格空缺：
x行从左到右依次填：$\boldsymbol{-6}$，$\boldsymbol{4}$；
y行从左到右依次填：$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{-6}$，$\boldsymbol{-2}$。
(2) ① 在给定平面直角坐标系中描出点$(-6,2),(-3,4),(-2,6),(2,-6),(4,-3),(6,-2)$；
② 分别在第二象限、第四象限内，用平滑曲线顺次连接对应象限内的点，得到两支无限靠近坐标轴、但不与坐标轴相交的双曲线，即为该反比例函数的图象。
(1) 对反比例函数$y=-\dfrac{12}{x}$，代入已知对应值计算空缺：
当$y=2$时，$x=\dfrac{-12}{2}=-6$；
当$x=-3$时，$y=\dfrac{-12}{-3}=4$；
当$x=2$时，$y=\dfrac{-12}{2}=-6$；
当$y=-3$时，$x=\dfrac{-12}{-3}=4$；
当$x=6$时，$y=\dfrac{-12}{6}=-2$。
补全表格空缺：
x行从左到右依次填：$\boldsymbol{-6}$，$\boldsymbol{4}$；
y行从左到右依次填：$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{-6}$，$\boldsymbol{-2}$。
(2) ① 在给定平面直角坐标系中描出点$(-6,2),(-3,4),(-2,6),(2,-6),(4,-3),(6,-2)$；
② 分别在第二象限、第四象限内，用平滑曲线顺次连接对应象限内的点，得到两支无限靠近坐标轴、但不与坐标轴相交的双曲线，即为该反比例函数的图象。
解析
【分析】
解决本题分为两个部分：(1)补全表格：利用给出的反比例函数解析式$y=-\dfrac{12}{x}$，若已知x的值，直接代入解析式可算出对应的y值；若已知y的值，将解析式变形为$x=-\dfrac{12}{y}$，代入y值可算出对应的x值，依次计算所有空缺项即可补全表格。(2)画函数图象：采用初中通用的描点法作图，第一步先根据表格里的x、y对应值在坐标系中描出所有点；第二步结合反比例函数$k=-12＜0$的特征，其图象是位于第二、四象限的双曲线，分别在两个象限内用平滑曲线顺次连接各点，注意曲线不能与坐标轴相交，即可得到所求图象。
【解析】
(1) 把已知的x或y代入反比例函数$y=-\dfrac{12}{x}$计算：
当$y=2$时，$x=\dfrac{-12}{2}=-6$；
当$x=-3$时，$y=\dfrac{-12}{-3}=4$；
当$x=2$时，$y=\dfrac{-12}{2}=-6$；
当$y=-3$时，$x=\dfrac{-12}{-3}=4$；
当$x=6$时，$y=\dfrac{-12}{6}=-2$。
因此x行从左到右空缺依次填：$-6$，$4$；y行从左到右空缺依次填：$4$，$-6$，$-2$。
(2) 作图步骤：
① 在给定的平面直角坐标系中，描出点$(-6,2),(-3,4),(-2,6),(2,-6),(4,-3),(6,-2)$；
② 分别在第二象限、第四象限内，用平滑曲线顺次连接对应象限内的点，得到两支无限靠近坐标轴、但不与坐标轴相交的双曲线，即为$y=-\dfrac{12}{x}$的图象。
【答案】
(1) x行从左到右：$\boldsymbol{-6}$，$\boldsymbol{4}$；y行从左到右：$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{-6}$，$\boldsymbol{-2}$；
(2) 按照描点、连线的步骤画出位于第二、四象限的双曲线（图象特征符合要求即可）。
【知识点】
反比例函数求值；描点法作图；反比例函数图象特征
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，重点考察对反比例函数基本性质的掌握和基础作图能力，计算难度低，作图时注意遵循双曲线平滑、不与坐标轴相交的特征即可得分。
【难度系数】
0.8
解决本题分为两个部分：(1)补全表格：利用给出的反比例函数解析式$y=-\dfrac{12}{x}$，若已知x的值，直接代入解析式可算出对应的y值；若已知y的值，将解析式变形为$x=-\dfrac{12}{y}$，代入y值可算出对应的x值，依次计算所有空缺项即可补全表格。(2)画函数图象：采用初中通用的描点法作图，第一步先根据表格里的x、y对应值在坐标系中描出所有点；第二步结合反比例函数$k=-12＜0$的特征，其图象是位于第二、四象限的双曲线，分别在两个象限内用平滑曲线顺次连接各点，注意曲线不能与坐标轴相交，即可得到所求图象。
