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20.(8分)正比例函数$y=2x$与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象有一个交点的纵坐标为4.
(1)求$m$的值；
(2)请结合图象求关于$x$的不等式$2x≤\dfrac{m}{x}$的解集.
(1)求$m$的值；
(2)请结合图象求关于$x$的不等式$2x≤\dfrac{m}{x}$的解集.
答案
解：
(1) 将$y=4$代入正比例函数$y=2x$，
得$4=2x$，解得$x=2$，
∴该交点坐标为$(2,4)$。
把$(2,4)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，
得$4=\frac{m}{2}$，解得$m=8$。
(2) 由(1)得反比例函数解析式为$y=\frac{8}{x}$，
联立$\begin{cases}y=2x \\ y=\frac{8}{x}\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x_1=2 \\ y_1=4\end{cases}$，$\begin{cases}x_2=-2 \\ y_2=-4\end{cases}$，
即两个函数图象的交点为$(2,4)$和$(-2,-4)$。
结合函数图象可得，不等式$2x≤\frac{m}{x}$的解集为$x≤ -2$或$0＜ x≤ 2$。
(1) 将$y=4$代入正比例函数$y=2x$，
得$4=2x$，解得$x=2$，
∴该交点坐标为$(2,4)$。
把$(2,4)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，
得$4=\frac{m}{2}$，解得$m=8$。
(2) 由(1)得反比例函数解析式为$y=\frac{8}{x}$，
联立$\begin{cases}y=2x \\ y=\frac{8}{x}\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x_1=2 \\ y_1=4\end{cases}$，$\begin{cases}x_2=-2 \\ y_2=-4\end{cases}$，
即两个函数图象的交点为$(2,4)$和$(-2,-4)$。
结合函数图象可得，不等式$2x≤\frac{m}{x}$的解集为$x≤ -2$或$0＜ x≤ 2$。
解析
【分析】
(1) 函数图象的交点同时满足两个函数的解析式，已知交点纵坐标为4，先将y=4代入正比例函数解析式求出对应的横坐标，得到完整的交点坐标，再将交点坐标代入反比例函数解析式即可求出m的值。
(2) 正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此两个交点也关于原点对称，先求出两个交点的完整坐标，再结合图象分析：不等式$2x≤\frac{m}{x}$的解集就是正比例函数图象位于反比例函数图象下方（含交点）时对应的x的取值范围，注意反比例函数自变量x≠0，需分正负区间讨论。
【解析】
(1) 将$y=4$代入正比例函数$y=2x$，
得$4=2x$，解得$x=2$，
∴该交点坐标为$(2,4)$。
把$(2,4)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，
得$4=\frac{m}{2}$，解得$m=8$。
(2) 由(1)得反比例函数解析式为$y=\frac{8}{x}$，
联立$\begin{cases}y=2x \\ y=\frac{8}{x}\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x_1=2 \\ y_1=4\end{cases}$，$\begin{cases}x_2=-2 \\ y_2=-4\end{cases}$，
即两个函数图象的交点为$(2,4)$和$(-2,-4)$。
结合函数图象可得，不等式$2x≤\frac{m}{x}$的解集为$x≤ -2$或$0＜ x≤ 2$。
【答案】
(1) $m=8$
(2) $x≤ -2$或$0＜ x≤ 2$
【知识点】
正比例函数性质，反比例函数性质，数形结合解不等式
【点评】
本题考查正反比例函数的交点问题与函数不等式的求解，重点是数形结合思想的运用，解题时需注意反比例函数自变量不能为0的隐含条件，避免解集出错。
【难度系数】
0.7
(1) 函数图象的交点同时满足两个函数的解析式，已知交点纵坐标为4，先将y=4代入正比例函数解析式求出对应的横坐标，得到完整的交点坐标，再将交点坐标代入反比例函数解析式即可求出m的值。
(2) 正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此两个交点也关于原点对称，先求出两个交点的完整坐标，再结合图象分析：不等式$2x≤\frac{m}{x}$的解集就是正比例函数图象位于反比例函数图象下方（含交点）时对应的x的取值范围，注意反比例函数自变量x≠0，需分正负区间讨论。
【解析】
(1) 将$y=4$代入正比例函数$y=2x$，
得$4=2x$，解得$x=2$，
∴该交点坐标为$(2,4)$。
把$(2,4)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，
得$4=\frac{m}{2}$，解得$m=8$。
(2) 由(1)得反比例函数解析式为$y=\frac{8}{x}$，
联立$\begin{cases}y=2x \\ y=\frac{8}{x}\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x_1=2 \\ y_1=4\end{cases}$，$\begin{cases}x_2=-2 \\ y_2=-4\end{cases}$，
即两个函数图象的交点为$(2,4)$和$(-2,-4)$。
结合函数图象可得，不等式$2x≤\frac{m}{x}$的解集为$x≤ -2$或$0＜ x≤ 2$。
【答案】
(1) $m=8$
(2) $x≤ -2$或$0＜ x≤ 2$
【知识点】
正比例函数性质，反比例函数性质，数形结合解不等式
【点评】
本题考查正反比例函数的交点问题与函数不等式的求解，重点是数形结合思想的运用，解题时需注意反比例函数自变量不能为0的隐含条件，避免解集出错。
【难度系数】
0.7
21.(9分)如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点B,与y轴交于点A,直线AB与反比例函数$y=\frac{m}{x}(m＞0)$在第一象限的图象交于点C,点D,其中点C的坐标为(1,8),点D的坐标为(4,n).
