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9. 定义：$a^m$与$a^n$（$a≠0$，$m$，$n$都是正整数）叫作同底数幂，同底数幂除法记作$a^m÷a^n$.
运算法则如下：
$a^m÷a^n=\begin{cases}当\ m＞n\ 时，a^m÷a^n=a^{m-n}, \\当\ m=n\ 时，a^m÷a^n=1, \\当\ m＜n\ 时，a^m÷a^n=\dfrac{1}{a^{n-m}}.\end{cases}$
【解决问题】根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
（1）填空：$(\dfrac{1}{4})^4÷(\dfrac{1}{4})^2=$______，$2^3÷2^6=$______.
（2）如果$3÷3^{3x-4}=\dfrac{1}{27}$，求出$x$的值.
（3）如果$(7-2x)^{5x-1}÷(7-2x)^{x+7}=1$，请直接写出$x$的值.
运算法则如下：
$a^m÷a^n=\begin{cases}当\ m＞n\ 时，a^m÷a^n=a^{m-n}, \\当\ m=n\ 时，a^m÷a^n=1, \\当\ m＜n\ 时，a^m÷a^n=\dfrac{1}{a^{n-m}}.\end{cases}$
【解决问题】根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
（1）填空：$(\dfrac{1}{4})^4÷(\dfrac{1}{4})^2=$______，$2^3÷2^6=$______.
（2）如果$3÷3^{3x-4}=\dfrac{1}{27}$，求出$x$的值.
（3）如果$(7-2x)^{5x-1}÷(7-2x)^{x+7}=1$，请直接写出$x$的值.
答案
9. 解：
(1) $(\frac{1}{4})^4÷(\frac{1}{4})^2=(\frac{1}{4})^{4-2}=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，$2^3÷2^6=\frac{1}{2^{6-3}}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$. 故答案为$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{8}$.
(2) 根据题意，可得$3÷3^{3x-4}=\frac{1}{3^3}$，$3x-4-1=3$，解得$x=\frac{8}{3}$.
(3) 根据题意，可得$5x-1=x+7$或$7-2x=1$或$7-2x=-1$，解得$x=2$或3或4.
(1) $(\frac{1}{4})^4÷(\frac{1}{4})^2=(\frac{1}{4})^{4-2}=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，$2^3÷2^6=\frac{1}{2^{6-3}}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$. 故答案为$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{8}$.
(2) 根据题意，可得$3÷3^{3x-4}=\frac{1}{3^3}$，$3x-4-1=3$，解得$x=\frac{8}{3}$.
(3) 根据题意，可得$5x-1=x+7$或$7-2x=1$或$7-2x=-1$，解得$x=2$或3或4.
解析
【分析】
（1）第一问直接套用同底数幂除法法则计算：先确认底数相同，再比较指数大小，对应选择法则：被除数指数大于除数指数时直接算底数的指数差次幂，被除数指数小于除数指数时取倒数后算底数的指数差次幂。
（2）第二问先将等式左右两边统一为以3为底的幂的形式，根据右边是倒数形式，判断符合“m＜n时，商为底数的指数差的倒数”的法则，列出关于x的一元一次方程求解即可。
（3）第三问同底数幂相除得1，分三类情况讨论：① 两个幂的指数相等，此时商为1（底数不为0）；② 底数为1，1的任意次幂相除结果为1；③ 底数为-1，-1的奇次幂相除结果也为1，分别列方程求解后验证合理性即可。
【解析】
（1）计算$(\dfrac{1}{4})^4÷(\dfrac{1}{4})^2$：底数均为$\dfrac{1}{4}$，且$4＞2$，根据法则得$(\dfrac{1}{4})^{4-2}=(\dfrac{1}{4})^2=\dfrac{1}{16}$；
