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1.若$4x=3y(y≠0)$，则下列等式不成立的是（）
A.$\frac{y}{x-y}=-4$
B.$\frac{x+y}{y}=\frac{7}{4}$
C.$\frac{x}{y}=\frac{4}{3}$
D.$\frac{x-y}{x-2y}=\frac{1}{5}$
A.$\frac{y}{x-y}=-4$
B.$\frac{x+y}{y}=\frac{7}{4}$
C.$\frac{x}{y}=\frac{4}{3}$
D.$\frac{x-y}{x-2y}=\frac{1}{5}$
答案
C
解析
【分析】
首先从已知条件$4x=3y(y≠0)$出发，可先推导得到x与y的比值关系，也可采用设参数的方法，将x、y用含同一个参数的式子表示，再分别代入各选项的等式中验证是否成立，即可找出不成立的选项。
【解析】
由$4x=3y(y≠0)$可得$\frac{x}{y}=\frac{3}{4}$，我们设$x=3k$，$y=4k$（$k≠0$），逐个验证选项：
A选项：$\frac{y}{x-y}=\frac{4k}{3k-4k}=\frac{4k}{-k}=-4$，等式成立；
B选项：$\frac{x+y}{y}=\frac{3k+4k}{4k}=\frac{7k}{4k}=\frac{7}{4}$，等式成立；
C选项：$\frac{x}{y}=\frac{3k}{4k}=\frac{3}{4}≠\frac{4}{3}$，等式不成立；
D选项：$\frac{x-y}{x-2y}=\frac{3k-4k}{3k-2×4k}=\frac{-k}{-5k}=\frac{1}{5}$，等式成立。
因此不成立的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
比例的基本性质，代数式求值
【点评】
本题既可以通过比例的基本性质直接变形判断，也可以用设参数法代入验证，后者计算更直观、不易出错，解题时要注意题目要求选择的是“不成立”的选项，避免因粗心看错要求失分。
【难度系数】
0.7
首先从已知条件$4x=3y(y≠0)$出发，可先推导得到x与y的比值关系，也可采用设参数的方法，将x、y用含同一个参数的式子表示，再分别代入各选项的等式中验证是否成立，即可找出不成立的选项。
【解析】
由$4x=3y(y≠0)$可得$\frac{x}{y}=\frac{3}{4}$，我们设$x=3k$，$y=4k$（$k≠0$），逐个验证选项：
A选项：$\frac{y}{x-y}=\frac{4k}{3k-4k}=\frac{4k}{-k}=-4$，等式成立；
B选项：$\frac{x+y}{y}=\frac{3k+4k}{4k}=\frac{7k}{4k}=\frac{7}{4}$，等式成立；
C选项：$\frac{x}{y}=\frac{3k}{4k}=\frac{3}{4}≠\frac{4}{3}$，等式不成立；
D选项：$\frac{x-y}{x-2y}=\frac{3k-4k}{3k-2×4k}=\frac{-k}{-5k}=\frac{1}{5}$，等式成立。
因此不成立的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
比例的基本性质，代数式求值
【点评】
本题既可以通过比例的基本性质直接变形判断，也可以用设参数法代入验证，后者计算更直观、不易出错，解题时要注意题目要求选择的是“不成立”的选项，避免因粗心看错要求失分。
【难度系数】
0.7
2.若甲、乙两地的实际距离为5 km，画在图上的距离为2 cm，则该地图的比例尺为()
A.2:5
B.1:2 500
C.1:250 000
D.250 000:1
A.2:5
B.1:2 500
C.1:250 000
D.250 000:1
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确比例尺的定义：比例尺是图上距离与实际距离的比值，计算的核心前提是先把图上距离和实际距离的单位统一，再化简为前项为1的最简整数比，最后对应选项选出结果即可。
【解析】
第一步：统一单位
因为1km=1000m=100000cm，所以甲、乙两地的实际距离5km换算为厘米单位为：
$5×100000=500000\mathrm{cm}$
第二步：计算比例尺
根据比例尺公式：$\mathrm{比例尺}=\mathrm{图上距离}:\mathrm{实际距离}$，代入已知数据得：
$\mathrm{比例尺}=2\mathrm{cm}:500000\mathrm{cm}=2:500000$
将比的前项和后项同时除以2化简，得到$1:250000$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
比例尺计算；长度单位换算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查比例尺的计算规则，解题的易错点是忽略单位统一的步骤，直接用不同单位的数值计算导致出错，只要牢记先统一单位再化简比的规则就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确比例尺的定义：比例尺是图上距离与实际距离的比值，计算的核心前提是先把图上距离和实际距离的单位统一，再化简为前项为1的最简整数比，最后对应选项选出结果即可。