(1)分别求m,n的值;
(2)连接OD,求$△ ADO$的面积.
(1)分别求m,n的值;
(2)连接OD,求$△ ADO$的面积.
答案
解：
(1) ∵ 点$C(1,8)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
将$C(1,8)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$8=\frac{m}{1}$，
解得$m=8$。
∴ 反比例函数的解析式为$y=\frac{8}{x}$。
∵ 点$D(4,n)$在反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上，
将$D(4,n)$代入$y=\frac{8}{x}$，得$n=\frac{8}{4}=2$。
即$m=8$，$n=2$。
(2) 设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，
将$C(1,8)$、$D(4,2)$代入解析式得：
$\begin{cases} k + b = 8 \\ 4k + b = 2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-2 \\ b=10 \end{cases}$，
∴ 直线$AB$的解析式为$y=-2x+10$。
令$x=0$，得$y=10$，
∴ 点$A$的坐标为$(0,10)$，即$OA=10$。
点$D$到$y$轴的距离为点$D$的横坐标$4$，
∴ $S_{△ ADO}=\frac{1}{2} × OA × 4 = \frac{1}{2} × 10 × 4 = 20$。
(1) ∵ 点$C(1,8)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
将$C(1,8)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$8=\frac{m}{1}$，
解得$m=8$。
∴ 反比例函数的解析式为$y=\frac{8}{x}$。
∵ 点$D(4,n)$在反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上，
将$D(4,n)$代入$y=\frac{8}{x}$，得$n=\frac{8}{4}=2$。
即$m=8$，$n=2$。
(2) 设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，
将$C(1,8)$、$D(4,2)$代入解析式得：
$\begin{cases} k + b = 8 \\ 4k + b = 2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-2 \\ b=10 \end{cases}$，
∴ 直线$AB$的解析式为$y=-2x+10$。
令$x=0$，得$y=10$，
∴ 点$A$的坐标为$(0,10)$，即$OA=10$。
点$D$到$y$轴的距离为点$D$的横坐标$4$，
∴ $S_{△ ADO}=\frac{1}{2} × OA × 4 = \frac{1}{2} × 10 × 4 = 20$。
解析
【分析】
(1) 对于第一问求m和n：反比例函数图象上的点的坐标均满足函数解析式，已知点C在反比例函数图象上，将C点坐标代入解析式即可求出m的值，确定反比例函数的完整表达式；再将D点坐标代入已求出的反比例函数解析式，就能算出n的值。
(2) 对于第二问求△ADO的面积：△ADO的顶点A在y轴上，可将OA作为三角形的底，点D到y轴的水平距离作为高计算面积。首先需要求出直线AB的解析式：已知直线AB过C、D两点，用待定系数法设直线解析式为y=kx+b，代入C、D两点坐标得到二元一次方程组，解出k、b即可得到直线AB的解析式；令解析式中x=0，求出对应的y值就是点A的纵坐标，即可得到OA的长度；点D到y轴的距离等于其横坐标4，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵ 点$C(1,8)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
将$C(1,8)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$8=\frac{m}{1}$，
解得$m=8$。
∴ 反比例函数的解析式为$y=\frac{8}{x}$。
∵ 点$D(4,n)$在反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上，
将$D(4,n)$代入$y=\frac{8}{x}$，得$n=\frac{8}{4}=2$。
即$m=8$，$n=2$。
(2) 设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，
将$C(1,8)$、$D(4,2)$代入解析式得：
$\begin{cases} k + b = 8 \\ 4k + b = 2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-2 \\ b=10 \end{cases}$，