计算$2^3÷2^6$：底数均为2，且$3＜6$，根据法则得$\dfrac{1}{2^{6-3}}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}$。
（2）解：将原式变形为$3^1÷3^{3x-4}=\dfrac{1}{3^3}$，
由同底数幂除法法则，当被除数指数小于除数指数时，商为底数的“除数指数-被除数指数”次幂的倒数，因此可得：
$3x-4-1=3$
整理得$3x=8$，解得$x=\dfrac{8}{3}$。
（3）解：分三种情况讨论：
① 当两个幂的指数相等时：$5x-1=x+7$，解得$x=2$，此时底数$7-2x=3≠0$，符合条件；
② 当底数为1时：$7-2x=1$，解得$x=3$，1的任意次幂相除结果为1，符合条件；
③ 当底数为-1时：$7-2x=-1$，解得$x=4$，$(-1)^{19}÷(-1)^{11}=(-1)÷(-1)=1$，符合条件。
综上，x的值为2、3、4。
【答案】
（1）$\dfrac{1}{16}$，$\dfrac{1}{8}$；（2）$x=\dfrac{8}{3}$；（3）$x=2$或$3$或$4$
【知识点】
同底数幂的除法、一元一次方程的解法、分类讨论思想
【点评】
本题侧重考查对新定义运算法则的理解和应用能力，前两问属于基础应用，第三问需要全面考虑结果为1的所有可能情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
（1）第一问直接套用同底数幂除法法则计算：先确认底数相同，再比较指数大小，对应选择法则：被除数指数大于除数指数时直接算底数的指数差次幂，被除数指数小于除数指数时取倒数后算底数的指数差次幂。
（2）第二问先将等式左右两边统一为以3为底的幂的形式，根据右边是倒数形式，判断符合“m＜n时，商为底数的指数差的倒数”的法则，列出关于x的一元一次方程求解即可。
（3）第三问同底数幂相除得1，分三类情况讨论：① 两个幂的指数相等，此时商为1（底数不为0）；② 底数为1，1的任意次幂相除结果为1；③ 底数为-1，-1的奇次幂相除结果也为1，分别列方程求解后验证合理性即可。
【解析】
（1）计算$(\dfrac{1}{4})^4÷(\dfrac{1}{4})^2$：底数均为$\dfrac{1}{4}$，且$4＞2$，根据法则得$(\dfrac{1}{4})^{4-2}=(\dfrac{1}{4})^2=\dfrac{1}{16}$；
计算$2^3÷2^6$：底数均为2，且$3＜6$，根据法则得$\dfrac{1}{2^{6-3}}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}$。
（2）解：将原式变形为$3^1÷3^{3x-4}=\dfrac{1}{3^3}$，
由同底数幂除法法则，当被除数指数小于除数指数时，商为底数的“除数指数-被除数指数”次幂的倒数，因此可得：
$3x-4-1=3$
整理得$3x=8$，解得$x=\dfrac{8}{3}$。
（3）解：分三种情况讨论：
① 当两个幂的指数相等时：$5x-1=x+7$，解得$x=2$，此时底数$7-2x=3≠0$，符合条件；
② 当底数为1时：$7-2x=1$，解得$x=3$，1的任意次幂相除结果为1，符合条件；
③ 当底数为-1时：$7-2x=-1$，解得$x=4$，$(-1)^{19}÷(-1)^{11}=(-1)÷(-1)=1$，符合条件。
综上，x的值为2、3、4。
【答案】
（1）$\dfrac{1}{16}$，$\dfrac{1}{8}$；（2）$x=\dfrac{8}{3}$；（3）$x=2$或$3$或$4$
【知识点】
同底数幂的除法、一元一次方程的解法、分类讨论思想
【点评】
本题侧重考查对新定义运算法则的理解和应用能力，前两问属于基础应用，第三问需要全面考虑结果为1的所有可能情况，避免漏解。
【难度系数】
0.65
10. (2025·山东) 已知$a≠0$，则下列运算正确的是（
A.$-2a+3a=5a$
B.$(-2a^3)^2=4a^6$
C.$a^2 - a = a$
D.$a^6 ÷ a^2 = a^3$
B
）A.$-2a+3a=5a$
B.$(-2a^3)^2=4a^6$
C.$a^2 - a = a$
D.$a^6 ÷ a^2 = a^3$
答案
10. B
解析
【分析】
本题考查整式的基础运算，解题时需逐个选项对应相关运算法则判断正误：首先回忆合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂除法的运算规则，依次验证四个选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，因此$-2a+3a=(-2+3)a=a≠5a$，A错误；
