1. 计算结果为$\frac{4}{25}a^2 -9b^2$的是（）

A.$(\frac{2}{5}a+9b)(\frac{2}{5}a-9b)$
B.$(\frac{4}{5}a+3b)(\frac{4}{5}a-3b)$
C.$(\frac{2}{25}a+3b)(\frac{2}{25}a-3b)$
D.$(\frac{2}{5}a+3b)(\frac{2}{5}a-3b)$

1. D

【分析】
本题给出的计算结果是两个平方项的差，符合平方差公式的特征，解题时可从两个方向思考：一是逆用平方差公式，将结果因式分解得到对应的乘积式，再匹配选项；二是正向运用平方差公式，将每个选项展开，和题目给出的结果比对即可得到正确答案。
【解析】
方法一：逆用平方差公式
平方差公式为：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$。
先将原式变形为平方差的形式：
$\frac{4}{25}a^2-9b^2=(\frac{2}{5}a)^2-(3b)^2$
套用公式分解得：$(\frac{2}{5}a+3b)(\frac{2}{5}a-3b)$，对应选项D。
方法二：正向展开选项验证
根据平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$展开各选项：
A选项：$(\frac{2}{5}a+9b)(\frac{2}{5}a-9b)=(\frac{2}{5}a)^2-(9b)^2=\frac{4}{25}a^2-81b^2$，不符合；
B选项：$(\frac{4}{5}a+3b)(\frac{4}{5}a-3b)=(\frac{4}{5}a)^2-(3b)^2=\frac{16}{25}a^2-9b^2$，不符合；
C选项：$(\frac{2}{25}a+3b)(\frac{2}{25}a-3b)=(\frac{2}{25}a)^2-(3b)^2=\frac{4}{625}a^2-9b^2$，不符合；
D选项：$(\frac{2}{5}a+3b)(\frac{2}{5}a-3b)=(\frac{2}{5}a)^2-(3b)^2=\frac{4}{25}a^2-9b^2$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用，既可以逆用公式分解因式得到结果，也可以正向展开选项验证，解题关键是准确识别平方项的底数，熟练掌握平方差公式的结构特征。
【难度系数】
0.8

2. 计算： (1) $(5x-2y)(2y+5x)=$；
(2) $-(8a+7b)(8a-7b)=$。

2. (1) $25x^2-4y^2$ (2) $-64a^2+49b^2$

【分析】
本题考查平方差公式的应用，解题思路如下：首先回忆平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$。解题时先找出每个小题两个因式中的相同项（对应公式中的$a$）和互为相反数的项（对应公式中的$b$），再代入公式计算，最后根据符号要求化简即可。
【解析】
(1) 先调整因式的顺序，将原式变形为符合平方差公式的形式：
$(5x-2y)(2y+5x)=(5x-2y)(5x+2y)$
其中相同项为$5x$，互为相反数的项为$2y$和$-2y$，代入平方差公式计算：
原式$=(5x)^2 - (2y)^2=25x^2 - 4y^2$。
(2) 先计算括号内的平方差运算，再处理前面的负号：
先算$(8a+7b)(8a-7b)$，其中相同项为$8a$，互为相反数的项为$7b$和$-7b$，代入平方差公式得：
$(8a+7b)(8a-7b)=(8a)^2 - (7b)^2=64a^2 - 49b^2$
再添加前面的负号，去括号化简：
原式$=-(64a^2 - 49b^2)=-64a^2 + 49b^2$。
【答案】
(1) $25x^2-4y^2$；(2) $-64a^2+49b^2$
【知识点】
平方差公式；去括号法则
【点评】
本题是平方差公式应用的基础题型，解题核心是准确区分两个因式中的相同项和相反项，计算时要注意系数的乘方运算和符号处理，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8

3. 填上适当的代数式，使等式成立.
(1) $(x+2)(\_\_\_\_\_\_)=x^2-4;$
(2) $(\_\_\_\_\_\_)(-x-2y)=x^2-4y^2.$