∴ 直线$AB$的解析式为$y=-2x+10$。
令$x=0$，得$y=10$，
∴ 点$A$的坐标为$(0,10)$，即$OA=10$。
点$D$到$y$轴的距离为点$D$的横坐标$4$，
∴ $S_{△ ADO}=\frac{1}{2} × OA × 4 = \frac{1}{2} × 10 × 4 = 20$。
【答案】
(1) $m=8$，$n=2$；(2) $20$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，核心考查待定系数法求函数解析式的运用，结合坐标的几何意义计算图形面积，属于常考题型，熟练掌握基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.7
(1) 对于第一问求m和n：反比例函数图象上的点的坐标均满足函数解析式，已知点C在反比例函数图象上，将C点坐标代入解析式即可求出m的值，确定反比例函数的完整表达式；再将D点坐标代入已求出的反比例函数解析式，就能算出n的值。
(2) 对于第二问求△ADO的面积：△ADO的顶点A在y轴上，可将OA作为三角形的底，点D到y轴的水平距离作为高计算面积。首先需要求出直线AB的解析式：已知直线AB过C、D两点，用待定系数法设直线解析式为y=kx+b，代入C、D两点坐标得到二元一次方程组，解出k、b即可得到直线AB的解析式；令解析式中x=0，求出对应的y值就是点A的纵坐标，即可得到OA的长度；点D到y轴的距离等于其横坐标4，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵ 点$C(1,8)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
将$C(1,8)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$8=\frac{m}{1}$，
解得$m=8$。
∴ 反比例函数的解析式为$y=\frac{8}{x}$。
∵ 点$D(4,n)$在反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象上，
将$D(4,n)$代入$y=\frac{8}{x}$，得$n=\frac{8}{4}=2$。
即$m=8$，$n=2$。
(2) 设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，
将$C(1,8)$、$D(4,2)$代入解析式得：
$\begin{cases} k + b = 8 \\ 4k + b = 2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=-2 \\ b=10 \end{cases}$，
∴ 直线$AB$的解析式为$y=-2x+10$。
令$x=0$，得$y=10$，
∴ 点$A$的坐标为$(0,10)$，即$OA=10$。
点$D$到$y$轴的距离为点$D$的横坐标$4$，
∴ $S_{△ ADO}=\frac{1}{2} × OA × 4 = \frac{1}{2} × 10 × 4 = 20$。
【答案】
(1) $m=8$，$n=2$；(2) $20$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，核心考查待定系数法求函数解析式的运用，结合坐标的几何意义计算图形面积，属于常考题型，熟练掌握基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.7
第21小题图
22. (9分)如图,已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象与一次函数$y=-x+b$的图象在第一象限交于$A(1,3),B(3,1)$两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)已知点$P(a,0)(a＞0)$,过点$P$作平行于$y$轴的直线,在第一象限内交一次函数$y=-x+b$的图象于点$M$,交反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象于点$N$.若$PM＞PN$,结合函数图象直接写出$a$的取值范围.
第22小题图
22. (9分)如图,已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象与一次函数$y=-x+b$的图象在第一象限交于$A(1,3),B(3,1)$两点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)已知点$P(a,0)(a＞0)$,过点$P$作平行于$y$轴的直线,在第一象限内交一次函数$y=-x+b$的图象于点$M$,交反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象于点$N$.若$PM＞PN$,结合函数图象直接写出$a$的取值范围.
