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9.如图,在△ABC中,D,F是AB的三等分点,且DE//FG//BC。
(1)若DE=2,求BC的长。
(2)求S△ADE:S△AFG:S△ABC。
(1)若DE=2,求BC的长。
(2)求S△ADE:S△AFG:S△ABC。
答案
解：
(1) ∵ D，F是AB的三等分点，
∴ $AD = DF = FB$，即 $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$。
∵ $DE// BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$。
∵ $DE=2$，
∴ $\frac{2}{BC}=\frac{1}{3}$，解得 $BC=6$。
(2) 由题意得 $AD:AF:AB = 1:2:3$，
∵ $DE// FG// BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ AFG ∽ △ ABC$，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ADE}:S_{△ AFG}:S_{△ ABC} = 1^2:2^2:3^2 = 1:4:9$。
答：(1) BC的长为6；(2) 三个三角形的面积比为1:4:9。
(1) ∵ D，F是AB的三等分点，
∴ $AD = DF = FB$，即 $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$。
∵ $DE// BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$。
∵ $DE=2$，
∴ $\frac{2}{BC}=\frac{1}{3}$，解得 $BC=6$。
(2) 由题意得 $AD:AF:AB = 1:2:3$，
∵ $DE// FG// BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ AFG ∽ △ ABC$，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ADE}:S_{△ AFG}:S_{△ ABC} = 1^2:2^2:3^2 = 1:4:9$。
答：(1) BC的长为6；(2) 三个三角形的面积比为1:4:9。
解析
【分析】
解决第(1)问的思路：首先根据D、F是AB的三等分点，得出AD与AB的比值；再由DE平行BC，判定△ADE和△ABC相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知DE的长度即可求出BC的长。
解决第(2)问的思路：由DE、FG都和BC平行，可判定△ADE、△AFG、△ABC两两相似，先确定三个三角形的相似比为1:2:3，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出三个三角形的面积比。
【解析】
(1)
∵ D，F是AB的三等分点，
∴ $AD = DF = FB$，即 $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$。
∵ $DE// BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$。
∵ $DE=2$，
∴ $\frac{2}{BC}=\frac{1}{3}$，解得 $BC=6$。
(2) 由题意得 $AD:AF:AB = 1:2:3$，
∵ $DE// FG// BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ AFG ∽ △ ABC$，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ADE}:S_{△ AFG}:S_{△ ABC} = 1^2:2^2:3^2 = 1:4:9$。
【答案】
(1) BC的长为6；(2) $S_{△ ADE}:S_{△ AFG}:S_{△ ABC}=1:4:9$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形对应边成比例，相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题核心是熟练掌握平行线判定三角形相似的方法，以及相似三角形边长比、面积比和相似比的关系，整体运算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问的思路：首先根据D、F是AB的三等分点，得出AD与AB的比值；再由DE平行BC，判定△ADE和△ABC相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知DE的长度即可求出BC的长。
解决第(2)问的思路：由DE、FG都和BC平行，可判定△ADE、△AFG、△ABC两两相似，先确定三个三角形的相似比为1:2:3，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出三个三角形的面积比。
【解析】
(1)
∵ D，F是AB的三等分点，
∴ $AD = DF = FB$，即 $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$。
∵ $DE// BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$。
∵ $DE=2$，
∴ $\frac{2}{BC}=\frac{1}{3}$，解得 $BC=6$。
(2) 由题意得 $AD:AF:AB = 1:2:3$，
∵ $DE// FG// BC$，
∴ $△ ADE ∽ △ AFG ∽ △ ABC$，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ADE}:S_{△ AFG}:S_{△ ABC} = 1^2:2^2:3^2 = 1:4:9$。
【答案】
(1) BC的长为6；(2) $S_{△ ADE}:S_{△ AFG}:S_{△ ABC}=1:4:9$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形对应边成比例，相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题核心是熟练掌握平行线判定三角形相似的方法，以及相似三角形边长比、面积比和相似比的关系，整体运算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
10. 提升题 如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，E是AC 的中点，ED 的延长线与 CB的延长线交于点 F。
(1)求证:△FDC∽△FBD。
(2)若 FD=6√5，FB=10，求 BC 的长。
(1)求证:△FDC∽△FBD。
(2)若 FD=6√5，FB=10，求 BC 的长。