【解析】
第一步：统一单位
因为1km=1000m=100000cm，所以甲、乙两地的实际距离5km换算为厘米单位为：
$5×100000=500000\mathrm{cm}$
第二步：计算比例尺
根据比例尺公式：$\mathrm{比例尺}=\mathrm{图上距离}:\mathrm{实际距离}$，代入已知数据得：
$\mathrm{比例尺}=2\mathrm{cm}:500000\mathrm{cm}=2:500000$
将比的前项和后项同时除以2化简，得到$1:250000$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
比例尺计算；长度单位换算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查比例尺的计算规则，解题的易错点是忽略单位统一的步骤，直接用不同单位的数值计算导致出错，只要牢记先统一单位再化简比的规则就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
3.如图,在$□ ABCD$中,连接BD,在CD的延长线上取一点E,G为BC的中点,连接EG,分别交AD,BD于点F,K。下列结论错误的是()
A.$\frac{ED}{AB}=\frac{EF}{FG}$
B.$\frac{FD}{GC}=\frac{DK}{BK}$
C.$\frac{FK}{KG}=\frac{EF}{EG}$
D.$\frac{CG}{CB}=\frac{CD}{CE}$
A.$\frac{ED}{AB}=\frac{EF}{FG}$
B.$\frac{FD}{GC}=\frac{DK}{BK}$
C.$\frac{FK}{KG}=\frac{EF}{EG}$
D.$\frac{CG}{CB}=\frac{CD}{CE}$
答案
D
解析
【分析】
本题可结合平行四边形对边平行的性质，寻找图中的相似三角形，利用相似三角形对应边成比例、平行线分线段成比例的规律，逐一验证四个选项的比例关系是否成立，最终选出错误结论。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=CD，BC=AD。
验证选项A：
∵AD//BC，即FD//GC，根据平行线分线段成比例可得$\frac{EF}{FG}=\frac{ED}{DC}$，又
∵DC=AB，
∴$\frac{ED}{AB}=\frac{EF}{FG}$，A结论正确，不符合题意。
验证选项B：
∵AD//BC，
∴∠FDK=∠GBK，∠DFK=∠BGK，可得△FDK∽△GBK，
∴$\frac{FD}{BG}=\frac{DK}{BK}$。
∵G为BC中点，
∴BG=GC，代入得$\frac{FD}{GC}=\frac{DK}{BK}$，B结论正确，不符合题意。
验证选项C：
由△FDK∽△GBK得$\frac{FK}{KG}=\frac{FD}{BG}=\frac{FD}{GC}$；
又
∵FD//GC，
∴△EFD∽△EGC，可得$\frac{EF}{EG}=\frac{FD}{GC}$，因此$\frac{FK}{KG}=\frac{EF}{EG}$，C结论正确，不符合题意。
验证选项D：
∵G是BC中点，
∴$\frac{CG}{CB}=\frac{1}{2}$；
但CE=CD+DE，DE的长度未给出，$\frac{CD}{CE}$不一定等于$\frac{1}{2}$，因此$\frac{CG}{CB}=\frac{CD}{CE}$不一定成立，D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题是平行四边形与比例线段结合的典型题，解题核心是通过平行线识别相似三角形，结合已知中点性质推导比例关系，注意不要默认未知线段的长度相等。
【难度系数】
0.7
本题可结合平行四边形对边平行的性质，寻找图中的相似三角形，利用相似三角形对应边成比例、平行线分线段成比例的规律，逐一验证四个选项的比例关系是否成立，最终选出错误结论。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=CD，BC=AD。
验证选项A：
∵AD//BC，即FD//GC，根据平行线分线段成比例可得$\frac{EF}{FG}=\frac{ED}{DC}$，又
∵DC=AB，
∴$\frac{ED}{AB}=\frac{EF}{FG}$，A结论正确，不符合题意。
验证选项B：
∵AD//BC，
∴∠FDK=∠GBK，∠DFK=∠BGK，可得△FDK∽△GBK，
∴$\frac{FD}{BG}=\frac{DK}{BK}$。
∵G为BC中点，
∴BG=GC，代入得$\frac{FD}{GC}=\frac{DK}{BK}$，B结论正确，不符合题意。
验证选项C：
由△FDK∽△GBK得$\frac{FK}{KG}=\frac{FD}{BG}=\frac{FD}{GC}$；
又
∵FD//GC，