第22小题图
答案
解：
(1) 将$A(1,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得
$3=\frac{k}{1}$，解得$k=3$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$。
将$A(1,3)$代入一次函数$y=-x+b$，得
$3=-1+b$，解得$b=4$，
∴一次函数的解析式为$y=-x+4$。
(2) $a$的取值范围是$1＜a＜3$。
(1) 将$A(1,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得
$3=\frac{k}{1}$，解得$k=3$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$。
将$A(1,3)$代入一次函数$y=-x+b$，得
$3=-1+b$，解得$b=4$，
∴一次函数的解析式为$y=-x+4$。
(2) $a$的取值范围是$1＜a＜3$。
解析
【分析】
(1) 求函数解析式采用待定系数法即可：已知反比例函数过点A(1,3)，将点坐标代入反比例函数表达式可求出参数k，得到反比例函数解析式；同理将A点坐标代入一次函数表达式，可求出参数b，得到一次函数解析式。
(2) 过P(a,0)作平行于y轴的直线，直线上所有点横坐标均为a，因此M点纵坐标为一次函数在x=a处的函数值，N点纵坐标为反比例函数在x=a处的函数值，PM＞PN等价于第一象限内一次函数值大于反比例函数值，结合两函数交点的横坐标，观察图像即可直接得出a的取值范围。
【解析】
(1) 将$A(1,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$3=\frac{k}{1}$，解得$k=3$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$。
将$A(1,3)$代入一次函数$y=-x+b$，得：
$3=-1+b$，解得$b=4$，
∴一次函数的解析式为$y=-x+4$。
(2) 由题意可知，M点坐标为$(a,-a+4)$，N点坐标为$(a,\frac{3}{a})$，$PM＞PN$即第一象限内一次函数值大于反比例函数值。结合两函数交点为$A(1,3)$、$B(3,1)$，观察图像可得：当$1＜a＜3$时，一次函数图像在反比例函数图像上方，满足$PM＞PN$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式：$\boldsymbol{y=\frac{3}{x}}$；一次函数解析式：$\boldsymbol{y=-x+4}$
(2) $\boldsymbol{1＜a＜3}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合，数形结合
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，第一问核心考查待定系数法的应用，属于基础运算类考点；第二问需要将线段长度的大小关系转化为同横坐标下函数值的大小关系，结合图像即可快速求解，体现了数形结合思想的应用，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.75
(1) 求函数解析式采用待定系数法即可：已知反比例函数过点A(1,3)，将点坐标代入反比例函数表达式可求出参数k，得到反比例函数解析式；同理将A点坐标代入一次函数表达式，可求出参数b，得到一次函数解析式。
(2) 过P(a,0)作平行于y轴的直线，直线上所有点横坐标均为a，因此M点纵坐标为一次函数在x=a处的函数值，N点纵坐标为反比例函数在x=a处的函数值，PM＞PN等价于第一象限内一次函数值大于反比例函数值，结合两函数交点的横坐标，观察图像即可直接得出a的取值范围。
【解析】
(1) 将$A(1,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$3=\frac{k}{1}$，解得$k=3$，
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$。
将$A(1,3)$代入一次函数$y=-x+b$，得：
$3=-1+b$，解得$b=4$，
∴一次函数的解析式为$y=-x+4$。
(2) 由题意可知，M点坐标为$(a,-a+4)$，N点坐标为$(a,\frac{3}{a})$，$PM＞PN$即第一象限内一次函数值大于反比例函数值。结合两函数交点为$A(1,3)$、$B(3,1)$，观察图像可得：当$1＜a＜3$时，一次函数图像在反比例函数图像上方，满足$PM＞PN$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式：$\boldsymbol{y=\frac{3}{x}}$；一次函数解析式：$\boldsymbol{y=-x+4}$
(2) $\boldsymbol{1＜a＜3}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合，数形结合
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，第一问核心考查待定系数法的应用，属于基础运算类考点；第二问需要将线段长度的大小关系转化为同横坐标下函数值的大小关系，结合图像即可快速求解，体现了数形结合思想的应用，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.75
23.(9分)教室的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升$10\ °\mathrm{C}$，加热到$100\ °\mathrm{C}$时停止加热，水温开始下降，此时水温$y(°\mathrm{C})$与开机后用时$x(\mathrm{min})$成反比例关系，直至水温降至$30\ °\mathrm{C}$，饮水机关机。饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序。若在水温为$30\ °\mathrm{C}$时接通电源，水温$y(°\mathrm{C})$与时间$x(\mathrm{min})$的关系如图所示。
