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知识点一 分式的加法与减法
1. 同分母分式加减法法则：同分母分式相加减，分母________，把分子________.用式子表示为$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a\pm b}{c}$.
2. 异分母分式加减法法则：异分母分式相加减，先________，变为________的分式，再________.用式子表示为$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} \pm \frac{bc}{bd} = \frac{ad \pm bc}{bd}$.
例1 计算：（1）$\frac{4a}{2a - b} - \frac{2b}{2a - b}$；（2）$\frac{1}{a + 1} + a - 1$.
解（1）原式$=\frac{4a - 2b}{2a - b} = \frac{2(2a - b)}{2a - b} = 2$.
（2）原式$=\frac{1}{a + 1} + \frac{(a + 1)(a - 1)}{a + 1} = \frac{a^2}{a + 1}$.
1. 同分母分式加减法法则：同分母分式相加减，分母________，把分子________.用式子表示为$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a\pm b}{c}$.
2. 异分母分式加减法法则：异分母分式相加减，先________，变为________的分式，再________.用式子表示为$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} \pm \frac{bc}{bd} = \frac{ad \pm bc}{bd}$.
例1 计算：（1）$\frac{4a}{2a - b} - \frac{2b}{2a - b}$；（2）$\frac{1}{a + 1} + a - 1$.
解（1）原式$=\frac{4a - 2b}{2a - b} = \frac{2(2a - b)}{2a - b} = 2$.
（2）原式$=\frac{1}{a + 1} + \frac{(a + 1)(a - 1)}{a + 1} = \frac{a^2}{a + 1}$.
答案
1. 不变 相加减 $\frac{a \pm b}{c}$ 2. 通分 同分母 加减
解析
【分析】
本题考查分式加减法的基本法则，属于基础概念类题目。解题时只需回忆课本中同分母、异分母分式加减法的定义内容，对应题干空缺逐一填写即可，是后续分式加减运算的基础考点。
【解析】
1. 根据同分母分式加减法法则：同分母分式相加减，分母保持不变，把分子相加减，对应的运算表达式为$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a\pm b}{c}$，因此三个空依次填写对应内容即可。
2. 根据异分母分式加减法法则：异分母分式相加减，先通分，将其变为同分母的分式，再按照同分母分式加减法的规则进行加减运算，对应题干空缺填写内容即可。
【答案】
1. 不变 相加减 $\frac{a \pm b}{c}$ 2. 通分 同分母 加减
【知识点】
1. 同分母分式加减法法则
2. 异分母分式加减法法则
【点评】
本题是对分式加减法核心概念的直接考察，难度低，熟练掌握该法则是正确进行分式化简、运算的前提，需准确记忆法则内容，避免后续运算中出现步骤错误。
【难度系数】
0.9
本题考查分式加减法的基本法则，属于基础概念类题目。解题时只需回忆课本中同分母、异分母分式加减法的定义内容，对应题干空缺逐一填写即可，是后续分式加减运算的基础考点。
【解析】
1. 根据同分母分式加减法法则：同分母分式相加减，分母保持不变，把分子相加减，对应的运算表达式为$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a\pm b}{c}$，因此三个空依次填写对应内容即可。
2. 根据异分母分式加减法法则：异分母分式相加减，先通分，将其变为同分母的分式，再按照同分母分式加减法的规则进行加减运算，对应题干空缺填写内容即可。
【答案】
1. 不变 相加减 $\frac{a \pm b}{c}$ 2. 通分 同分母 加减
【知识点】
1. 同分母分式加减法法则
2. 异分母分式加减法法则
【点评】
本题是对分式加减法核心概念的直接考察，难度低，熟练掌握该法则是正确进行分式化简、运算的前提，需准确记忆法则内容，避免后续运算中出现步骤错误。
【难度系数】
0.9
知识点二 分式的混合运算
式与数有相同的混合运算顺序，涉及分式的混合运算，也要先
式与数有相同的混合运算顺序，涉及分式的混合运算，也要先
乘方
，再乘除
，然后加减
.答案
乘方 乘除 加减
解析
【分析】
解题时首先结合题干提示“分式与数的混合运算顺序相同”思考，我们已经掌握有理数的混合运算优先级规则，将该规则直接迁移到分式混合运算场景即可。运算顺序遵循优先级从高到低的原则，乘方运算优先级最高，乘除次之，加减最低，按优先级排序即可对应填出三个空。
【解析】
分式的混合运算顺序和有理数混合运算顺序完全一致，具体规则为：运算优先级从高到低依次是乘方、乘除、加减，因此计算时先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号内的运算。本题要求填写三级运算的先后顺序，依次对应乘方、乘除、加减。
【答案】
乘方 乘除 加减
【知识点】
分式混合运算顺序；有理数混合运算顺序
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心考查运算顺序规则的迁移应用，是后续开展复杂分式混合运算的基础，牢记数和代数式运算顺序统一的规则即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先结合题干提示“分式与数的混合运算顺序相同”思考，我们已经掌握有理数的混合运算优先级规则，将该规则直接迁移到分式混合运算场景即可。运算顺序遵循优先级从高到低的原则，乘方运算优先级最高，乘除次之，加减最低，按优先级排序即可对应填出三个空。
【解析】
分式的混合运算顺序和有理数混合运算顺序完全一致，具体规则为：运算优先级从高到低依次是乘方、乘除、加减，因此计算时先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号内的运算。本题要求填写三级运算的先后顺序，依次对应乘方、乘除、加减。
【答案】
乘方 乘除 加减
【知识点】
分式混合运算顺序；有理数混合运算顺序
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心考查运算顺序规则的迁移应用，是后续开展复杂分式混合运算的基础，牢记数和代数式运算顺序统一的规则即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