【解析】
(1) 把已知的x或y代入反比例函数$y=-\dfrac{12}{x}$计算：
当$y=2$时，$x=\dfrac{-12}{2}=-6$；
当$x=-3$时，$y=\dfrac{-12}{-3}=4$；
当$x=2$时，$y=\dfrac{-12}{2}=-6$；
当$y=-3$时，$x=\dfrac{-12}{-3}=4$；
当$x=6$时，$y=\dfrac{-12}{6}=-2$。
因此x行从左到右空缺依次填：$-6$，$4$；y行从左到右空缺依次填：$4$，$-6$，$-2$。
(2) 作图步骤：
① 在给定的平面直角坐标系中，描出点$(-6,2),(-3,4),(-2,6),(2,-6),(4,-3),(6,-2)$；
② 分别在第二象限、第四象限内，用平滑曲线顺次连接对应象限内的点，得到两支无限靠近坐标轴、但不与坐标轴相交的双曲线，即为$y=-\dfrac{12}{x}$的图象。
【答案】
(1) x行从左到右：$\boldsymbol{-6}$，$\boldsymbol{4}$；y行从左到右：$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{-6}$，$\boldsymbol{-2}$；
(2) 按照描点、连线的步骤画出位于第二、四象限的双曲线（图象特征符合要求即可）。
【知识点】
反比例函数求值；描点法作图；反比例函数图象特征
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，重点考察对反比例函数基本性质的掌握和基础作图能力，计算难度低，作图时注意遵循双曲线平滑、不与坐标轴相交的特征即可得分。
【难度系数】
0.8
18.(6分)如图，在平面直角坐标系中，点B,C为反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$图象上两点，延长CB与x轴相交于点A，且点B为AC中点，B点坐标是(2,1)。
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求点A的坐标。
第18小题图
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求点A的坐标。
第18小题图
答案
解：
(1) 将点$B(2,1)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得
$1=\frac{k}{2}$，
解得$k=2$，
因此反比例函数的解析式为$y=\frac{2}{x}(x＞0)$。
(2) 因为点$A$在$x$轴上，所以点$A$的纵坐标为$0$。
设点$C$的坐标为$(x_C,y_C)$，由点$B$是$AC$的中点，根据中点坐标关系得：
$\frac{y_C + 0}{2}=1$，解得$y_C=2$。
将$y=2$代入$y=\frac{2}{x}$，得$2=\frac{2}{x}$，解得$x=1$，
即点$C$的坐标为$(1,2)$。
设点$A$的坐标为$(a,0)$，同理根据中点横坐标关系得：
$\frac{a + 1}{2}=2$，解得$a=3$，
因此点$A$的坐标为$(3,0)$。
(1) 将点$B(2,1)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得
$1=\frac{k}{2}$，
解得$k=2$，
因此反比例函数的解析式为$y=\frac{2}{x}(x＞0)$。
(2) 因为点$A$在$x$轴上，所以点$A$的纵坐标为$0$。
设点$C$的坐标为$(x_C,y_C)$，由点$B$是$AC$的中点，根据中点坐标关系得：
$\frac{y_C + 0}{2}=1$，解得$y_C=2$。
将$y=2$代入$y=\frac{2}{x}$，得$2=\frac{2}{x}$，解得$x=1$，
即点$C$的坐标为$(1,2)$。
设点$A$的坐标为$(a,0)$，同理根据中点横坐标关系得：
$\frac{a + 1}{2}=2$，解得$a=3$，
因此点$A$的坐标为$(3,0)$。
解析
【分析】
(1) 求反比例函数解析式时，已知反比例函数图象过点B(2,1)，只需将点B坐标代入$y=\frac{k}{x}$，求出k的值即可得到解析式，是待定系数法求函数解析式的基础应用。