答案
(1) 证明：
∵ $CD ⊥ AB$，
∴ $∠ ADC = 90°$。
∵ $E$ 是 $AC$ 的中点，
∴ $DE = AE = \frac{1}{2}AC$，
∴ $∠ A = ∠ ADE$。
又∵ $∠ ADE = ∠ FDB$，
∴ $∠ A = ∠ FDB$。
∵ $∠ ACB = 90°$，$CD ⊥ AB$，
∴ $∠ A + ∠ ACD = 90°$，$∠ FCD + ∠ ACD = 90°$，
∴ $∠ A = ∠ FCD$，
∴ $∠ FDB = ∠ FCD$。
又∵ $∠ F = ∠ F$，
∴ $△ FDC ∽ △ FBD$。
---
(2) 解：
∵ $△ FDC ∽ △ FBD$，
∴ $\frac{FD}{FB} = \frac{FC}{FD}$，即 $FD^2 = FB · FC$。
将 $FD=6\sqrt{5}$，$FB=10$ 代入得：
$(6\sqrt{5})^2 = 10 · FC$
解得 $FC = 18$。
∴ $BC = FC - FB = 18 - 10 = 8$。
答：$BC$ 的长为 $\boldsymbol{8}$。
∵ $CD ⊥ AB$，
∴ $∠ ADC = 90°$。
∵ $E$ 是 $AC$ 的中点，
∴ $DE = AE = \frac{1}{2}AC$，
∴ $∠ A = ∠ ADE$。
又∵ $∠ ADE = ∠ FDB$，
∴ $∠ A = ∠ FDB$。
∵ $∠ ACB = 90°$，$CD ⊥ AB$，
∴ $∠ A + ∠ ACD = 90°$，$∠ FCD + ∠ ACD = 90°$，
∴ $∠ A = ∠ FCD$，
∴ $∠ FDB = ∠ FCD$。
又∵ $∠ F = ∠ F$，
∴ $△ FDC ∽ △ FBD$。
---
(2) 解：
∵ $△ FDC ∽ △ FBD$，
∴ $\frac{FD}{FB} = \frac{FC}{FD}$，即 $FD^2 = FB · FC$。
将 $FD=6\sqrt{5}$，$FB=10$ 代入得：
$(6\sqrt{5})^2 = 10 · FC$
解得 $FC = 18$。
∴ $BC = FC - FB = 18 - 10 = 8$。
答：$BC$ 的长为 $\boldsymbol{8}$。
解析
【分析】
(1) 要证明△FDC∽△FBD，依据相似三角形的判定定理，找到两组对应角相等即可。首先两个三角形有公共角∠F，只需再证一组对应角相等：已知CD⊥AB得△ADC为直角三角形，结合E是AC中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得DE=AE，推出∠A=∠ADE，再通过对顶角相等将∠ADE转化为∠FDB；接下来利用同角的余角相等，由∠ACB=90°、CD⊥AB可证∠A=∠FCD，等量代换得∠FDB=∠FCD，结合公共角即可证明相似。
(2) 求BC的长可利用第一问的相似结论，根据相似三角形对应边成比例得到FD²=FB·FC，先代入已知数据求出FC的长度，再通过BC=FC-FB即可算出BC的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ $CD ⊥ AB$，
∴ $∠ ADC = 90°$。
∵ $E$ 是 $AC$ 的中点，
∴ $DE = AE = \frac{1}{2}AC$，
∴ $∠ A = ∠ ADE$。
又
∵ $∠ ADE = ∠ FDB$（对顶角相等），
∴ $∠ A = ∠ FDB$。
∵ $∠ ACB = 90°$，$CD ⊥ AB$，
∴ $∠ A + ∠ ACD = 90°$，$∠ FCD + ∠ ACD = 90°$，
∴ $∠ A = ∠ FCD$（同角的余角相等），
∴ $∠ FDB = ∠ FCD$。
又
∵ $∠ F = ∠ F$（公共角），
∴ $△ FDC ∽ △ FBD$。
(2) 解：
∵ $△ FDC ∽ △ FBD$，
∴ $\frac{FD}{FB} = \frac{FC}{FD}$，即 $FD^2 = FB · FC$。
将 $FD=6\sqrt{5}$，$FB=10$ 代入得：
$(6\sqrt{5})^2 = 10 · FC$
计算得$180=10FC$，
解得 $FC = 18$。
∴ $BC = FC - FB = 18 - 10 = 8$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理、同角的余角相等
【点评】
本题是几何常规考查题型，核心是角的等量代换和相似三角形的应用，解题时要注意前后问的关联性，第一问的证明结论通常是第二问计算的突破口，熟练掌握直角三角形性质和相似的相关定理是解此类题的基础。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明△FDC∽△FBD，依据相似三角形的判定定理，找到两组对应角相等即可。首先两个三角形有公共角∠F，只需再证一组对应角相等：已知CD⊥AB得△ADC为直角三角形，结合E是AC中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得DE=AE，推出∠A=∠ADE，再通过对顶角相等将∠ADE转化为∠FDB；接下来利用同角的余角相等，由∠ACB=90°、CD⊥AB可证∠A=∠FCD，等量代换得∠FDB=∠FCD，结合公共角即可证明相似。
(2) 求BC的长可利用第一问的相似结论，根据相似三角形对应边成比例得到FD²=FB·FC，先代入已知数据求出FC的长度，再通过BC=FC-FB即可算出BC的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ $CD ⊥ AB$，
∴ $∠ ADC = 90°$。
∵ $E$ 是 $AC$ 的中点，
∴ $DE = AE = \frac{1}{2}AC$，
∴ $∠ A = ∠ ADE$。
又
∵ $∠ ADE = ∠ FDB$（对顶角相等），
∴ $∠ A = ∠ FDB$。
∵ $∠ ACB = 90°$，$CD ⊥ AB$，
∴ $∠ A + ∠ ACD = 90°$，$∠ FCD + ∠ ACD = 90°$，
∴ $∠ A = ∠ FCD$（同角的余角相等），
∴ $∠ FDB = ∠ FCD$。
又
∵ $∠ F = ∠ F$（公共角），
∴ $△ FDC ∽ △ FBD$。
(2) 解：
∵ $△ FDC ∽ △ FBD$，
∴ $\frac{FD}{FB} = \frac{FC}{FD}$，即 $FD^2 = FB · FC$。
将 $FD=6\sqrt{5}$，$FB=10$ 代入得：
$(6\sqrt{5})^2 = 10 · FC$
计算得$180=10FC$，
解得 $FC = 18$。
∴ $BC = FC - FB = 18 - 10 = 8$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理、同角的余角相等
【点评】
本题是几何常规考查题型，核心是角的等量代换和相似三角形的应用，解题时要注意前后问的关联性，第一问的证明结论通常是第二问计算的突破口，熟练掌握直角三角形性质和相似的相关定理是解此类题的基础。
【难度系数】
0.6