∴△EFD∽△EGC，可得$\frac{EF}{EG}=\frac{FD}{GC}$，因此$\frac{FK}{KG}=\frac{EF}{EG}$，C结论正确，不符合题意。
验证选项D：
∵G是BC中点，
∴$\frac{CG}{CB}=\frac{1}{2}$；
但CE=CD+DE，DE的长度未给出，$\frac{CD}{CE}$不一定等于$\frac{1}{2}$，因此$\frac{CG}{CB}=\frac{CD}{CE}$不一定成立，D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题是平行四边形与比例线段结合的典型题，解题核心是通过平行线识别相似三角形，结合已知中点性质推导比例关系，注意不要默认未知线段的长度相等。
【难度系数】
0.7
4.若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{3}{7}$，且$2b - 4d + 10f≠0$，则$\frac{a - 2c + 5e}{2b - 4d + 10f}=$。
答案
$\boldsymbol{\frac{3}{14}}$
解析
【分析】
本题是比例性质的应用类题目，解题思路如下：首先观察到已知多个比值相等，我们可以通过设参数的方法，将分子对应的a、c、e分别用含参数的式子表示，再代入所求分式的分子和分母，通过提取公因式约分得到结果；也可以利用等比性质，将所求分式的分子分母变形，凑出与已知比值对应的形式求解。解题时要注意题目给出的分母不为0的条件，确保约分合法。
【解析】
解：
∵ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{3}{7}$
∴ 可设 $a=3m$，$b=7m$，$c=3n$，$d=7n$，$e=3p$，$f=7p$（$m、n、p$均不为0）
将上述关系代入所求分式：
分子 $a-2c+5e=3m - 2×3n +5×3p=3(m - 2n + 5p)$
分母 $2b-4d+10f=2×7m - 4×7n + 10×7p=14(m - 2n + 5p)$
∵ $2b - 4d + 10f≠0$，
∴ $m - 2n + 5p≠0$
∴ $\frac{a - 2c + 5e}{2b - 4d + 10f}=\frac{3(m - 2n + 5p)}{14(m - 2n + 5p)}=\frac{3}{14}$
【答案】
$\frac{3}{14}$
【知识点】
比例的性质、等比性质
【点评】
本题属于比例性质的基础应用题，通过设参数代入化简的方法更直观易懂，解题时要注意利用题目给出的分母不为0的条件，保证约分运算的合理性。
【难度系数】
0.7
本题是比例性质的应用类题目，解题思路如下：首先观察到已知多个比值相等，我们可以通过设参数的方法，将分子对应的a、c、e分别用含参数的式子表示，再代入所求分式的分子和分母，通过提取公因式约分得到结果；也可以利用等比性质，将所求分式的分子分母变形，凑出与已知比值对应的形式求解。解题时要注意题目给出的分母不为0的条件，确保约分合法。
【解析】
解：
∵ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{3}{7}$
∴ 可设 $a=3m$，$b=7m$，$c=3n$，$d=7n$，$e=3p$，$f=7p$（$m、n、p$均不为0）
将上述关系代入所求分式：
分子 $a-2c+5e=3m - 2×3n +5×3p=3(m - 2n + 5p)$
分母 $2b-4d+10f=2×7m - 4×7n + 10×7p=14(m - 2n + 5p)$
∵ $2b - 4d + 10f≠0$，
∴ $m - 2n + 5p≠0$
∴ $\frac{a - 2c + 5e}{2b - 4d + 10f}=\frac{3(m - 2n + 5p)}{14(m - 2n + 5p)}=\frac{3}{14}$
【答案】
$\frac{3}{14}$
【知识点】
比例的性质、等比性质
【点评】
本题属于比例性质的基础应用题，通过设参数代入化简的方法更直观易懂，解题时要注意利用题目给出的分母不为0的条件，保证约分运算的合理性。
【难度系数】
0.7
5.如图，AB=80 cm，点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，则点C，D之间的距离为cm。
答案
$\boldsymbol{80\sqrt{5}-160}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆黄金分割的定义，线段的黄金分割点将线段分为两部分，较长部分与整体线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。第一步先判断两个黄金分割点对应的较长线段：点C是靠近B的黄金分割点，因此较长线段为AC；点D是靠近A的黄金分割点，因此较长线段为BD。第二步分别计算AC、BD的长度，第三步利用线段和差关系：$AC+BD = AB + CD$，变形得到$CD = AC+BD - AB$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：根据黄金分割的定义，较长线段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