B选项：根据积的乘方法则，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，结合幂的乘方（底数不变，指数相乘）可得：$(-2a^3)^2=(-2)^2×(a^3)^2=4a^{3×2}=4a^6$，B正确；
C选项：$a^2$与$a$所含字母相同但相同字母的指数不同，不是同类项，不能直接合并，C错误；
D选项：根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，因此$a^6÷ a^2=a^{6-2}=a^4≠ a^3$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查对各类整式运算法则的掌握熟练度，解题的关键是准确区分不同运算的指数变化规则，避免混淆法则导致出错，这类基础运算题是后续学习整式化简、因式分解等内容的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的基础运算，解题时需逐个选项对应相关运算法则判断正误：首先回忆合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂除法的运算规则，依次验证四个选项，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，因此$-2a+3a=(-2+3)a=a≠5a$，A错误；
B选项：根据积的乘方法则，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，结合幂的乘方（底数不变，指数相乘）可得：$(-2a^3)^2=(-2)^2×(a^3)^2=4a^{3×2}=4a^6$，B正确；
C选项：$a^2$与$a$所含字母相同但相同字母的指数不同，不是同类项，不能直接合并，C错误；
D选项：根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，因此$a^6÷ a^2=a^{6-2}=a^4≠ a^3$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查对各类整式运算法则的掌握熟练度，解题的关键是准确区分不同运算的指数变化规则，避免混淆法则导致出错，这类基础运算题是后续学习整式化简、因式分解等内容的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
11. (2025·广安) 下列各式运算结果为$a^6$的是（
A.$a^3· a^3$
B.$(a^2)^4$
C.$a^3+a^3$
D.$a^{10}÷ a^3$
A
）A.$a^3· a^3$
B.$(a^2)^4$
C.$a^3+a^3$
D.$a^{10}÷ a^3$
答案
11. A
解析
【分析】
本题考查整式的相关运算，解题思路是逐一运用对应的运算法则计算每个选项的结果，再选出结果为$a^6$的选项。需要用到的核心法则有：同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减，依次计算各选项即可。
【解析】
我们逐个计算各选项的运算结果：
选项A：根据同底数幂的乘法法则，$a^3·a^3=a^{3+3}=a^6$，符合要求；
选项B：根据幂的乘方法则，$(a^2)^4=a^{2×4}=a^8$，不符合要求；
选项C：根据合并同类项法则，$a^3+a^3=(1+1)a^3=2a^3$，不符合要求；
选项D：根据同底数幂的除法法则，$a^{10}÷a^3=a^{10-3}=a^7$，不符合要求。
综上，只有选项A的运算结果为$a^6$。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘除运算；幂的乘方运算；合并同类项
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查整式运算的核心法则，解题时要注意区分不同运算的指数计算规则，避免混淆幂的乘方和同底数幂乘除的指数运算规律。
【难度系数】
0.9
本题考查整式的相关运算，解题思路是逐一运用对应的运算法则计算每个选项的结果，再选出结果为$a^6$的选项。需要用到的核心法则有：同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减，依次计算各选项即可。
【解析】
我们逐个计算各选项的运算结果：
选项A：根据同底数幂的乘法法则，$a^3·a^3=a^{3+3}=a^6$，符合要求；
