1. 计算$\frac{2a}{a+1}+\frac{2}{a+1}$的结果是（）

A.2
B.$\frac{1}{a+1}$
C.$a+1$
D.$\frac{a}{a+1}$

1. A

【分析】
首先观察到两个分式的分母相同，均为$a+1$，属于同分母分式的加法运算。解题时先遵循同分母分式加法的运算规则：分母不变，分子相加，得到合并后的分式，再对分子进行因式分解，最后约分即可得到化简结果。
【解析】
根据同分母分式加法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。
原式$=\frac{2a + 2}{a + 1}$
对分子提取公因式2，得：
$=\frac{2(a + 1)}{a + 1}$
由分式有意义的条件可知$a + 1 ≠ 0$，因此可以约去分子分母的公因式$a+1$，最终计算得结果为2。
【答案】
A
【知识点】
1.同分母分式加法法则
2.分式约分
3.提取公因式
【点评】
本题是分式运算的基础题型，主要考查同分母分式的加减运算能力，运算时注意先判断分母是否相同，合并分子后记得约分得到最简结果，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9

2. 如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分的最简形式是（）


A.$\frac{a+2}{a+1}$
B.$a$
C.$\frac{a}{a+1}$
D.$1$

2. D

【分析】
要求被盖住的部分，可根据减法运算中“被减数=差+减数”的关系，列出被盖住部分的表达式。观察发现两个分式的分母相同，按照同分母分式加法的计算法则：分母不变，分子相加，最后将得到的分式化简为最简形式，就能得到结果。
【解析】
设被盖住的部分为$ x $，根据题意可得：
$ x-\frac{2}{a+1}=\frac{a-1}{a+1} $
移项得：$ x=\frac{a-1}{a+1}+\frac{2}{a+1} $
根据同分母分式加法法则，分母不变，分子相加：
$ x=\frac{(a-1)+2}{a+1}=\frac{a+1}{a+1} $
由分式有意义的条件可知$ a+1≠0 $，约分后得$ x=1 $
故选D。
【答案】
D
【知识点】
同分母分式加减法；分式约分
【点评】
本题考查分式的加减运算，解题的核心是利用加减互逆关系列出待求式，再根据同分母分式的运算规则计算，掌握分式加减的基本法则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

3. 如果 $x + y = 4$，那么式子 $\frac{2x}{x^2 - y^2} - \frac{2y}{x^2 - y^2}$ 的值是（）

A.$-2$
B.$2$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

3. C

【分析】
解题时先观察式子特征，两个分式是同分母分式，首先按照同分母分式减法法则计算，再分别对分子、分母因式分解，约分化简后，将已知的$x+y=4$整体代入即可求出结果，不需要单独求解$x$和$y$的取值，使用整体代入思想会更简便。
【解析】
首先对原式进行化简：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2x - 2y}{x^2 - y^2}\\&=\frac{2(x - y)}{(x + y)(x - y)} \quad \mathrm{（分子提取公因式，分母利用平方差公式因式分解，且由分式有意义可知}x≠ y\mathrm{）}\\&=\frac{2}{x + y}\end{aligned}$
将$x + y = 4$代入化简后的式子，得：
$\mathrm{原式}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
同分母分式减法、平方差公式、分式化简求值
【点评】
本题属于分式化简求值类基础题，解题核心是先对分式进行化简再代入求值，避免直接代入的复杂计算，其中整体代入思想的运用可以提高解题效率。
【难度系数】
0.8

4. 计算：
(1)
(2) $\frac{m - 15}{m^2 - 9} - \frac{3}{3 - m}$
(3) $\frac{x + 2}{x^2 - 2x} - \frac{x - 1}{x^2 - 4x + 4}$

4. 解 (1) 原式$=\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2+x-x^2+x}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x}{x^2-1}$.
(2) 原式 $= \frac{m - 15}{m^2 - 9} + \frac{3(m + 3)}{(m - 3)(m + 3)} = \frac{m - 15 + 3m + 9}{(m - 3)(m + 3)} = \frac{4m - 6}{(m - 3)(m + 3)} = \frac{2(2m - 3)}{(m - 3)(m + 3)}$.
(3) 原式$=\frac{x + 2}{x(x - 2)} - \frac{x - 1}{(x - 2)^2} = \frac{(x + 2)(x - 2)}{x(x - 2)^2} - \frac{x(x - 1)}{x(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4 - x^2 + x}{x(x - 2)^2} = \frac{x - 4}{x(x - 2)^2}$.

