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1.小杰身高1.5 m，在操场的影长为2 m，同一时刻测得教学大楼在操场的影长为24 m，则教学大楼的高度为 m。
答案
解：设教学大楼的高度为$ x \, \mathrm{m} $。
同一时刻，物体高度与影长构成的直角三角形相似，因此物高与影长的比值相等，可得：
$\frac{1.5}{2} = \frac{x}{24}$
解得：$ x = 18 $
答：教学大楼的高度为18 m。
同一时刻，物体高度与影长构成的直角三角形相似，因此物高与影长的比值相等，可得：
$\frac{1.5}{2} = \frac{x}{24}$
解得：$ x = 18 $
答：教学大楼的高度为18 m。
解析
【分析】
遇到同一时刻测量物体高度的问题，首先要想到平行投影的规律：同一时刻太阳光下，不同物体的高度和对应影长的比值是固定相等的，背后原理是太阳光线平行，物体与自身影长构成的两个直角三角形相似，对应边成比例。解题时先设教学大楼的高度为未知数，再根据物高和影长的比例相等列方程，求解即可得到结果。
【解析】
解：设教学大楼的高度为$ x \, \mathrm{m} $。
同一时刻，物体高度与影长构成的直角三角形相似，因此物高与影长的比值相等，可得：
$\frac{1.5}{2} = \frac{x}{24}$
解得：$x = \frac{1.5 × 24}{2} = 18$
【答案】
18
【知识点】
相似三角形的应用；比例方程求解
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的基础应用，考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，计算量小，解题逻辑清晰，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
遇到同一时刻测量物体高度的问题，首先要想到平行投影的规律：同一时刻太阳光下，不同物体的高度和对应影长的比值是固定相等的，背后原理是太阳光线平行，物体与自身影长构成的两个直角三角形相似，对应边成比例。解题时先设教学大楼的高度为未知数，再根据物高和影长的比例相等列方程，求解即可得到结果。
【解析】
解：设教学大楼的高度为$ x \, \mathrm{m} $。
同一时刻，物体高度与影长构成的直角三角形相似，因此物高与影长的比值相等，可得：
$\frac{1.5}{2} = \frac{x}{24}$
解得：$x = \frac{1.5 × 24}{2} = 18$
【答案】
18
【知识点】
相似三角形的应用；比例方程求解
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的基础应用，考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，计算量小，解题逻辑清晰，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
2.小明想测量公园内某棵冷杉的高度AB，如图，他调整位置，使自制直角三角形纸板DEF的斜边DF保持水平，且边DE与点B在同一条直线上。已知纸板的两条直角边DE=30 cm，EF=15 cm，测得边DF离地面的高度AC=1.6 m，CD=10 m，则这棵冷杉的高度AB为。
答案
解：
∵ ∠D = ∠D，∠DEF = ∠DCB = 90°，
∴ △DEF ∽ △DCB。
∴ $\frac{DE}{DC}=\frac{EF}{BC}$。
统一单位得：$DE=30\ \mathrm{cm}=0.3\ \mathrm{m}$，$EF=15\ \mathrm{cm}=0.15\ \mathrm{m}$，
将$DE=0.3\ \mathrm{m}$，$EF=0.15\ \mathrm{m}$，$CD=10\ \mathrm{m}$代入得：
$\frac{0.3}{10}=\frac{0.15}{BC}$，
解得 $BC=5\ \mathrm{m}$。
∴ $AB=AC+BC=1.6+5=6.6\ \mathrm{m}$。
答：这棵冷杉的高度AB为$6.6\ \mathrm{m}$。
∵ ∠D = ∠D，∠DEF = ∠DCB = 90°，
∴ △DEF ∽ △DCB。
∴ $\frac{DE}{DC}=\frac{EF}{BC}$。
统一单位得：$DE=30\ \mathrm{cm}=0.3\ \mathrm{m}$，$EF=15\ \mathrm{cm}=0.15\ \mathrm{m}$，
将$DE=0.3\ \mathrm{m}$，$EF=0.15\ \mathrm{m}$，$CD=10\ \mathrm{m}$代入得：
$\frac{0.3}{10}=\frac{0.15}{BC}$，
解得 $BC=5\ \mathrm{m}$。
∴ $AB=AC+BC=1.6+5=6.6\ \mathrm{m}$。
答：这棵冷杉的高度AB为$6.6\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
要计算冷杉的高度AB，已知视线到地面的高度AC=1.6m，只需要先求出BC的长度即可。观察图形可知，直角三角形DEF和直角三角形DCB有公共角∠D，且两个三角形都有直角，可判定二者相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质求出BC，最后将BC与AC相加就得到AB的总高度，解题时要注意先统一单位，避免计算出错。