(1)分别写出水温上升和下降阶段$y$与$x$之间的函数解析式；
(2)怡萱同学想接不低于$50\ °\mathrm{C}$的水，在一轮开机到关机过程中，有多长时间能满足这位同学的水温需求？
第23小题图
(1)分别写出水温上升和下降阶段$y$与$x$之间的函数解析式；
(2)怡萱同学想接不低于$50\ °\mathrm{C}$的水，在一轮开机到关机过程中，有多长时间能满足这位同学的水温需求？
第23小题图
答案
解：
(1) 水温上升阶段：
由题意，初始水温为$30\ ℃$，加热到$100\ ℃$所需时间为$\frac{100-30}{10}=7\ \mathrm{min}$。
设上升阶段函数解析式为$y=k_1x+b$，将$(0,30)$、$(7,100)$代入，得$b=30$，$7k_1+30=100$，解得$k_1=10$。
因此上升阶段函数解析式为：
$y=10x+30\quad (0≤ x≤7)$
水温下降阶段：
设下降阶段函数解析式为$y=\frac{k_2}{x}$，将$(7,100)$代入得$100=\frac{k_2}{7}$，解得$k_2=700$。
令$y=30$，得$30=\frac{700}{x}$，解得$x=\frac{70}{3}$，即水温降至$30\ ℃$时对应$x=\frac{70}{3}\ \mathrm{min}$。
因此下降阶段函数解析式为：
$y=\frac{700}{x}\quad (7＜ x≤\frac{70}{3})$
(2) 求水温不低于$50\ ℃$的对应时长：
① 在上升阶段，令$10x+30≥50$，解得$x≥2$，结合$0≤ x≤7$，得$2≤ x≤7$，该区间时长为$7-2=5\ \mathrm{min}$。
② 在下降阶段，令$\frac{700}{x}≥50$，解得$x≤14$，结合$7＜ x≤\frac{70}{3}$，得$7＜ x≤14$，该区间时长为$14-7=7\ \mathrm{min}$。
总满足需求的时长为$5+7=12\ \mathrm{min}$。
答：在一轮开机到关机过程中，有12分钟能满足这位同学的水温需求。
(1) 水温上升阶段：
由题意，初始水温为$30\ ℃$，加热到$100\ ℃$所需时间为$\frac{100-30}{10}=7\ \mathrm{min}$。
设上升阶段函数解析式为$y=k_1x+b$，将$(0,30)$、$(7,100)$代入，得$b=30$，$7k_1+30=100$，解得$k_1=10$。
因此上升阶段函数解析式为：
$y=10x+30\quad (0≤ x≤7)$
水温下降阶段：
设下降阶段函数解析式为$y=\frac{k_2}{x}$，将$(7,100)$代入得$100=\frac{k_2}{7}$，解得$k_2=700$。
令$y=30$，得$30=\frac{700}{x}$，解得$x=\frac{70}{3}$，即水温降至$30\ ℃$时对应$x=\frac{70}{3}\ \mathrm{min}$。
因此下降阶段函数解析式为：
$y=\frac{700}{x}\quad (7＜ x≤\frac{70}{3})$
(2) 求水温不低于$50\ ℃$的对应时长：
① 在上升阶段，令$10x+30≥50$，解得$x≥2$，结合$0≤ x≤7$，得$2≤ x≤7$，该区间时长为$7-2=5\ \mathrm{min}$。
② 在下降阶段，令$\frac{700}{x}≥50$，解得$x≤14$，结合$7＜ x≤\frac{70}{3}$，得$7＜ x≤14$，该区间时长为$14-7=7\ \mathrm{min}$。
总满足需求的时长为$5+7=12\ \mathrm{min}$。
答：在一轮开机到关机过程中，有12分钟能满足这位同学的水温需求。
解析
【分析】
本题需要分阶段分析水温与时间的函数关系，解题思路如下：
1. 求两个阶段的函数解析式：水温上升阶段是匀速升温，属于一次函数关系，已知初始水温30℃，每分钟升温10℃，7分钟升温到100℃，利用待定系数法代入两点坐标即可求出一次函数解析式，同时确定上升阶段自变量的取值范围；水温下降阶段是反比例函数关系，设出反比例解析式，代入(7,100)求出比例系数，再求出水温降到30℃对应的时间，确定下降阶段自变量的取值范围。
2. 计算符合水温要求的时长：分别在上升、下降两个阶段，令y≥50解不等式，结合各阶段自变量的取值范围得到符合要求的x区间，计算两个区间的长度之和即为总时长。
【解析】
(1) 水温上升阶段：
由题意可知初始水温为30℃，加热到100℃所需时间为$\frac{100-30}{10}=7\ \mathrm{min}$。
设上升阶段函数解析式为$y=k_1x+b$，将$(0,30)$、$(7,100)$代入解析式得：
$\begin{cases}b=30 \\7k_1+30=100 \end{cases}$，解得$k_1=10$，$b=30$。
因此上升阶段函数解析式为：$y=10x+30\quad (0≤ x≤7)$。
水温下降阶段：
设下降阶段函数解析式为$y=\frac{k_2}{x}$，将$(7,100)$代入得$100=\frac{k_2}{7}$，解得$k_2=700$。
令$y=30$，得$30=\frac{700}{x}$，解得$x=\frac{70}{3}$，即水温降至30℃时对应$x=\frac{70}{3}\ \mathrm{min}$。
因此下降阶段函数解析式为：$y=\frac{700}{x}\quad (7＜ x≤\frac{70}{3})$。
(2) 求水温不低于50℃的对应时长：
① 在上升阶段，令$10x+30≥50$，解得$x≥2$，结合$0≤ x≤7$，得符合要求的区间为$2≤ x≤7$，该区间时长为$7-2=5\ \mathrm{min}$。
② 在下降阶段，令$\frac{700}{x}≥50$，解得$x≤14$，结合$7＜ x≤\frac{70}{3}$，得符合要求的区间为$7＜ x≤14$，该区间时长为$14-7=7\ \mathrm{min}$。
