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一、选择题
1. 如图，已知直线 $a // b // c$，分别交直线 $m,n$ 于点 $A,B,C,D,E,F$。若 $AB=4, BC=6, DE=2$，则 $DF=(\quad)$
A.8
B.7
C.6
D.5
1. 如图，已知直线 $a // b // c$，分别交直线 $m,n$ 于点 $A,B,C,D,E,F$。若 $AB=4, BC=6, DE=2$，则 $DF=(\quad)$
A.8
B.7
C.6
D.5
答案
D
解析
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先根据已知三条平行直线截两条直线的特征，确定适用平行线分线段成比例定理；接着找到对应线段的比例关系，代入已知线段长度求出未知线段EF的长；最后根据DF是DE与EF的和，计算得到DF的长度即可。
【解析】
解：
∵直线$a // b // c$，
根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$。
将$AB=4, BC=6, DE=2$代入比例式：
$\frac{4}{6}=\frac{2}{EF}$，
交叉相乘得$4EF = 2×6 = 12$，
解得$EF=3$。
又
∵$DF = DE + EF$，
∴$DF = 2 + 3 = 5$。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例定理、比例计算、线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行线分线段成比例定理的直接应用，解题的核心是准确找到成比例的对应线段，计算过程简单，只要掌握定理内容即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先根据已知三条平行直线截两条直线的特征，确定适用平行线分线段成比例定理；接着找到对应线段的比例关系，代入已知线段长度求出未知线段EF的长；最后根据DF是DE与EF的和，计算得到DF的长度即可。
【解析】
解：
∵直线$a // b // c$，
根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$。
将$AB=4, BC=6, DE=2$代入比例式：
$\frac{4}{6}=\frac{2}{EF}$，
交叉相乘得$4EF = 2×6 = 12$，
解得$EF=3$。
又
∵$DF = DE + EF$，
∴$DF = 2 + 3 = 5$。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例定理、比例计算、线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行线分线段成比例定理的直接应用，解题的核心是准确找到成比例的对应线段，计算过程简单，只要掌握定理内容即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
2.如图,把矩形ABCD对折,折痕为MN。如果矩形DMNC与矩形ABCD相似,那么它们的相似比为()
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.2
D.$\frac{1}{2}$
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.2
D.$\frac{1}{2}$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先利用对折的性质得到小矩形的一边长为原矩形长的一半；再结合相似多边形对应边成比例的性质，设出原矩形的长和宽，根据对应边的比例关系列等式，求解出原矩形长宽的数量关系，最后代入计算相似比即可。
【解析】
设矩形ABCD的长$AD=a$，宽$AB=b$，
由对折的性质可得：$DM = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}$，且$MN=AB=b$，$CD=AB=b$。
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴对应边成比例，即$\frac{DM}{AB}=\frac{CD}{AD}$，
代入得：$\frac{\frac{a}{2}}{b}=\frac{b}{a}$，
交叉相乘整理得：$a^2=2b^2$，
∵边长为正数，
∴$a=\sqrt{2}b$。
相似比为矩形DMNC与矩形ABCD的对应边之比，即：
$\frac{DM}{AB}=\frac{\frac{a}{2}}{b}=\frac{\frac{\sqrt{2}b}{2}}{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
相似多边形的性质，矩形的性质，比例运算
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用，解题的核心是准确找到两个矩形的对应边，结合对折的边的关系列比例式求解，注意相似比是前一个图形和后一个图形的对应边的比值，不要弄反顺序。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用对折的性质得到小矩形的一边长为原矩形长的一半；再结合相似多边形对应边成比例的性质，设出原矩形的长和宽，根据对应边的比例关系列等式，求解出原矩形长宽的数量关系，最后代入计算相似比即可。
【解析】
设矩形ABCD的长$AD=a$，宽$AB=b$，
由对折的性质可得：$DM = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}$，且$MN=AB=b$，$CD=AB=b$。
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴对应边成比例，即$\frac{DM}{AB}=\frac{CD}{AD}$，
代入得：$\frac{\frac{a}{2}}{b}=\frac{b}{a}$，
交叉相乘整理得：$a^2=2b^2$，
∵边长为正数，
∴$a=\sqrt{2}b$。
相似比为矩形DMNC与矩形ABCD的对应边之比，即：
$\frac{DM}{AB}=\frac{\frac{a}{2}}{b}=\frac{\frac{\sqrt{2}b}{2}}{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
相似多边形的性质，矩形的性质，比例运算
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用，解题的核心是准确找到两个矩形的对应边，结合对折的边的关系列比例式求解，注意相似比是前一个图形和后一个图形的对应边的比值，不要弄反顺序。
【难度系数】
0.7
3.如图,点 B 为线段 AC 的黄金分割点(BC＞AB)。若 AC=80,则 AB 的长为()