例2 计算$(\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x+y})(x^2-y^2)$的结果是（）
A. $2x$
B. $-2x$
C. $-2y$
D. $2y$
解析 $(\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x+y})(x^2-y^2)$
$=\dfrac{(x+y)-(x-y)}{(x-y)(x+y)}·(x-y)(x+y)$
$=(x+y)-(x-y)$
$=x+y-x+y$
$=2y.$
答案 D
—解题要点
在分式的加减运算问题中，当出现分式与整式的加减运算时，可以把整式写成分母为1的形式，将问题转化为分式的加减。
—特别提醒
在分式的混合运算中：
（1）有括号的先算括号里面的。
（2）运算结果化成最简分式或整式。
（3）根据题目的特点，可以运用运算律进行简便运算。
A. $2x$
B. $-2x$
C. $-2y$
D. $2y$
解析 $(\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x+y})(x^2-y^2)$
$=\dfrac{(x+y)-(x-y)}{(x-y)(x+y)}·(x-y)(x+y)$
$=(x+y)-(x-y)$
$=x+y-x+y$
$=2y.$
答案 D
—解题要点
在分式的加减运算问题中，当出现分式与整式的加减运算时，可以把整式写成分母为1的形式，将问题转化为分式的加减。
—特别提醒
在分式的混合运算中：
（1）有括号的先算括号里面的。
（2）运算结果化成最简分式或整式。
（3）根据题目的特点，可以运用运算律进行简便运算。
答案
解：
$\begin{aligned}&(\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x+y})(x^2-y^2)\\=&\dfrac{(x+y)-(x-y)}{(x-y)(x+y)} · (x-y)(x+y)\\=&(x+y)-(x-y)\\=&x+y-x+y\\=&2y\end{aligned}$
答案选D。
$\begin{aligned}&(\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x+y})(x^2-y^2)\\=&\dfrac{(x+y)-(x-y)}{(x-y)(x+y)} · (x-y)(x+y)\\=&(x+y)-(x-y)\\=&x+y-x+y\\=&2y\end{aligned}$
答案选D。
解析
【分析】
本题是分式与整式的混合运算题，解题时可先观察式子结构：括号内两个分式的分母分别是$(x-y)$和$(x+y)$，后面的整式$x^2-y^2$可利用平方差公式分解为$(x-y)(x+y)$，恰好是括号内两个分式的公分母。解题时可以先计算括号内的分式减法（通分后计算），再与后面的整式约分；也可以直接利用乘法分配律，将整式分别乘括号内的两个分式，直接消去分母简化计算，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
我们可以先通分计算括号内的分式减法，再结合因式分解约分求解：
$\begin{aligned}&(\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x+y})(x^2-y^2)\\=&\dfrac{(x+y)-(x-y)}{(x-y)(x+y)} · (x-y)(x+y) \quad \mathrm{括号内分式通分，同时将}x^2-y^2\mathrm{因式分解}\\=&(x+y)-(x-y) \quad \mathrm{约分消去公分母}(x-y)(x+y)\\=&x+y-x+y \quad \mathrm{去括号，注意括号前为负号时各项要变号}\\=&2y\end{aligned}$
也可利用乘法分配律直接约分简化计算：
$\begin{aligned}&(\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x+y})(x^2-y^2)\\=&\dfrac{1}{x-y}·(x^2-y^2) - \dfrac{1}{x+y}·(x^2-y^2)\\=&(x+y)-(x-y)\\=&2y\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
分式的混合运算、平方差公式、分式的约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题时优先观察式子结构，灵活选择运算顺序或运算律，能大幅简化计算过程，降低出错概率，计算时要注意去括号的符号规则。
【难度系数】
0.8
本题是分式与整式的混合运算题，解题时可先观察式子结构：括号内两个分式的分母分别是$(x-y)$和$(x+y)$，后面的整式$x^2-y^2$可利用平方差公式分解为$(x-y)(x+y)$，恰好是括号内两个分式的公分母。解题时可以先计算括号内的分式减法（通分后计算），再与后面的整式约分；也可以直接利用乘法分配律，将整式分别乘括号内的两个分式，直接消去分母简化计算，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
我们可以先通分计算括号内的分式减法，再结合因式分解约分求解：
$\begin{aligned}&(\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x+y})(x^2-y^2)\\=&\dfrac{(x+y)-(x-y)}{(x-y)(x+y)} · (x-y)(x+y) \quad \mathrm{括号内分式通分，同时将}x^2-y^2\mathrm{因式分解}\\=&(x+y)-(x-y) \quad \mathrm{约分消去公分母}(x-y)(x+y)\\=&x+y-x+y \quad \mathrm{去括号，注意括号前为负号时各项要变号}\\=&2y\end{aligned}$
也可利用乘法分配律直接约分简化计算：
$\begin{aligned}&(\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x+y})(x^2-y^2)\\=&\dfrac{1}{x-y}·(x^2-y^2) - \dfrac{1}{x+y}·(x^2-y^2)\\=&(x+y)-(x-y)\\=&2y\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
分式的混合运算、平方差公式、分式的约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题时优先观察式子结构，灵活选择运算顺序或运算律，能大幅简化计算过程，降低出错概率，计算时要注意去括号的符号规则。
【难度系数】
0.8