【解析】
∵ ∠D是△DEF和△DCB的公共角，∠DEF=∠DCB=90°，
∴ △DEF ∽ △DCB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ 对应边成比例：$\frac{DE}{DC}=\frac{EF}{BC}$。
统一单位：$DE=30\ \mathrm{cm}=0.3\ \mathrm{m}$，$EF=15\ \mathrm{cm}=0.15\ \mathrm{m}$，
将$DE=0.3\ \mathrm{m}$，$EF=0.15\ \mathrm{m}$，$CD=10\ \mathrm{m}$代入比例式得：
$\frac{0.3}{10}=\frac{0.15}{BC}$，
解得 $BC=5\ \mathrm{m}$，
∴ $AB=AC+BC=1.6+5=6.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
$6.6\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的典型应用，解题核心是准确找到相似三角形，注意单位统一后利用相似性质列比例式计算，题目贴合生活，能帮助学生理解数学知识的实用价值。
【难度系数】
0.7
要计算冷杉的高度AB，已知视线到地面的高度AC=1.6m，只需要先求出BC的长度即可。观察图形可知，直角三角形DEF和直角三角形DCB有公共角∠D，且两个三角形都有直角，可判定二者相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质求出BC，最后将BC与AC相加就得到AB的总高度，解题时要注意先统一单位，避免计算出错。
【解析】
∵ ∠D是△DEF和△DCB的公共角，∠DEF=∠DCB=90°，
∴ △DEF ∽ △DCB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ 对应边成比例：$\frac{DE}{DC}=\frac{EF}{BC}$。
统一单位：$DE=30\ \mathrm{cm}=0.3\ \mathrm{m}$，$EF=15\ \mathrm{cm}=0.15\ \mathrm{m}$，
将$DE=0.3\ \mathrm{m}$，$EF=0.15\ \mathrm{m}$，$CD=10\ \mathrm{m}$代入比例式得：
$\frac{0.3}{10}=\frac{0.15}{BC}$，
解得 $BC=5\ \mathrm{m}$，
∴ $AB=AC+BC=1.6+5=6.6\ \mathrm{m}$。
【答案】
$6.6\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的典型应用，解题核心是准确找到相似三角形，注意单位统一后利用相似性质列比例式计算，题目贴合生活，能帮助学生理解数学知识的实用价值。
【难度系数】
0.7
3.如图,小明为测量凉亭的高度AB,在凉亭旁放置了一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE=BC=0.5 m,A,B,C三点共线)。将一面镜子水平放置在平台上的点G处,测得CG=15 m;沿直线CG后退到点E处时,恰好在镜子中看到凉亭顶端A,测得EG=3 m。若小明身高为1.6 m,则凉亭的高度AB为m。
答案
解：由镜面反射原理可得∠AGC=∠FGE，
∵ AC⊥CG，FE⊥EG，
∴ ∠ACG=∠FEG=90°，
∴ △ACG ∽ △FEG，
∴ $\frac{AC}{FE}=\frac{CG}{EG}$，
将FE=1.6 m，CG=15 m，EG=3 m代入得：
$\frac{AC}{1.6}=\frac{15}{3}$，
解得 AC=8 m，
∵ AB=AC+BC，BC=0.5 m，
∴ AB=8+0.5=8.5 m。
答：凉亭的高度AB为8.5 m。
∵ AC⊥CG，FE⊥EG，
∴ ∠ACG=∠FEG=90°，
∴ △ACG ∽ △FEG，
∴ $\frac{AC}{FE}=\frac{CG}{EG}$，
将FE=1.6 m，CG=15 m，EG=3 m代入得：
$\frac{AC}{1.6}=\frac{15}{3}$，
解得 AC=8 m，
∵ AB=AC+BC，BC=0.5 m，
∴ AB=8+0.5=8.5 m。
答：凉亭的高度AB为8.5 m。
解析
【分析】
要计算凉亭高度AB，我们可以按照以下思路思考：首先根据镜面反射原理，入射角等于反射角，可得到∠AGC=∠FGE；再结合AC垂直CG、FE垂直EG，可得两个直角相等，进而判定△ACG和△FEG相似；之后利用相似三角形对应边成比例的性质求出AC的长度，最后加上与DE等高的BC的长度，即可得到AB的总高度。
【解析】
由镜面反射原理可得∠AGC=∠FGE，
∵ AC⊥CG，FE⊥EG，
∴ ∠ACG=∠FEG=90°，
∴ △ACG ∽ △FEG，
∴ $\frac{AC}{FE}=\frac{CG}{EG}$，
将FE=1.6 m，CG=15 m，EG=3 m代入得：
$\frac{AC}{1.6}=\frac{15}{3}$，
解得 AC=8 m，
∵ AB=AC+BC，BC=0.5 m，
∴ AB=8+0.5=8.5 m。
【答案】
8.5
【知识点】
1.相似三角形的判定与性质
2.镜面反射原理
【点评】