∵ 点C是靠近点B的AB的黄金分割点，较长线段为AC
∴ $AC = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 80 × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$
∵ 点D是靠近点A的AB的黄金分割点，较长线段为BD
∴ $BD = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$
又
∵ $AC + BD = (AD + CD) + (CD + BC) = (AD+CD+BC) + CD = AB + CD$
∴ $CD = AC + BD - AB$
代入数值计算：
$CD = 40(\sqrt{5}-1) + 40(\sqrt{5}-1) - 80$
$= 80(\sqrt{5}-1) - 80$
$= 80\sqrt{5} - 80 - 80$
$= 80\sqrt{5} - 160\ \mathrm{cm}$
【答案】
$80\sqrt{5}-160$
【知识点】
黄金分割，线段和差计算
【点评】
本题核心是对黄金分割定义的理解，解题的易错点是混淆黄金分割点对应的较长线段，只要明确靠近线段端点的黄金分割点，其对侧的线段为较长段，再结合线段和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先回忆黄金分割的定义，线段的黄金分割点将线段分为两部分，较长部分与整体线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。第一步先判断两个黄金分割点对应的较长线段：点C是靠近B的黄金分割点，因此较长线段为AC；点D是靠近A的黄金分割点，因此较长线段为BD。第二步分别计算AC、BD的长度，第三步利用线段和差关系：$AC+BD = AB + CD$，变形得到$CD = AC+BD - AB$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：根据黄金分割的定义，较长线段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
∵ 点C是靠近点B的AB的黄金分割点，较长线段为AC
∴ $AC = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 80 × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$
∵ 点D是靠近点A的AB的黄金分割点，较长线段为BD
∴ $BD = AB × \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 40(\sqrt{5}-1)\ \mathrm{cm}$
又
∵ $AC + BD = (AD + CD) + (CD + BC) = (AD+CD+BC) + CD = AB + CD$
∴ $CD = AC + BD - AB$
代入数值计算：
$CD = 40(\sqrt{5}-1) + 40(\sqrt{5}-1) - 80$
$= 80(\sqrt{5}-1) - 80$
$= 80\sqrt{5} - 80 - 80$
$= 80\sqrt{5} - 160\ \mathrm{cm}$
【答案】
$80\sqrt{5}-160$
【知识点】
黄金分割，线段和差计算
【点评】
本题核心是对黄金分割定义的理解，解题的易错点是混淆黄金分割点对应的较长线段，只要明确靠近线段端点的黄金分割点，其对侧的线段为较长段，再结合线段和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
6.一种燕尾夹如图①所示，图②是其闭合状态的示意图，图③是其打开状态的示意图(图中长度单位:mm)。从图②闭合状态到图③打开状态，点B,D之间的距离减少了。
答案
解：
在图②中，
$AE=28\ \mathrm{mm}$，$AB=AE+EB=28+35=63\ \mathrm{mm}$，
$AF=28\ \mathrm{mm}$，$AD=AF+FD=28+35=63\ \mathrm{mm}$，
$\therefore \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{28}{63}=\dfrac{4}{9}$，
又$\because ∠ A=∠ A$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ABD$，
$\therefore \dfrac{EF}{BD}=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{4}{9}$，
将$EF=20\ \mathrm{mm}$代入，得$BD=20×\dfrac{9}{4}=45\ \mathrm{mm}$。
在图③中，
$\because AB// CD$，$EB=FD=35\ \mathrm{mm}$，
$\therefore$ 四边形$EBDF$是平行四边形，
又$\because ∠ EFD=90°$，
