【知识点1】平方差公式
两个数的与这两个数的的积，等于这两个数的.即$(a+b)(a-b)=$.

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

【分析】
本题是对平方差公式基础概念的考查，属于识记类题型。解题时只需回忆平方差公式的完整表述即可：首先明确公式左侧的运算结构是两个数的和与这两个数的差相乘，运算结果是这两个数的平方做差，也就是平方差，对应空缺位置依次填入对应内容即可。
【解析】
根据平方差公式的定义：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，对应的代数表达式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，按照空缺顺序依次填入对应内容即可。
【答案】
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验对平方差公式基本内容的记忆掌握程度，是后续运用平方差公式进行计算、化简等题型的核心基础，需要熟练牢记其文字表述和代数表达形式。
【难度系数】
0.9

1. 计算$(a+2)(a-2)$的结果是（）

A.$a^2-2$
B.$a^2+2$
C.$a^2-4$
D.$a^2+4$

1. C

【分析】
观察算式结构，是两个二项式相乘，其中相同项为$a$，互为相反数的项为$2$和$-2$，完全符合平方差公式的结构特征，可直接套用平方差公式计算；也可以通过多项式乘多项式的运算法则展开，合并同类项后得到结果。
【解析】
方法一：套用平方差公式计算
平方差公式为：$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，本题中$m=a$，$n=2$，代入公式得：
$(a+2)(a-2)=a^2 - 2^2 = a^2 -4$
方法二：多项式乘多项式展开计算
根据多项式乘多项式法则，逐项相乘再合并同类项：
$(a+2)(a-2)=a· a - a·2 + 2· a - 2×2 = a^2 -2a +2a -4 = a^2 -4$
综上，计算结果为$a^2-4$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式、整式乘法运算
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别和应用能力，牢记公式特征即可快速解题，也可通过常规多项式乘法验证结果，避免记错公式出错。
【难度系数】
0.9

2. 在下列多项式乘法中，不能用平方差公式计算的是（）

A.$(a-b)(-a+b)$
B.$(m^3-n^3)(m^3+n^3)$
C.$(-7-x)(7-x)$
D.$(x^2-y^2)(y^2+x^2)$

2. A

【分析】
解题前首先要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，满足该特征即可用平方差公式计算。解题时逐一分析每个选项的两个因式，判断是否存在相同项和相反项即可得出答案。
【解析】
平方差公式为$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，特征是：两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数。
选项A：$(a-b)(-a+b)=(a-b)×[-(a-b)]=-(a-b)^2$，两个因式的两项均互为相反数，无相同项，不能用平方差公式计算，符合题意；
选项B：$(m^3-n^3)(m^3+n^3)$中，相同项是$m^3$，相反项是$-n^3$和$n^3$，符合平方差公式特征，可以用平方差公式计算，不符合题意；
选项C：$(-7-x)(7-x)=(-x-7)(-x+7)$，相同项是$-x$，相反项是$-7$和$7$，符合平方差公式特征，可以用平方差公式计算，不符合题意；
选项D：$(x^2-y^2)(y^2+x^2)=(x^2-y^2)(x^2+y^2)$，相同项是$x^2$，相反项是$-y^2$和$y^2$，符合平方差公式特征，可以用平方差公式计算，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，整式乘法
【点评】
本题核心考查平方差公式的结构识别，只有准确掌握公式中相同项、相反项的特征，才能快速判断能否用公式计算，属于基础概念应用型题目。
【难度系数】
0.8

3. 计算：
(1) $(2a+5b)(2a-5b)$；
(2) $(4y+3x)(3x-4y)$。

(1) $4a^2-25b^2$ (2) $9x^2-16y^2$

【分析】
这两道题均考查平方差公式的应用，解题思路如下：首先观察式子结构，两个多项式相乘都符合“两个数的和与这两个数的差相乘”的平方差公式特征；其次分别找到每个式子中的相同项作为公式中的$a$，互为相反数的项作为公式中的$b$；最后代入平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$计算化简即可。其中第(2)题可先调整项的顺序，更易识别相同项和相反项。
【解析】
(1) 观察式子$(2a+5b)(2a-5b)$，相同项为$2a$，相反项为$5b$和$-5b$，符合平方差公式结构，代入公式计算：
$\begin{aligned}(2a+5b)(2a-5b)&=(2a)^2 - (5b)^2\\&=4a^2 - 25b^2\end{aligned}$
(2) 先调整式子$(4y+3x)(3x-4y)$的项的顺序，得到$(3x+4y)(3x-4y)$，其中相同项为$3x$，相反项为$4y$和$-4y$，代入平方差公式计算：
$\begin{aligned}(4y+3x)(3x-4y)&=(3x+4y)(3x-4y)\\&=(3x)^2 - (4y)^2\\&=9x^2 - 16y^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $4a^2-25b^2$；(2) $9x^2-16y^2$
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题属于平方差公式的基础应用类题目，解题关键是准确识别两个因式中的相同项和相反项，计算时要注意项的系数也要进行乘方运算，避免出现漏算系数的错误，熟练掌握公式结构特征是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.85