(2) 求点A坐标时，首先明确x轴上点的纵坐标为0；已知B是AC中点，可先通过中点的纵坐标关系求出点C的纵坐标，再结合点C在反比例函数图象上，代入解析式求出点C的完整坐标，最后利用中点的横坐标关系即可求出点A的横坐标，得到A点坐标。
【解析】
(1) 将点$B(2,1)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$1=\frac{k}{2}$
解得$k=2$
因此反比例函数的解析式为$y=\frac{2}{x}(x＞0)$。
(2)
∵点A在x轴上，
∴点A的纵坐标为0。
设点C的坐标为$(x_C,y_C)$，
∵点B是AC的中点，根据中点坐标的纵坐标关系：
$\frac{y_C + 0}{2}=1$，解得$y_C=2$。
∵点C在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，将$y=2$代入解析式得：
$2=\frac{2}{x}$，解得$x=1$，即点C的坐标为$(1,2)$。
设点A的坐标为$(a,0)$，根据中点坐标的横坐标关系：
$\frac{a + 1}{2}=2$，解得$a=3$。
因此点A的坐标为$(3,0)$。
【答案】
(1) $y=\frac{2}{x}(x＞0)$；(2) $(3,0)$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，中点坐标公式，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数基础常考题，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，以及灵活运用中点坐标公式建立已知点和未知点的坐标关联，整体计算量小，逻辑清晰，是函数部分的基础得分题型。
【难度系数】
0.8
(1) 求反比例函数解析式时，已知反比例函数图象过点B(2,1)，只需将点B坐标代入$y=\frac{k}{x}$，求出k的值即可得到解析式，是待定系数法求函数解析式的基础应用。
(2) 求点A坐标时，首先明确x轴上点的纵坐标为0；已知B是AC中点，可先通过中点的纵坐标关系求出点C的纵坐标，再结合点C在反比例函数图象上，代入解析式求出点C的完整坐标，最后利用中点的横坐标关系即可求出点A的横坐标，得到A点坐标。
【解析】
(1) 将点$B(2,1)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$1=\frac{k}{2}$
解得$k=2$
因此反比例函数的解析式为$y=\frac{2}{x}(x＞0)$。
(2)
∵点A在x轴上，
∴点A的纵坐标为0。
设点C的坐标为$(x_C,y_C)$，
∵点B是AC的中点，根据中点坐标的纵坐标关系：
$\frac{y_C + 0}{2}=1$，解得$y_C=2$。
∵点C在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，将$y=2$代入解析式得：
$2=\frac{2}{x}$，解得$x=1$，即点C的坐标为$(1,2)$。
设点A的坐标为$(a,0)$，根据中点坐标的横坐标关系：
$\frac{a + 1}{2}=2$，解得$a=3$。
因此点A的坐标为$(3,0)$。
【答案】
(1) $y=\frac{2}{x}(x＞0)$；(2) $(3,0)$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，中点坐标公式，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数基础常考题，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，以及灵活运用中点坐标公式建立已知点和未知点的坐标关联，整体计算量小，逻辑清晰，是函数部分的基础得分题型。
【难度系数】
0.8
19.(8分)综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度.密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中(如图1)时,浸入液体中的深度h(cm)是液体的密度ρ(g/cm³)的反比例函数,其函数图象如图2所示(ρ＞0).
(1)求h与ρ之间的函数解析式;
(2)当液体密度ρ从1.5 g/cm³增加到2 g/cm³时,求密度计浸入该液体中的深度h怎么变化,变化了多少.
(1)求h与ρ之间的函数解析式;
(2)当液体密度ρ从1.5 g/cm³增加到2 g/cm³时,求密度计浸入该液体中的深度h怎么变化,变化了多少.