$\therefore$ 四边形$EBDF$是矩形，
$\therefore BD=EF=20\ \mathrm{mm}$。
$\therefore$ 点$B,D$之间的距离减少了$45-20=25\ \mathrm{mm}$。
答：点$B,D$之间的距离减少了$25\ \mathrm{mm}$。
在图②中，
$AE=28\ \mathrm{mm}$，$AB=AE+EB=28+35=63\ \mathrm{mm}$，
$AF=28\ \mathrm{mm}$，$AD=AF+FD=28+35=63\ \mathrm{mm}$，
$\therefore \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{28}{63}=\dfrac{4}{9}$，
又$\because ∠ A=∠ A$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ABD$，
$\therefore \dfrac{EF}{BD}=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{4}{9}$，
将$EF=20\ \mathrm{mm}$代入，得$BD=20×\dfrac{9}{4}=45\ \mathrm{mm}$。
在图③中，
$\because AB// CD$，$EB=FD=35\ \mathrm{mm}$，
$\therefore$ 四边形$EBDF$是平行四边形，
又$\because ∠ EFD=90°$，
$\therefore$ 四边形$EBDF$是矩形，
$\therefore BD=EF=20\ \mathrm{mm}$。
$\therefore$ 点$B,D$之间的距离减少了$45-20=25\ \mathrm{mm}$。
答：点$B,D$之间的距离减少了$25\ \mathrm{mm}$。
解析
【分析】
要计算点B、D之间距离减少了多少，需分别求出闭合状态、打开状态下BD的长度再作差：1. 处理闭合状态的图②：△AEF和△ABD有公共角∠A，结合已知边长可验证两边对应成比例，即可证明两三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求出此时BD的长度；2. 处理打开状态的图③：根据AB//CD、EB=FD可判定四边形EBDF是平行四边形，再结合直角条件判定其为矩形，由矩形性质得到此时BD的长度；3. 两个状态的BD长度作差，即为减少的距离。
【解析】
在图②中，
已知$AE=28\ \mathrm{mm}$，$EB=35\ \mathrm{mm}$，因此$AB=AE+EB=28+35=63\ \mathrm{mm}$，
同理$AF=28\ \mathrm{mm}$，$FD=35\ \mathrm{mm}$，因此$AD=AF+FD=28+35=63\ \mathrm{mm}$，
$\therefore \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{28}{63}=\dfrac{4}{9}$，
又$\because ∠ A=∠ A$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ABD$，
$\therefore \dfrac{EF}{BD}=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{4}{9}$，
将$EF=20\ \mathrm{mm}$代入，得$BD=20×\dfrac{9}{4}=45\ \mathrm{mm}$。
在图③中，
$\because AB// CD$，$EB=FD=35\ \mathrm{mm}$，
$\therefore$ 四边形$EBDF$是平行四边形，
又$\because ∠ EFD=90°$，
$\therefore$ 四边形$EBDF$是矩形，
$\therefore BD=EF=20\ \mathrm{mm}$。
$\therefore$ 点$B,D$之间的距离减少了$45-20=25\ \mathrm{mm}$。
【答案】
$\boxed{25\ \mathrm{mm}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的判定与性质
【点评】
本题以生活中常见的燕尾夹为背景，将几何知识和实际场景结合，需要从示意图中提取有效几何条件，综合运用相似、特殊四边形的相关知识求解，能很好地考查知识迁移和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
要计算点B、D之间距离减少了多少，需分别求出闭合状态、打开状态下BD的长度再作差：1. 处理闭合状态的图②：△AEF和△ABD有公共角∠A，结合已知边长可验证两边对应成比例，即可证明两三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求出此时BD的长度；2. 处理打开状态的图③：根据AB//CD、EB=FD可判定四边形EBDF是平行四边形，再结合直角条件判定其为矩形，由矩形性质得到此时BD的长度；3. 两个状态的BD长度作差，即为减少的距离。