(1) $x-2$ (2) $-x+2y$

【分析】
这两道题考查平方差公式的逆用，解题思路如下：首先回忆平方差公式的结构：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即$\boxed{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$。我们可以先将等号右侧的多项式整理成平方差的形式，再对照左侧已给出的因式，即可推导出空缺的代数式，解题时要准确识别对应项、注意符号变化。
【解析】
(1) 先对等号右侧的多项式变形：$x^2 - 4 = x^2 - 2^2$，根据平方差公式逆用可得$x^2 - 2^2 = (x+2)(x-2)$，对照左侧已知因式$(x+2)$，可知空缺处为$x-2$。
(2) 先对等号右侧的多项式变形：$x^2 - 4y^2 = x^2 - (2y)^2$，我们可将其改写为$(-x)^2 - (2y)^2$，根据平方差公式逆用可得$(-x)^2 - (2y)^2 = (-x + 2y)(-x - 2y)$，对照左侧已知因式$(-x-2y)$，可知空缺处为$-x + 2y$。
【答案】
(1) $\boxed{x-2}$；(2) $\boxed{-x+2y}$
【知识点】
平方差公式；整式乘法逆用；代数式恒等变形
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握平方差公式的结构特征，解题时要注意公式中的$a$、$b$既可以是单独的数、字母，也可以是代数式，尤其要注意项的符号，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.7

4. 计算：
(1) $(2b - 3a)(-2b - 3a)$；
(2) $(-3a - \frac{1}{2}b)(3a - \frac{1}{2}b)$

(1) $9a^2-4b^2$ (2) $-9a^2+\frac{1}{4}b^2$

【分析】
本题考查平方差公式的应用，解题思路如下：①回忆平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，公式的特点是两个因式中存在一组相同的项、一组互为相反数的项，计算结果为相同项的平方减去相反项的平方；②分别对两个小题的因式拆分，找出其中的相同项和相反项；③将对应项代入平方差公式计算，化简得到最终结果。
【解析】
(1) 拆分因式可知，两个因式中相同项是$-3a$，相反项是$2b$和$-2b$，将原式变形为平方差公式标准形式计算：
$\begin{aligned}(2b - 3a)(-2b - 3a)&=(-3a + 2b)(-3a - 2b)\\&=(-3a)^2 - (2b)^2\\&=9a^2 - 4b^2\end{aligned}$
(2) 拆分因式可知，两个因式中相同项是$-\frac{1}{2}b$，相反项是$-3a$和$3a$，变形后代入公式计算：
$\begin{aligned}(-3a - \frac{1}{2}b)(3a - \frac{1}{2}b)&=(-\frac{1}{2}b - 3a)(-\frac{1}{2}b + 3a)\\&=(-\frac{1}{2}b)^2 - (3a)^2\\&=\frac{1}{4}b^2 - 9a^2\\&=-9a^2 + \frac{1}{4}b^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $9a^2-4b^2$ (2) $-9a^2+\frac{1}{4}b^2$
【知识点】
平方差公式、整式乘法运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题的核心是准确识别两个因式中的相同项和相反项，计算时要注意项的系数也要同步平方，避免出现仅对字母平方、漏算系数平方的错误。
【难度系数】
0.8

5. 先化简，再求值：$x(x-2)-(x+1)(x-1)$，其中 $x=1012$.

5. 解：原式$=1-2x$, 代入 $x=1 012$, 原式$=-2 023$.

【分析】
解这道化简求值题可分两步进行：第一步先化简整式，第二步代入数值计算。化简时先分别处理两部分整式乘法：①对于$x(x-2)$，使用单项式乘多项式的法则展开；②对于$(x+1)(x-1)$，观察发现它符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，可直接用公式简化计算。展开后注意第二部分前面是减号，去括号时要改变括号内每一项的符号，最后合并同类项得到最简式，再代入$x=1012$计算即可得到结果。
【解析】
解：原式$=x^2 - 2x - (x^2 - 1)$
$=x^2 - 2x - x^2 + 1$
$=1 - 2x$
当$x=1012$时，
原式$=1 - 2×1012$
$=1 - 2024$
$=-2023$
【答案】
$-2023$
【知识点】
平方差公式，单项式乘多项式，整式化简求值
【点评】
本题属于基础整式运算题，重点考查整式乘法法则及平方差公式的应用，解题时需注意去括号的符号规则，先化简再代入求值可减少计算量，降低出错概率。
【难度系数】
0.85