【分析】
这三道题均为异分母分式的减法运算，解题思路如下：①先对每个分式的分母因式分解，确定各分式的最简公分母；②利用分式的基本性质对分式通分，转化为同分母分式；③按照同分母分式减法法则：分母不变，分子相减，对分子做整式运算并化简；④最终结果化为最简分式，注意处理分母互为相反数的情况时，要先调整符号避免计算错误。
【解析】
(1) 两个分式的最简公分母为$(x-1)(x+1)$，通分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{x^2+x-x^2+x}{(x-1)(x+1)}\\&=\frac{2x}{x^2-1}\end{aligned}$
(2) 先因式分解分母$m^2-9=(m-3)(m+3)$，将$\frac{3}{3-m}$变形为$\frac{3}{m-3}$，最简公分母为$(m-3)(m+3)$，通分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= \frac{m - 15}{(m - 3)(m + 3)} + \frac{3(m + 3)}{(m - 3)(m + 3)}\\&=\frac{m - 15 + 3m + 9}{(m - 3)(m + 3)}\\&= \frac{4m - 6}{(m - 3)(m + 3)}\\&= \frac{2(2m - 3)}{m^2-9}\end{aligned}$
(3) 先因式分解分母：$x^2-2x=x(x-2)$，$x^2-4x+4=(x-2)^2$，最简公分母为$x(x-2)^2$，通分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(x + 2)(x - 2)}{x(x - 2)^2} - \frac{x(x - 1)}{x(x - 2)^2}\\&=\frac{x^2 - 4 - x^2 + x}{x(x - 2)^2}\\&= \frac{x - 4}{x(x - 2)^2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{\frac{2x}{x^2-1}}$；(2) $\boxed{\frac{2(2m-3)}{(m-3)(m+3)}}$；(3) $\boxed{\frac{x-4}{x(x-2)^2}}$
【知识点】
分式减法运算，因式分解，分式通分
【点评】
本题是分式运算的基础常规题，核心考查异分母分式减法的运算步骤，易错点为处理互为相反数的分母、去括号时符号出错，计算完成后需确认结果为最简分式。
【难度系数】
0.7

5. 若$a^2 -6a +9 + |b -1| =0$，则$( \frac{a}{b} - \frac{b}{a} ) ÷ (a + b)$的值为（）

A.$\frac{2}{3}$
B.$-\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$-\frac{3}{2}$

5. A

【分析】
解题时首先利用非负数的性质：完全平方数和绝对值的结果均为非负数，若两个非负数的和为0，则两个非负数各自为0，据此求出a、b的值；再对所求的分式代数式进行化简，将复杂的分式运算转化为最简形式后，代入a、b的值计算即可得到结果，化简后代入可减少计算量，降低出错概率。
【解析】
第一步：求a、b的值
对已知等式左边变形可得：$(a-3)^2 + |b-1| = 0$
∵ 平方数和绝对值均为非负数，即$(a-3)^2 ≥ 0$，$|b-1| ≥ 0$
∴ 仅当$a-3=0$且$b-1=0$时等式成立，解得$a=3$，$b=1$
第二步：化简所求代数式
$\begin{aligned}( \frac{a}{b} - \frac{b}{a} ) ÷ (a+b) &= \frac{a^2 - b^2}{ab} ÷ (a+b) \\&= \frac{(a+b)(a-b)}{ab} × \frac{1}{a+b} \\&= \frac{a-b}{ab}\end{aligned}$
第三步：代入求值
将$a=3$，$b=1$代入$\frac{a-b}{ab}$得：$\frac{3-1}{3 × 1} = \frac{2}{3}$
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质；分式的混合运算；因式分解
【点评】
本题属于基础题型，既考察了非负性的常见应用，也结合了分式化简求值的核心方法，解题时先化简再代入的思路能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.7

6. 某校教学楼建筑工地有$s \ t$渣土，用大渣土车每次能运走$a \ t$，用小渣土车每次能运走的渣土质量是大渣土车的$\frac{3}{5}$（均满载），用大、小渣土车同时运送，共需运次.