总满足需求的时长为$5+7=12\ \mathrm{min}$。
【答案】
(1) 上升阶段：$\boldsymbol{y=10x+30\ (0≤ x≤7)}$；下降阶段：$\boldsymbol{y=\dfrac{700}{x}\ (7＜ x≤\dfrac{70}{3})}$
(2) $\boldsymbol{12\ \mathrm{min}}$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数应用；反比例函数应用
【点评】
本题结合生活中饮水机水温变化的实际场景命题，考查学生提取信息、运用函数知识解决实际问题的能力，解题时需注意不同函数阶段自变量的取值范围，避免脱离实际范围求解导致错误。
【难度系数】
0.7
本题需要分阶段分析水温与时间的函数关系，解题思路如下：
1. 求两个阶段的函数解析式：水温上升阶段是匀速升温，属于一次函数关系，已知初始水温30℃，每分钟升温10℃，7分钟升温到100℃，利用待定系数法代入两点坐标即可求出一次函数解析式，同时确定上升阶段自变量的取值范围；水温下降阶段是反比例函数关系，设出反比例解析式，代入(7,100)求出比例系数，再求出水温降到30℃对应的时间，确定下降阶段自变量的取值范围。
2. 计算符合水温要求的时长：分别在上升、下降两个阶段，令y≥50解不等式，结合各阶段自变量的取值范围得到符合要求的x区间，计算两个区间的长度之和即为总时长。
【解析】
(1) 水温上升阶段：
由题意可知初始水温为30℃，加热到100℃所需时间为$\frac{100-30}{10}=7\ \mathrm{min}$。
设上升阶段函数解析式为$y=k_1x+b$，将$(0,30)$、$(7,100)$代入解析式得：
$\begin{cases}b=30 \\7k_1+30=100 \end{cases}$，解得$k_1=10$，$b=30$。
因此上升阶段函数解析式为：$y=10x+30\quad (0≤ x≤7)$。
水温下降阶段：
设下降阶段函数解析式为$y=\frac{k_2}{x}$，将$(7,100)$代入得$100=\frac{k_2}{7}$，解得$k_2=700$。
令$y=30$，得$30=\frac{700}{x}$，解得$x=\frac{70}{3}$，即水温降至30℃时对应$x=\frac{70}{3}\ \mathrm{min}$。
因此下降阶段函数解析式为：$y=\frac{700}{x}\quad (7＜ x≤\frac{70}{3})$。
(2) 求水温不低于50℃的对应时长：
① 在上升阶段，令$10x+30≥50$，解得$x≥2$，结合$0≤ x≤7$，得符合要求的区间为$2≤ x≤7$，该区间时长为$7-2=5\ \mathrm{min}$。
② 在下降阶段，令$\frac{700}{x}≥50$，解得$x≤14$，结合$7＜ x≤\frac{70}{3}$，得符合要求的区间为$7＜ x≤14$，该区间时长为$14-7=7\ \mathrm{min}$。
总满足需求的时长为$5+7=12\ \mathrm{min}$。
【答案】
(1) 上升阶段：$\boldsymbol{y=10x+30\ (0≤ x≤7)}$；下降阶段：$\boldsymbol{y=\dfrac{700}{x}\ (7＜ x≤\dfrac{70}{3})}$
(2) $\boldsymbol{12\ \mathrm{min}}$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数应用；反比例函数应用
【点评】
本题结合生活中饮水机水温变化的实际场景命题，考查学生提取信息、运用函数知识解决实际问题的能力，解题时需注意不同函数阶段自变量的取值范围，避免脱离实际范围求解导致错误。
【难度系数】
0.7
24. (12分)如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}$与一次函数$y=ax+b$的图象交于点$A(-2,6)$，点$B(n,1)$。
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)点$E$为$y$轴上一个动点，若$S_{△ AEB}=5$，求点$E$的坐标；
(3)将一次函数$y=ax+b$的图象沿$y$轴向下平移$t$个单位，使平移后的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象有且只有一个交点，求$t$的值。
第24小题图
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)点$E$为$y$轴上一个动点，若$S_{△ AEB}=5$，求点$E$的坐标；
(3)将一次函数$y=ax+b$的图象沿$y$轴向下平移$t$个单位，使平移后的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象有且只有一个交点，求$t$的值。
第24小题图
答案
解：
(1) 将点$A(-2,6)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，
得$6=\frac{k}{-2}$，解得$k=-12$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{12}{x}$。
将点$B(n,1)$代入$y=-\frac{12}{x}$，
得$1=-\frac{12}{n}$，解得$n=-12$，即$B(-12,1)$。
将$A(-2,6)$、$B(-12,1)$代入$y=ax+b$，得：
$\begin{cases} -2a + b = 6 \\ -12a + b = 1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=\frac{1}{2} \\ b=7 \end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x +7$。
