一、选择题
1. 某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积$y$(单位:公顷/人)与总人口$x$(单位:人)的函数图象如图1所示，则下列说法正确的是()

A.该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B.该村人均耕地面积$y$与总人口$x$成正比例
C.若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人
D.当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷

1. D

【分析】
首先根据“耕地总面积=人均耕地面积×总人口”的等量关系，结合已知耕地总面积为50公顷，可确定y与x的函数关系为反比例函数，解析式为$ y=\frac{50}{x}(x＞0) $。接下来结合反比例函数的性质、解析式以及给出的函数图像，逐一判断四个选项的正误即可。
【解析】
由题意可知，耕地总面积固定为50公顷，因此有$ xy=50 $，即人均耕地面积y与总人口x的函数解析式为$ y=\frac{50}{x}(x＞0) $，属于反比例函数，且比例系数$ k=50＞0 $，在$ x＞0 $的范围内，y随x的增大而减小。
选项A：总人口x增多时，y会减小，因此“人均耕地面积随总人口的增多而增多”的说法错误；
选项B：y与x满足反比例关系，不是正比例关系，该说法错误；
选项C：若$ y=2 $，代入解析式得$ 2=\frac{50}{x} $，解得$ x=25 $，即总人口为25人，不是100人，该说法错误；
选项D：当$ x=50 $时，代入解析式得$ y=\frac{50}{50}=1 $，与图像标注的点一致，该说法正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的性质，反比例函数解析式
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的相关知识，解题的核心是先根据总量不变的关系确定函数类型与解析式，再结合函数性质分析判断选项，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.8

2. 某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压$p$(单位:kPa)是气体体积$V$(单位:$\mathrm{m}^3$)的反比例函数,如图2所示,则用气体体积$V$表示气压$p$的函数解析式为()

A.$p=\dfrac{120}{V}(V＞0)$
B.$p=-\dfrac{120}{V}(V＞0)$
C.$p=\dfrac{96}{V}(V＞0)$
D.$p=-\dfrac{96}{V}(V＞0)$

2. C

【分析】
首先题目明确温度不变时，气压$p$是气体体积$V$的反比例函数，回忆反比例函数的一般形式为$p=\frac{k}{V}$（$k$为常数且$k≠0$）。结合实际意义，气体体积和气压均为正数，因此$V＞0$且$k＞0$，可先排除系数为负的B、D选项。再将图像给出的点$A$的坐标代入解析式求出$k$值，即可确定最终的函数解析式。
【解析】
设气压$p$关于体积$V$的反比例函数解析式为$p=\frac{k}{V}$（$k≠0,V＞0$）。
由图像可知函数过点$A(0.8,120)$，将$V=0.8$、$p=120$代入解析式得：
$120=\frac{k}{0.8}$
解得$k=120×0.8=96$
因此函数解析式为$p=\frac{96}{V}(V＞0)$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数定义；待定系数法求解析式；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合物理场景考查反比例函数的应用，解题核心是掌握反比例函数的基本形式，利用已知点坐标求出未知系数，同时要注意实际问题中自变量的取值范围限制。
【难度系数】
0.8

3. 如果一变阻器两端电压不变,那么通过该变阻器的电流y与电阻x的函数关系用图象表示大致是()

3. B

【分析】
解题时首先结合物理中的欧姆定律推导出电流y与电阻x的函数关系式，判断函数类型为反比例函数；再结合实际意义分析变量的取值范围：电阻x和电流y都必须是正数，因此函数图象只能是反比例函数在第一象限的分支，最后结合选项逐一排除不符合的即可。
【解析】
根据欧姆定律，当变阻器两端电压U（常数，U＞0）不变时，有$U=xy$，变形可得$y=\frac{U}{x}$，因此y是x的反比例函数。
结合实际意义：电阻x的取值一定大于0，对应的电流y也大于0，因此该函数的图象是反比例函数在第一象限的分支，且与坐标轴没有交点。
对选项逐一判断：
A选项图象分布在第一、三象限，不符合x、y均为正的要求，排除；
C、D选项为一次函数图象，不符合反比例函数的特征，排除；
B选项为第一象限的反比例函数分支，符合要求。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的实际应用、反比例函数的图象、实际问题自变量取值范围
【点评】
本题结合跨学科知识考查反比例函数图象的识别，解题的关键是先确定函数类型，再结合实际情况限定变量的取值范围，要注意避免忽略实际意义直接选择完整反比例函数图象的错误。
【难度系数】
0.7

4*. 如图3，$△ ABC$的三个顶点分别为$A(1,2),B(4,2),C(4,4)$. 若反比例函数$y=\frac{k}{x}$在第一象限内的图象与$△ ABC$有交点，则$k$的取值范围是()

A.$1≤ k≤4$
B.$2≤ k≤8$
C.$2≤ k≤16$
D.$8≤ k≤16$

4. C

【分析】
要解决反比例函数与△ABC有交点时k的取值范围问题，首先明确反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k=xy$，即k等于图像上点的横、纵坐标的乘积。因此我们只需要求出△ABC三条边上所有点的横纵坐标乘积的最小值和最大值，即可得到k的取值范围。首先先确定△ABC各边的坐标特征，再分别计算各边上xy的取值范围，最后综合得到整体的最值。
【解析】
解：△ABC为直角三角形，三个顶点坐标为A(1,2)、B(4,2)、C(4,4)，分三条边分析xy的取值：
1. AB边：AB平行于x轴，y=2，x的取值范围是$1≤x≤4$，则$xy=2x$，代入x的范围得$2≤xy≤8$；
2. BC边：BC平行于y轴，x=4，y的取值范围是$2≤y≤4$，则$xy=4y$，代入y的范围得$8≤xy≤16$；
3. AC边：设AC的解析式为$y=ax+b$，将A(1,2)、C(4,4)代入得：
$\begin{cases}a+b=2\\4a+b=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=\frac{2}{3}\\b=\frac{4}{3}\end{cases}$，即$y=\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$（$1≤x≤4$）
则$xy=x·(\frac{2}{3}x+\frac{4}{3})=\frac{2x^2+4x}{3}$，这是开口向上的二次函数，对称轴为$x=-1$，在$1≤x≤4$区间内单调递增，因此$x=1$时$xy_{min}=2$，$x=4$时$xy_{max}=16$，即$2≤xy≤16$。
综合三条边的xy取值，△ABC边上点的横纵坐标乘积的范围为$2≤xy≤16$，结合$k=xy$，可得k的取值范围是$2≤k≤16$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，二次函数的最值，坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，解题核心是将反比例函数中k的取值转化为图形上点的横纵坐标乘积的范围，考查了数形结合思想和函数最值的计算能力，易错点是仅考虑顶点的xy值忽略边上的其他点，或错误判断最值的位置。
【难度系数】
0.6