选项B：根据幂的乘方法则，$(a^2)^4=a^{2×4}=a^8$，不符合要求；
选项C：根据合并同类项法则，$a^3+a^3=(1+1)a^3=2a^3$，不符合要求；
选项D：根据同底数幂的除法法则，$a^{10}÷a^3=a^{10-3}=a^7$，不符合要求。
综上，只有选项A的运算结果为$a^6$。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘除运算；幂的乘方运算；合并同类项
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查整式运算的核心法则，解题时要注意区分不同运算的指数计算规则，避免混淆幂的乘方和同底数幂乘除的指数运算规律。
【难度系数】
0.9
12. (2024·重庆) 计算：$|-2|+3^0=$
3
.答案
12. 3
解析
【分析】
拿到这道题首先观察算式结构，是绝对值与零指数幂的加法运算，我们可以拆分计算：首先回忆绝对值的运算规则，负数的绝对值是它的相反数，据此算出$|-2|$的结果；再回忆零指数幂的性质，任何不等于0的数的0次幂都等于1，据此算出$3^0$的结果；最后把两个结果相加就得到最终答案。
【解析】
第一步：计算绝对值，根据负数的绝对值等于它的相反数，可得$|-2|=2$；
第二步：计算零指数幂，因为3≠0，根据非零数的零次幂等于1的性质，可得$3^0=1$；
第三步：计算两部分的和，$2+1=3$。
【答案】
3
【知识点】
绝对值运算；零指数幂运算；有理数加法
【点评】
本题属于基础运算类题目，侧重考查对基础运算性质的记忆与应用，只要牢记相关运算规则就能快速得分。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先观察算式结构，是绝对值与零指数幂的加法运算，我们可以拆分计算：首先回忆绝对值的运算规则，负数的绝对值是它的相反数，据此算出$|-2|$的结果；再回忆零指数幂的性质，任何不等于0的数的0次幂都等于1，据此算出$3^0$的结果；最后把两个结果相加就得到最终答案。
【解析】
第一步：计算绝对值，根据负数的绝对值等于它的相反数，可得$|-2|=2$；
第二步：计算零指数幂，因为3≠0，根据非零数的零次幂等于1的性质，可得$3^0=1$；
第三步：计算两部分的和，$2+1=3$。
【答案】
3
【知识点】
绝对值运算；零指数幂运算；有理数加法
【点评】
本题属于基础运算类题目，侧重考查对基础运算性质的记忆与应用，只要牢记相关运算规则就能快速得分。
【难度系数】
0.9
13. (2024·天津) 计算 $ x^8 ÷ x^6 $ 的结果为
$x^2$
.答案
13. $x^2$
解析
【分析】
解题时首先观察式子特征，发现是底数相同的两个幂做除法运算，对应同底数幂的除法运算法则，只需要按照“底数不变，指数相减”的规则计算即可。首先确认两个幂的底数都是x，属于同底数幂相除的场景，直接代入法则计算指数的差就能得到结果。
【解析】
根据同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，公式为$\boldsymbol{a^m ÷ a^n = a^{m-n}}$（$a≠0$，$m、n$为正整数，且$m＞n$）。
本题中$a=x$，$m=8$，$n=6$，代入公式可得：
$x^8 ÷ x^6 = x^{8-6}=x^2$
【答案】
$x^2$
【知识点】
同底数幂的除法运算
【点评】
本题属于基础运算题，直接考查同底数幂除法法则的应用，熟练掌握相关运算法则即可快速得到正确结果，是整式乘除模块的基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察式子特征，发现是底数相同的两个幂做除法运算，对应同底数幂的除法运算法则，只需要按照“底数不变，指数相减”的规则计算即可。首先确认两个幂的底数都是x，属于同底数幂相除的场景，直接代入法则计算指数的差就能得到结果。
【解析】
根据同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，公式为$\boldsymbol{a^m ÷ a^n = a^{m-n}}$（$a≠0$，$m、n$为正整数，且$m＞n$）。
本题中$a=x$，$m=8$，$n=6$，代入公式可得：
$x^8 ÷ x^6 = x^{8-6}=x^2$
【答案】
$x^2$
【知识点】
同底数幂的除法运算
【点评】
本题属于基础运算题，直接考查同底数幂除法法则的应用，熟练掌握相关运算法则即可快速得到正确结果，是整式乘除模块的基础题型。
【难度系数】
0.9