【解析】
在图②中，
已知$AE=28\ \mathrm{mm}$，$EB=35\ \mathrm{mm}$，因此$AB=AE+EB=28+35=63\ \mathrm{mm}$，
同理$AF=28\ \mathrm{mm}$，$FD=35\ \mathrm{mm}$，因此$AD=AF+FD=28+35=63\ \mathrm{mm}$，
$\therefore \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{28}{63}=\dfrac{4}{9}$，
又$\because ∠ A=∠ A$，
$\therefore △ AEF ∽ △ ABD$，
$\therefore \dfrac{EF}{BD}=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{4}{9}$，
将$EF=20\ \mathrm{mm}$代入，得$BD=20×\dfrac{9}{4}=45\ \mathrm{mm}$。
在图③中，
$\because AB// CD$，$EB=FD=35\ \mathrm{mm}$，
$\therefore$ 四边形$EBDF$是平行四边形，
又$\because ∠ EFD=90°$，
$\therefore$ 四边形$EBDF$是矩形，
$\therefore BD=EF=20\ \mathrm{mm}$。
$\therefore$ 点$B,D$之间的距离减少了$45-20=25\ \mathrm{mm}$。
【答案】
$\boxed{25\ \mathrm{mm}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的判定与性质
【点评】
本题以生活中常见的燕尾夹为背景，将几何知识和实际场景结合，需要从示意图中提取有效几何条件，综合运用相似、特殊四边形的相关知识求解，能很好地考查知识迁移和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
7. 提升题 如图，在$△ ABC$中，P是AB上一点。给出下列条件：①$∠ ACP=∠ B$；②$∠ ACP=∠ A$；③$AC^2=AP· AB$；④$AB· CP=AP· CB$。其中一定能判定$△ APC$与$△ ACB$相似的条件是（填序号）。
（第7题）
（第7题）答案
解：
在△APC和△ACB中，∠A是公共角。
① 当∠ACP=∠B时，两角分别相等，可判定△APC∽△ACB；
② 当∠ACP=∠A时，无法找到另一组对应角相等，不能判定△APC与△ACB相似；
③ 由$AC^2=AP· AB$变形得$\frac{AC}{AP}=\frac{AB}{AC}$，结合公共角∠A相等，满足两边成比例且夹角相等，可判定△APC∽△ACB；
④ 由$AB· CP=AP· CB$变形得$\frac{CP}{CB}=\frac{AP}{AB}$，相等的∠A不是对应成比例的两组边的夹角，无法判定△APC与△ACB相似。
综上，答案为$\boldsymbol{①③}$。
在△APC和△ACB中，∠A是公共角。
① 当∠ACP=∠B时，两角分别相等，可判定△APC∽△ACB；
② 当∠ACP=∠A时，无法找到另一组对应角相等，不能判定△APC与△ACB相似；
③ 由$AC^2=AP· AB$变形得$\frac{AC}{AP}=\frac{AB}{AC}$，结合公共角∠A相等，满足两边成比例且夹角相等，可判定△APC∽△ACB；
④ 由$AB· CP=AP· CB$变形得$\frac{CP}{CB}=\frac{AP}{AB}$，相等的∠A不是对应成比例的两组边的夹角，无法判定△APC与△ACB相似。
综上，答案为$\boldsymbol{①③}$。
解析
【分析】
要判定△APC和△ACB相似，首先观察到两个三角形有公共角∠A，结合相似三角形的判定定理，可通过两种途径判断：一是再找到一组对应角相等，二是证明夹∠A的两组对应边成比例，接下来逐个分析给出的4个条件是否满足上述要求即可。
【解析】
在△APC和△ACB中，∠A是两个三角形的公共角。
① 当∠ACP=∠B时，满足两角分别相等的两个三角形相似，可判定△APC∽△ACB；
② 当∠ACP=∠A时，仅能得到AP=CP，无法找到另一组对应相等的角，也无法得到对应边成比例，不能判定△APC与△ACB相似；
③ 对$AC^2=AP·AB$变形，可得$\frac{AC}{AP}=\frac{AB}{AC}$，又∠A是两组成比例边的公共夹角，满足两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定△APC∽△ACB；
④ 对$AB·CP=AP·CB$变形，可得$\frac{CP}{CB}=\frac{AP}{AB}$，此时相等的∠A不是两组成比例边的夹角，不满足相似判定条件，无法判定△APC与△ACB相似。
综上，能判定相似的条件为①③。
【答案】
①③
【知识点】
相似三角形的判定；比例的基本性质
【点评】
本题核心考查相似三角形的判定规则，解题时要注意公共角的运用，尤其使用“两边成比例且夹角相等”的判定定理时，必须保证相等的角是两组成比例边的夹角，不可混淆对应边和对应角的关系。