本题是结合生活场景的实际应用类题目，解题的核心是将实际测量问题转化为相似三角形的计算问题，需要学生结合简单的物理原理构建数学模型，能较好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要计算凉亭高度AB，我们可以按照以下思路思考：首先根据镜面反射原理，入射角等于反射角，可得到∠AGC=∠FGE；再结合AC垂直CG、FE垂直EG，可得两个直角相等，进而判定△ACG和△FEG相似；之后利用相似三角形对应边成比例的性质求出AC的长度，最后加上与DE等高的BC的长度，即可得到AB的总高度。
【解析】
由镜面反射原理可得∠AGC=∠FGE，
∵ AC⊥CG，FE⊥EG，
∴ ∠ACG=∠FEG=90°，
∴ △ACG ∽ △FEG，
∴ $\frac{AC}{FE}=\frac{CG}{EG}$，
将FE=1.6 m，CG=15 m，EG=3 m代入得：
$\frac{AC}{1.6}=\frac{15}{3}$，
解得 AC=8 m，
∵ AB=AC+BC，BC=0.5 m，
∴ AB=8+0.5=8.5 m。
【答案】
8.5
【知识点】
1.相似三角形的判定与性质
2.镜面反射原理
【点评】
本题是结合生活场景的实际应用类题目，解题的核心是将实际测量问题转化为相似三角形的计算问题，需要学生结合简单的物理原理构建数学模型，能较好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
4.将一个透明玻璃沙漏与两把直尺按如图所示的方式摆放。沙漏底部边缘C，D在水平直尺上的读数分别为3 cm和7 cm，且C，D所在直线与竖直直尺的0刻度线重合。若沙漏中心点O与刻度5 cm水平对齐，上面部分的沙面(A，B所在直线)与刻度8 cm水平对齐，则此时沙面的宽AB为。
答案
解：由题意可知：
$CD = 7 - 3 = 4\ \mathrm{cm}$，
$AB // CD$，
$\therefore ∠ OAB = ∠ ODC$，$∠ OBA = ∠ OCD$，
$\therefore △ AOB ∽ △ DOC$。
点$O$到$CD$的竖直距离为$5\ \mathrm{cm}$，点$O$到$AB$的竖直距离为$8 - 5 = 3\ \mathrm{cm}$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，得：
$\frac{AB}{CD} = \frac{3}{5}$，
代入$CD=4\ \mathrm{cm}$，得$\frac{AB}{4} = \frac{3}{5}$，
解得$AB = 2.4\ \mathrm{cm}$。
答：此时沙面的宽$AB$为$2.4\ \mathrm{cm}$。
$CD = 7 - 3 = 4\ \mathrm{cm}$，
$AB // CD$，
$\therefore ∠ OAB = ∠ ODC$，$∠ OBA = ∠ OCD$，
$\therefore △ AOB ∽ △ DOC$。
点$O$到$CD$的竖直距离为$5\ \mathrm{cm}$，点$O$到$AB$的竖直距离为$8 - 5 = 3\ \mathrm{cm}$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，得：
$\frac{AB}{CD} = \frac{3}{5}$，
代入$CD=4\ \mathrm{cm}$，得$\frac{AB}{4} = \frac{3}{5}$，
解得$AB = 2.4\ \mathrm{cm}$。
答：此时沙面的宽$AB$为$2.4\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
解题时首先从题目条件提取几何关系：沙面AB和底部CD都是水平的，故AB//CD，可推出△AOB和△DOC相似；接下来先计算CD的长度，再分别找到点O到AB、CD的竖直距离，结合相似三角形“对应高的比等于相似比”的性质，列出比例式即可求出AB的长度。
【解析】
解：由题意得，CD的长度为：$CD = 7\ \mathrm{cm} - 3\ \mathrm{cm} = 4\ \mathrm{cm}$，
∵AB、CD均为水平直线，
∴$AB // CD$，
∴$∠OAB = ∠ODC$，$∠OBA = ∠OCD$，
∴$△ AOB ∽ △ DOC$。
∵O与竖直刻度5cm水平对齐，CD与竖直直尺0刻度线重合，AB与刻度8cm水平对齐，
∴点O到CD的竖直距离为$5\ \mathrm{cm}$，点O到AB的竖直距离为$8\ \mathrm{cm} - 5\ \mathrm{cm} = 3\ \mathrm{cm}$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{AB}{CD} = \frac{3}{5}$，
将$CD=4\ \mathrm{cm}$代入得：$\frac{AB}{4} = \frac{3}{5}$，
解得$AB = 2.4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2.4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题以生活中常见的沙漏为背景，考查相似三角形的实际应用，解题的核心是将实际场景转化为相似三角形的几何模型，利用相似的性质列比例计算，能够有效考查学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先从题目条件提取几何关系：沙面AB和底部CD都是水平的，故AB//CD，可推出△AOB和△DOC相似；接下来先计算CD的长度，再分别找到点O到AB、CD的竖直距离，结合相似三角形“对应高的比等于相似比”的性质，列出比例式即可求出AB的长度。