答案
解：
(1) 设h与ρ之间的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0,\rho＞0)$。
将$\rho=1.5$，$h=20$代入解析式，得：
$20=\frac{k}{1.5}$，
解得$k=30$。
所以h与ρ之间的函数解析式为$h=\frac{30}{\rho}(\rho＞0)$。
(2) 当$\rho=1.5\ \mathrm{g/cm}^3$时，$h=\frac{30}{1.5}=20\ \mathrm{cm}$；
当$\rho=2\ \mathrm{g/cm}^3$时，$h=\frac{30}{2}=15\ \mathrm{cm}$。
$20-15=5\ \mathrm{cm}$。
答：密度计浸入液体中的深度h随液体密度增大而减小，深度减少了5cm。
(1) 设h与ρ之间的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0,\rho＞0)$。
将$\rho=1.5$，$h=20$代入解析式，得：
$20=\frac{k}{1.5}$，
解得$k=30$。
所以h与ρ之间的函数解析式为$h=\frac{30}{\rho}(\rho＞0)$。
(2) 当$\rho=1.5\ \mathrm{g/cm}^3$时，$h=\frac{30}{1.5}=20\ \mathrm{cm}$；
当$\rho=2\ \mathrm{g/cm}^3$时，$h=\frac{30}{2}=15\ \mathrm{cm}$。
$20-15=5\ \mathrm{cm}$。
答：密度计浸入液体中的深度h随液体密度增大而减小，深度减少了5cm。
解析
【分析】
(1) 题目明确说明h是ρ的反比例函数，因此先设反比例函数的一般形式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0,\rho＞0)$；观察函数图像可得当$\rho=1.5\mathrm{g/cm^3}$时，$h=20\mathrm{cm}$，将该组数值代入所设解析式即可求出常数k，进而得到h与ρ的函数解析式。
(2) 要判断ρ从1.5g/cm³增加到2g/cm³时h的变化情况，只需要分别将$\rho=1.5$和$\rho=2$代入第一问求出的函数解析式，计算出对应的h值，再比较两个h值的大小、计算差值即可得到结论。
【解析】
(1) 设h与ρ之间的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0,\rho＞0)$。
将$\rho=1.5$，$h=20$代入解析式，得：
$20=\frac{k}{1.5}$，
解得$k=30$。
所以h与ρ之间的函数解析式为$h=\frac{30}{\rho}(\rho＞0)$。
(2) 当$\rho=1.5\ \mathrm{g/cm}^3$时，$h=\frac{30}{1.5}=20\ \mathrm{cm}$；
当$\rho=2\ \mathrm{g/cm}^3$时，$h=\frac{30}{2}=15\ \mathrm{cm}$。
$20-15=5\ \mathrm{cm}$。
所以密度计浸入液体中的深度h随液体密度增大而减小，深度减少了5cm。
【答案】
(1) $h=\frac{30}{\rho}(\rho＞0)$
(2) 深度h减小，减少了5cm
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质
【点评】
本题结合密度计测液体密度的实际情境考查反比例函数的相关知识，解题的关键是读懂题意，从图像中提取有效信息，熟练运用待定系数法求函数解析式，再通过代入求值解决实际问题，贴近生活，注重对基础知识和应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
(1) 题目明确说明h是ρ的反比例函数，因此先设反比例函数的一般形式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0,\rho＞0)$；观察函数图像可得当$\rho=1.5\mathrm{g/cm^3}$时，$h=20\mathrm{cm}$，将该组数值代入所设解析式即可求出常数k，进而得到h与ρ的函数解析式。
(2) 要判断ρ从1.5g/cm³增加到2g/cm³时h的变化情况，只需要分别将$\rho=1.5$和$\rho=2$代入第一问求出的函数解析式，计算出对应的h值，再比较两个h值的大小、计算差值即可得到结论。
【解析】
(1) 设h与ρ之间的函数解析式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠0,\rho＞0)$。
将$\rho=1.5$，$h=20$代入解析式，得：
$20=\frac{k}{1.5}$，
解得$k=30$。
所以h与ρ之间的函数解析式为$h=\frac{30}{\rho}(\rho＞0)$。
(2) 当$\rho=1.5\ \mathrm{g/cm}^3$时，$h=\frac{30}{1.5}=20\ \mathrm{cm}$；
当$\rho=2\ \mathrm{g/cm}^3$时，$h=\frac{30}{2}=15\ \mathrm{cm}$。
$20-15=5\ \mathrm{cm}$。
所以密度计浸入液体中的深度h随液体密度增大而减小，深度减少了5cm。
【答案】
(1) $h=\frac{30}{\rho}(\rho＞0)$
(2) 深度h减小，减少了5cm
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质
【点评】
本题结合密度计测液体密度的实际情境考查反比例函数的相关知识，解题的关键是读懂题意，从图像中提取有效信息，熟练运用待定系数法求函数解析式，再通过代入求值解决实际问题，贴近生活，注重对基础知识和应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