6. $\frac{5s}{8a}$

【分析】
解题可分三步思考：第一步，先根据小渣土车与大渣土车运载量的数量关系，求出小渣土车每次的运载量；第二步，计算大、小渣土车同时运送时，单次一共能运输的渣土总质量；第三步，用渣土的总质量除以两车单次合运的质量，即可得到需要运送的总次数，最后化简分式得到最终结果。
【解析】
解：1. 求小渣土车单次运载量
已知小渣土车每次运走的渣土质量是大渣土车的$\frac{3}{5}$，大渣土车每次运$a\ \mathrm{t}$，因此小渣土车每次运载量为$\frac{3}{5}a\ \mathrm{t}$。
2. 求两车合运的单次总运载量
大、小渣土车单次一共可运的质量为：
$a+\frac{3}{5}a=\frac{5a}{5}+\frac{3a}{5}=\frac{8a}{5}\ \mathrm{t}$
3. 求总运送次数
运送总次数=渣土总质量÷单次合运质量，代入数据得：
$s÷\frac{8a}{5}=s×\frac{5}{8a}=\frac{5s}{8a}$
【答案】
$\frac{5s}{8a}$
【知识点】
列代数式，分式运算
【点评】
本题结合实际运输场景考查代数式列式与分式化简，解题的核心是准确求出两车合运的单次运载量，计算时注意分式的加减、除法运算规则的正确应用，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

7. 已知 $a=\dfrac{3}{4}$，$b=-2$，求 $( \dfrac{a}{a-b} - \dfrac{a^2}{a^2 - 2ab + b^2} ) ÷ ( \dfrac{a}{a+b} - \dfrac{a^2}{a^2 - b^2} ) + 1$ 的值。

7. 解 原式 $= [ \frac{a}{a - b} - \frac{a^2}{(a - b)^2} ] ÷ [ \frac{a}{a + b} - \frac{a^2}{(a + b)(a - b)} ] + 1$
$=\frac{a(a - b) - a^2}{(a - b)^2} ÷ \frac{a(a - b) - a^2}{(a + b)(a - b)} + 1$
$=\frac{-ab}{(a - b)^2} · \frac{(a + b)(a - b)}{-ab} + 1$
$=\frac{a + b}{a - b} + 1 = \frac{2a}{a - b}$.
当 $a = \frac{3}{4},\ b = -2$ 时，原式 $= \frac{2a}{a - b} = \frac{2× \frac{3}{4}}{\frac{3}{4} - (-2)} = \frac{6}{11}$.

【分析】
这是一道分式化简求值题，解题遵循“先化简，再求值”的原则，可降低计算量、减少错误。首先对原式中各分式的分母利用完全平方公式、平方差公式因式分解，再分别计算两个括号内的分式减法，通分化为同分母分式后分子相加减，接着将除法运算转化为乘法运算，约分得到最简分式，最后代入a、b的数值计算结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
原式$=[ \frac{a}{a - b} - \frac{a^2}{(a - b)^2} ] ÷ [ \frac{a}{a + b} - \frac{a^2}{(a + b)(a - b)} ] + 1$
对括号内分式通分计算：
$=\frac{a(a - b) - a^2}{(a - b)^2} ÷ \frac{a(a - b) - a^2}{(a + b)(a - b)} + 1$
计算分子后将除法转为乘法：
$=\frac{-ab}{(a - b)^2} · \frac{(a + b)(a - b)}{-ab} + 1$
约分化简后合并：
$=\frac{a + b}{a - b} + 1 = \frac{a + b + a - b}{a - b} = \frac{2a}{a - b}$
将$a = \frac{3}{4},\ b = -2$代入化简后的式子：
原式$=\frac{2× \frac{3}{4}}{\frac{3}{4} - (-2)} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{11}{4}} = \frac{3}{2} × \frac{4}{11} = \frac{6}{11}$
【答案】
$\boxed{\dfrac{6}{11}}$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；代数式求值
【点评】
本题是分式运算的常规典型题，重点考查分式通分、约分、因式分解的熟练运用，计算过程中需注意符号处理，先化简再求值的思路能大幅提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.65