【解析】
解：由题意得，CD的长度为：$CD = 7\ \mathrm{cm} - 3\ \mathrm{cm} = 4\ \mathrm{cm}$，
∵AB、CD均为水平直线，
∴$AB // CD$，
∴$∠OAB = ∠ODC$，$∠OBA = ∠OCD$，
∴$△ AOB ∽ △ DOC$。
∵O与竖直刻度5cm水平对齐，CD与竖直直尺0刻度线重合，AB与刻度8cm水平对齐，
∴点O到CD的竖直距离为$5\ \mathrm{cm}$，点O到AB的竖直距离为$8\ \mathrm{cm} - 5\ \mathrm{cm} = 3\ \mathrm{cm}$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{AB}{CD} = \frac{3}{5}$，
将$CD=4\ \mathrm{cm}$代入得：$\frac{AB}{4} = \frac{3}{5}$，
解得$AB = 2.4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2.4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题以生活中常见的沙漏为背景，考查相似三角形的实际应用，解题的核心是将实际场景转化为相似三角形的几何模型，利用相似的性质列比例计算，能够有效考查学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
5. 提升题 如图，小明根据所学知识制作视力表。当测试距离AB为5 m时，标准视力表中最大“E”字的高度BC为72.7 mm，则当测试距离AD为2.5 m时，最大“E”字的高度DF应为多少毫米？
答案
解：
∵ $BC⊥ AB$，$DF⊥ AB$，
∴ $BC// DF$，
∴ $△ ADF ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{DF}{BC}$，
将$AD=2.5\ \mathrm{m}$，$AB=5\ \mathrm{m}$，$BC=72.7\ \mathrm{mm}$代入得：
$\frac{2.5}{5}=\frac{DF}{72.7}$，
解得 $DF=36.35\ \mathrm{mm}$。
答：最大“E”字的高度$DF$应为36.35毫米。
∵ $BC⊥ AB$，$DF⊥ AB$，
∴ $BC// DF$，
∴ $△ ADF ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{DF}{BC}$，
将$AD=2.5\ \mathrm{m}$，$AB=5\ \mathrm{m}$，$BC=72.7\ \mathrm{mm}$代入得：
$\frac{2.5}{5}=\frac{DF}{72.7}$，
解得 $DF=36.35\ \mathrm{mm}$。
答：最大“E”字的高度$DF$应为36.35毫米。
解析
【分析】
首先观察图形特征，BC和DF均垂直于水平地面AB，可推出BC与DF平行，进而可得△ADF与△ABC存在公共角∠A，且两组对应角相等，满足相似三角形的判定条件。再利用相似三角形对应边成比例的性质，即可列比例式代入已知数值求解DF的高度。
【解析】
∵ $BC⊥ AB$，$DF⊥ AB$，
∴ $BC// DF$，
∴ $△ ADF ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{DF}{BC}$，
将$AD=2.5\ \mathrm{m}$，$AB=5\ \mathrm{m}$，$BC=72.7\ \mathrm{mm}$代入得：
$\frac{2.5}{5}=\frac{DF}{72.7}$，
解得 $DF=36.35\ \mathrm{mm}$。
【答案】
最大“E”字的高度DF应为36.35毫米。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活中视力表的场景考查相似三角形的应用，解题核心是准确识别相似三角形，利用相似的性质建立比例关系求解，能够很好地考查学生知识迁移和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征，BC和DF均垂直于水平地面AB，可推出BC与DF平行，进而可得△ADF与△ABC存在公共角∠A，且两组对应角相等，满足相似三角形的判定条件。再利用相似三角形对应边成比例的性质，即可列比例式代入已知数值求解DF的高度。
【解析】
∵ $BC⊥ AB$，$DF⊥ AB$，
∴ $BC// DF$，
∴ $△ ADF ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{DF}{BC}$，
将$AD=2.5\ \mathrm{m}$，$AB=5\ \mathrm{m}$，$BC=72.7\ \mathrm{mm}$代入得：
$\frac{2.5}{5}=\frac{DF}{72.7}$，
解得 $DF=36.35\ \mathrm{mm}$。
【答案】
最大“E”字的高度DF应为36.35毫米。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活中视力表的场景考查相似三角形的应用，解题核心是准确识别相似三角形，利用相似的性质建立比例关系求解，能够很好地考查学生知识迁移和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