【难度系数】
0.6
要判定△APC和△ACB相似，首先观察到两个三角形有公共角∠A，结合相似三角形的判定定理，可通过两种途径判断：一是再找到一组对应角相等，二是证明夹∠A的两组对应边成比例，接下来逐个分析给出的4个条件是否满足上述要求即可。
【解析】
在△APC和△ACB中，∠A是两个三角形的公共角。
① 当∠ACP=∠B时，满足两角分别相等的两个三角形相似，可判定△APC∽△ACB；
② 当∠ACP=∠A时，仅能得到AP=CP，无法找到另一组对应相等的角，也无法得到对应边成比例，不能判定△APC与△ACB相似；
③ 对$AC^2=AP·AB$变形，可得$\frac{AC}{AP}=\frac{AB}{AC}$，又∠A是两组成比例边的公共夹角，满足两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定△APC∽△ACB；
④ 对$AB·CP=AP·CB$变形，可得$\frac{CP}{CB}=\frac{AP}{AB}$，此时相等的∠A不是两组成比例边的夹角，不满足相似判定条件，无法判定△APC与△ACB相似。
综上，能判定相似的条件为①③。
【答案】
①③
【知识点】
相似三角形的判定；比例的基本性质
【点评】
本题核心考查相似三角形的判定规则，解题时要注意公共角的运用，尤其使用“两边成比例且夹角相等”的判定定理时，必须保证相等的角是两组成比例边的夹角，不可混淆对应边和对应角的关系。
【难度系数】
0.6
8. 已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}$，$a - c = -12$，求$a - 2b + 3c$的值。
答案
解：设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=k$，
则$a=2k$，$b=3k$，$c=5k$。
将$a=2k$，$c=5k$代入$a - c = -12$，得：
$2k - 5k = -12$
$-3k = -12$
解得$k=4$。
因此$a=2×4=8$，$b=3×4=12$，$c=5×4=20$。
代入$a-2b+3c$计算：
$a-2b+3c=8 - 2×12 + 3×20=8-24+60=44$。
答：$a-2b+3c$的值为44。
则$a=2k$，$b=3k$，$c=5k$。
将$a=2k$，$c=5k$代入$a - c = -12$，得：
$2k - 5k = -12$
$-3k = -12$
解得$k=4$。
因此$a=2×4=8$，$b=3×4=12$，$c=5×4=20$。
代入$a-2b+3c$计算：
$a-2b+3c=8 - 2×12 + 3×20=8-24+60=44$。
答：$a-2b+3c$的值为44。
解析
【分析】
遇到连等的比例式时，通常采用设参数的方法解题：先设三个比值等于参数k，即可将a、b、c三个未知数都用含k的代数式表示，再结合已知条件$a-c=-12$，代入后得到关于k的一元一次方程，解出k的值就能求出a、b、c的具体数值，最后代入待求的代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=k$，
则$a=2k$，$b=3k$，$c=5k$。
将$a=2k$，$c=5k$代入$a - c = -12$，得：
$2k - 5k = -12$
$-3k = -12$
解得$k=4$。
因此$a=2×4=8$，$b=3×4=12$，$c=5×4=20$。
将a、b、c的值代入$a-2b+3c$计算：
$a-2b+3c=8 - 2×12 + 3×20=8-24+60=44$。
【答案】
44
【知识点】
比例的性质，一元一次方程求解，代数式求值
【点评】
本题是比例类求值的基础题型，解题关键是掌握连比问题设公共参数的思路，可将多未知量问题转化为单未知量问题，降低解题难度，计算过程中注意运算符号，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
遇到连等的比例式时，通常采用设参数的方法解题：先设三个比值等于参数k，即可将a、b、c三个未知数都用含k的代数式表示，再结合已知条件$a-c=-12$，代入后得到关于k的一元一次方程，解出k的值就能求出a、b、c的具体数值，最后代入待求的代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=k$，
则$a=2k$，$b=3k$，$c=5k$。
将$a=2k$，$c=5k$代入$a - c = -12$，得：
$2k - 5k = -12$
$-3k = -12$
解得$k=4$。
因此$a=2×4=8$，$b=3×4=12$，$c=5×4=20$。
将a、b、c的值代入$a-2b+3c$计算：
$a-2b+3c=8 - 2×12 + 3×20=8-24+60=44$。
【答案】
44
【知识点】
比例的性质，一元一次方程求解，代数式求值
【点评】
本题是比例类求值的基础题型，解题关键是掌握连比问题设公共参数的思路，可将多未知量问题转化为单未知量问题，降低解题难度，计算过程中注意运算符号，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