运用平方差公式计算：
(1) $2001 × 1999$；
(2) $(p+q)(p^2+q^2)(p-q)$。

(1) 3 999 999 (2) $p^4-q^4$

【分析】
这两道题均考查平方差公式的应用，平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，解题核心是将算式变形为符合平方差公式的“两数和乘两数差”的结构：
(1) 观察$2001$和$1999$，二者均与$2000$相差$1$，可分别改写为$2000+1$和$2000-1$，直接套用平方差公式简便计算；
(2) 利用乘法交换律，先计算$(p+q)(p-q)$得到$p^2-q^2$，此时新得到的式子与$(p^2+q^2)$又符合平方差公式的结构，再次套用公式即可得到结果。
【解析】
(1) 计算$2001×1999$：
$\begin{aligned}2001×1999&=(2000+1)×(2000-1)\\&=2000^2 - 1^2\\&=4000000 - 1\\&=3999999\end{aligned}$
(2) 计算$(p+q)(p^2+q^2)(p-q)$：
$\begin{aligned}(p+q)(p^2+q^2)(p-q)&=[(p+q)(p-q)]×(p^2+q^2)\\&=(p^2 - q^2)(p^2 + q^2)\\&=(p^2)^2 - (q^2)^2\\&=p^4 - q^4\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{3999999}$；(2) $\boxed{p^4 - q^4}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 乘法交换律
3. 整式简便运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，解题的关键是准确识别或构造出“两数和与两数差相乘”的公式结构，必要时可多次运用平方差公式简化运算，有助于提升学生的简便运算能力和公式运用熟练度。
【难度系数】
0.8

【例】如图，从边长为$a$的正方形$ABCD$中剪去一个边长为$b$的正方形$CGEF$.
(1) 若$a-b=3$，$a^2-b^2=21$，求$a+b$的值.
(2) 请根据图中阴影部分面积验证平方差公式.
(3) 计算：$(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})×···×(1+\frac{1}{2^{32}})$.
【点拨】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的
关键. (1) 根据$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$进行计算即可. (2) 利用裁剪拼图得出平方差公式即可.
(3) 将原式化为$2×(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})×···×(1+\frac{1}{2^{32}})$，再连续利用平方差公式进行计算即可.

解：
(1) $\because a-b=3$, $a^2-b^2=21$, 即 $(a+b)(a-b)=21$, $\therefore a+b=7$.
(2) 如图，将图1沿着虚线裁剪可以拼成图2的长方形，图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即 $a^2-b^2$, 拼成的图2是长为 $a+b$, 宽为 $a-b$ 的长方形，因此面积为 $(a+b)(a-b)$, $\therefore$ 有 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.
(3) 原式$=2×(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^4})$
$×(1+\frac{1}{2^8})×\dots×(1+\frac{1}{2^{32}})=2×(1-\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^4})$
$×(1+\frac{1}{2^8})×\dots×(1+\frac{1}{2^{32}})$
$=2×(1-\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})×\dots×(1+\frac{1}{2^{32}})$
$=2×(1-\frac{1}{2^8})×(1+\frac{1}{2^8})×\dots×(1+\frac{1}{2^{32}})$
$=2×(1-\frac{1}{2^{64}})$
$=2-\frac{1}{2^{63}}$.

【分析】
(1) 第一问可直接利用平方差公式的逆用形式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将已知的$a-b=3$和$a^2-b^2=21$代入等式，即可求出$a+b$的值。
(2) 第二问采用等面积法验证：先计算原图形阴影部分的面积，即边长为$a$的大正方形面积减去边长为$b$的小正方形面积，结果为$a^2-b^2$；再将阴影部分裁剪拼接成长方形，计算拼接后长方形的面积为$(a+b)(a-b)$，根据拼接前后面积相等即可验证平方差公式。
(3) 第三问为连乘运算，观察各因式均为“两数和”的形式，符合平方差公式的结构特征，可在原式前乘$2×(1-\frac{1}{2})$（该式的值为1，不改变原式大小），随后连续运用平方差公式逐步化简，即可得到最终结果。
【解析】
(1) 根据平方差公式可得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，
将$a-b=3$，$a^2-b^2=21$代入上式，得$3(a+b)=21$，
解得$a+b=7$。
(2) 原图形中阴影部分面积为大正方形与小正方形的面积差，即$S_{\mathrm{阴影}}=a^2-b^2$；
将阴影部分沿虚线裁剪后拼成长方形，该长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，因此面积为$S_{\mathrm{长方形}}=(a+b)(a-b)$；
由于裁剪拼接前后阴影部分的面积不变，因此$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，平方差公式得证。
(3) 对原式变形后连续运用平方差公式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})×\dots×(1+\frac{1}{2^{32}})\\&=2×(1-\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^2})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})×\dots×(1+\frac{1}{2^{32}})\\&=2×(1-\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^4})×(1+\frac{1}{2^8})×\dots×(1+\frac{1}{2^{32}})\\&=2×(1-\frac{1}{2^8})×(1+\frac{1}{2^8})×\dots×(1+\frac{1}{2^{32}})\\&=2×(1-\frac{1}{2^{64}})\\&=2-\frac{1}{2^{63}}\end{aligned}$
【答案】
(1) $a+b=7$
(2) 如图，将图1沿着虚线裁剪可以拼成图2的长方形，图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即 $a^2-b^2$, 拼成的图2是长为 $a+b$, 宽为 $a-b$ 的长方形，因此面积为 $(a+b)(a-b)$, $\therefore$ 有 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
(3) $2-\frac{1}{2^{63}}$
【知识点】
平方差公式，面积法验证公式，简便运算
【点评】
本题从代数应用、几何验证、简便计算三个维度考查平方差公式，既要求掌握公式的基本结构，又需要理解公式的几何意义，同时还要能灵活变形运用公式解决计算问题，对公式的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65