(2) 设直线$AB$与$y$轴交于点$M$，令$x=0$，得$y=7$，即$M(0,7)$。
设$E(0,m)$，则$EM=|m-7|$，
$S_{△ AEB}=S_{△ AEM}-S_{△ BEM}=\frac{1}{2}· |m-7|· 12 - \frac{1}{2}· |m-7|· 2=5|m-7|$，
由$S_{△ AEB}=5$，得$5|m-7|=5$，即$|m-7|=1$，
解得$m_1=6$，$m_2=8$，
∴点$E$的坐标为$(0,6)$或$(0,8)$。
(3) 一次函数沿$y$轴向下平移$t$个单位后，解析式为$y=\frac{1}{2}x +7 -t$。
联立方程：
$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x +7 -t \\ y=-\frac{12}{x} \end{cases}$
消去$y$整理得：$x^2 + 2(7-t)x +24 = 0$。
∵两图象有且只有一个交点，
∴判别式$\Delta=0$，即$[2(7-t)]^2 - 4×1×24=0$，
整理得$(7-t)^2=24$，
解得$t=7\pm2\sqrt{6}$。
(1) 将点$A(-2,6)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，
得$6=\frac{k}{-2}$，解得$k=-12$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{12}{x}$。
将点$B(n,1)$代入$y=-\frac{12}{x}$，
得$1=-\frac{12}{n}$，解得$n=-12$，即$B(-12,1)$。
将$A(-2,6)$、$B(-12,1)$代入$y=ax+b$，得：
$\begin{cases} -2a + b = 6 \\ -12a + b = 1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=\frac{1}{2} \\ b=7 \end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x +7$。
(2) 设直线$AB$与$y$轴交于点$M$，令$x=0$，得$y=7$，即$M(0,7)$。
设$E(0,m)$，则$EM=|m-7|$，
$S_{△ AEB}=S_{△ AEM}-S_{△ BEM}=\frac{1}{2}· |m-7|· 12 - \frac{1}{2}· |m-7|· 2=5|m-7|$，
由$S_{△ AEB}=5$，得$5|m-7|=5$，即$|m-7|=1$，
解得$m_1=6$，$m_2=8$，
∴点$E$的坐标为$(0,6)$或$(0,8)$。
(3) 一次函数沿$y$轴向下平移$t$个单位后，解析式为$y=\frac{1}{2}x +7 -t$。
联立方程：
$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x +7 -t \\ y=-\frac{12}{x} \end{cases}$
消去$y$整理得：$x^2 + 2(7-t)x +24 = 0$。
∵两图象有且只有一个交点，
∴判别式$\Delta=0$，即$[2(7-t)]^2 - 4×1×24=0$，
整理得$(7-t)^2=24$，
解得$t=7\pm2\sqrt{6}$。
解析
【分析】
(1) 用待定系数法求解函数解析式：先将A点坐标代入反比例函数求出参数k，得到反比例函数解析式；再将B点纵坐标代入反比例解析式求出n，得到B点完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组即可得到一次函数的参数，求出一次函数解析式。
(2) 求y轴上E点坐标可采用割补法简化面积计算：先找到直线AB与y轴的交点M，将△AEB的面积转化为△AEM与△BEM的面积差，两个三角形公共底为EM的长度，高分别为A、B两点横坐标的绝对值，结合已知面积列绝对值方程求解即可得到E点纵坐标。
(3) 一次函数沿y轴平移遵循“上加下减”的规律，先写出平移后的一次函数解析式，再联立反比例函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程；两图象只有一个交点等价于一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0，代入计算即可求出t的值。
【解析】
(1) 将点$A(-2,6)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，
得$6=\frac{k}{-2}$，解得$k=-12$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{12}{x}$。
将点$B(n,1)$代入$y=-\frac{12}{x}$，
得$1=-\frac{12}{n}$，解得$n=-12$，即$B(-12,1)$。
将$A(-2,6)$、$B(-12,1)$代入$y=ax+b$，得：
$\begin{cases} -2a + b = 6 \\ -12a + b = 1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=\frac{1}{2} \\ b=7 \end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x +7$。
(2) 设直线$AB$与$y$轴交于点$M$，令$x=0$，得$y=7$，即$M(0,7)$。
设$E(0,m)$，则$EM=|m-7|$，
$S_{△ AEB}=S_{△ AEM}-S_{△ BEM}=\frac{1}{2}· |m-7|· 12 - \frac{1}{2}· |m-7|· 2=5|m-7|$，
由$S_{△ AEB}=5$，得$5|m-7|=5$，即$|m-7|=1$，
解得$m_1=6$，$m_2=8$，
∴点$E$的坐标为$(0,6)$或$(0,8)$。
(3) 一次函数沿$y$轴向下平移$t$个单位后，解析式为$y=\frac{1}{2}x +7 -t$。
联立方程：
$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x +7 -t \\ y=-\frac{12}{x} \end{cases}$
消去$y$整理得：$x^2 + 2(7-t)x +24 = 0$。
∵两图象有且只有一个交点，
∴判别式$\Delta=0$，即$[2(7-t)]^2 - 4×1×24=0$，
整理得$(7-t)^2=24$，
解得$t=7\pm2\sqrt{6}$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{12}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x +7}$；
(2) 点E的坐标为$\boldsymbol{(0,6)}$或$\boldsymbol{(0,8)}$；
(3) t的值为$\boldsymbol{7+2\sqrt{6}}$或$\boldsymbol{7-2\sqrt{6}}$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 函数图象交点问题
3. 一次函数平移变换
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式、割补法计算三角形面积、函数平移规律和一元二次方程判别式的应用，解题时需要运用数形结合和转化思想，将几何问题转化为代数方程求解，能有效考查函数相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 用待定系数法求解函数解析式：先将A点坐标代入反比例函数求出参数k，得到反比例函数解析式；再将B点纵坐标代入反比例解析式求出n，得到B点完整坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数表达式，解二元一次方程组即可得到一次函数的参数，求出一次函数解析式。
(2) 求y轴上E点坐标可采用割补法简化面积计算：先找到直线AB与y轴的交点M，将△AEB的面积转化为△AEM与△BEM的面积差，两个三角形公共底为EM的长度，高分别为A、B两点横坐标的绝对值，结合已知面积列绝对值方程求解即可得到E点纵坐标。
(3) 一次函数沿y轴平移遵循“上加下减”的规律，先写出平移后的一次函数解析式，再联立反比例函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程；两图象只有一个交点等价于一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0，代入计算即可求出t的值。
【解析】
(1) 将点$A(-2,6)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，
得$6=\frac{k}{-2}$，解得$k=-12$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{12}{x}$。
将点$B(n,1)$代入$y=-\frac{12}{x}$，
得$1=-\frac{12}{n}$，解得$n=-12$，即$B(-12,1)$。
将$A(-2,6)$、$B(-12,1)$代入$y=ax+b$，得：
$\begin{cases} -2a + b = 6 \\ -12a + b = 1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=\frac{1}{2} \\ b=7 \end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x +7$。
(2) 设直线$AB$与$y$轴交于点$M$，令$x=0$，得$y=7$，即$M(0,7)$。
设$E(0,m)$，则$EM=|m-7|$，
$S_{△ AEB}=S_{△ AEM}-S_{△ BEM}=\frac{1}{2}· |m-7|· 12 - \frac{1}{2}· |m-7|· 2=5|m-7|$，
由$S_{△ AEB}=5$，得$5|m-7|=5$，即$|m-7|=1$，
解得$m_1=6$，$m_2=8$，
∴点$E$的坐标为$(0,6)$或$(0,8)$。
(3) 一次函数沿$y$轴向下平移$t$个单位后，解析式为$y=\frac{1}{2}x +7 -t$。
联立方程：
$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x +7 -t \\ y=-\frac{12}{x} \end{cases}$
消去$y$整理得：$x^2 + 2(7-t)x +24 = 0$。
∵两图象有且只有一个交点，
∴判别式$\Delta=0$，即$[2(7-t)]^2 - 4×1×24=0$，
整理得$(7-t)^2=24$，
解得$t=7\pm2\sqrt{6}$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{12}{x}}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{1}{2}x +7}$；
(2) 点E的坐标为$\boldsymbol{(0,6)}$或$\boldsymbol{(0,8)}$；
(3) t的值为$\boldsymbol{7+2\sqrt{6}}$或$\boldsymbol{7-2\sqrt{6}}$。
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 函数图象交点问题
3. 一次函数平移变换
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式、割补法计算三角形面积、函数平移规律和一元二次方程判别式的应用，解题时需要运用数形结合和转化思想，将几何问题转化为代数方程求解，能有效考查函数相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