A.$40\sqrt{5} - 40$
B.$80 - 20\sqrt{5}$
C.$120 - 40\sqrt{5}$
D.$80\sqrt{5} - 80$
A.$40\sqrt{5} - 40$
B.$80 - 20\sqrt{5}$
C.$120 - 40\sqrt{5}$
D.$80\sqrt{5} - 80$
答案
C
解析
【分析】
本题需要利用黄金分割的定义求解。首先回忆黄金分割的性质：若点B是线段AC的黄金分割点，且BC＞AB，则较长线段BC与整条线段AC的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。解题时先根据该比例求出BC的长度，再利用线段和差关系$AB=AC-BC$计算AB的长度即可。
【解析】
解：
∵点B为线段AC的黄金分割点，且$BC＞AB$，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
已知$AC=80$，代入得：
$BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×80=40(\sqrt{5}-1)=40\sqrt{5}-40$，
∴$AB=AC-BC=80-(40\sqrt{5}-40)=80-40\sqrt{5}+40=120-40\sqrt{5}$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割的定义、线段的和差计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是准确记忆黄金分割的比例关系，同时要注意题目给出的$BC＞AB$的限定条件，避免混淆长短线段对应的比例，代入数据计算时注意符号运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
本题需要利用黄金分割的定义求解。首先回忆黄金分割的性质：若点B是线段AC的黄金分割点，且BC＞AB，则较长线段BC与整条线段AC的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。解题时先根据该比例求出BC的长度，再利用线段和差关系$AB=AC-BC$计算AB的长度即可。
【解析】
解：
∵点B为线段AC的黄金分割点，且$BC＞AB$，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
已知$AC=80$，代入得：
$BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×80=40(\sqrt{5}-1)=40\sqrt{5}-40$，
∴$AB=AC-BC=80-(40\sqrt{5}-40)=80-40\sqrt{5}+40=120-40\sqrt{5}$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
黄金分割的定义、线段的和差计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是准确记忆黄金分割的比例关系，同时要注意题目给出的$BC＞AB$的限定条件，避免混淆长短线段对应的比例，代入数据计算时注意符号运算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4.如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H。若AB=6，CE=2，则DH=。
4.如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H。若AB=6，CE=2，则DH=。
答案
解：
∵ 四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，AB=6，CE=2
∴ AD=CD=6，GF=CG=2，AD//BC，GF//BC，∠ADH=90°
∴ AD//GF，∠FGH=90°
又∵ ∠AHD=∠FHG
∴ △ADH∽△FGH
设DH=x，则GH=CD-DH-CG=6-x-2=4-x
由相似三角形对应边成比例得：
$\frac{AD}{GF}=\frac{DH}{GH}$
代入数值：
$\frac{6}{2}=\frac{x}{4-x}$
整理得：$12-3x=x$
解得：$x=3$
经检验，x=3符合题意
∴ DH=3
∵ 四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，AB=6，CE=2
∴ AD=CD=6，GF=CG=2，AD//BC，GF//BC，∠ADH=90°
∴ AD//GF，∠FGH=90°
又∵ ∠AHD=∠FHG
∴ △ADH∽△FGH
设DH=x，则GH=CD-DH-CG=6-x-2=4-x
由相似三角形对应边成比例得：
$\frac{AD}{GF}=\frac{DH}{GH}$
代入数值：
$\frac{6}{2}=\frac{x}{4-x}$
整理得：$12-3x=x$
解得：$x=3$
经检验，x=3符合题意
∴ DH=3
解析
【分析】
解题时首先结合正方形的性质，得出两个正方形的边长以及AD与GF平行的关系；接着观察图形发现∠AHD和∠FHG是对顶角，结合平行得到的内错角相等，可证明△ADH与△FGH相似；最后设DH的长为x，用含x的式子表示出GH的长，利用相似三角形对应边成比例列方程，求解即可得到DH的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，AB=6，CE=2
∴ AD=CD=6，GF=CG=2，AD//BC，GF//BC，∠ADH=90°
∴ AD//GF，∠FGH=90°
又
∵ ∠AHD=∠FHG
∴ △ADH∽△FGH
设DH=x，则GH=CD-DH-CG=6-x-2=4-x
由相似三角形对应边成比例得：
$\frac{AD}{GF}=\frac{DH}{GH}$
代入数值：
$\frac{6}{2}=\frac{x}{4-x}$
整理得：$12-3x=x$
解得：$x=3$
经检验，x=3符合题意
∴ DH=3
【答案】
3
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，将正方形的性质与相似三角形的知识结合考查，解题的关键是挖掘图形中的平行关系找到相似三角形，通过建立方程求解未知线段长，能很好地考查学生对基础几何知识的应用能力和方程思想的掌握情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合正方形的性质，得出两个正方形的边长以及AD与GF平行的关系；接着观察图形发现∠AHD和∠FHG是对顶角，结合平行得到的内错角相等，可证明△ADH与△FGH相似；最后设DH的长为x，用含x的式子表示出GH的长，利用相似三角形对应边成比例列方程，求解即可得到DH的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，AB=6，CE=2
∴ AD=CD=6，GF=CG=2，AD//BC，GF//BC，∠ADH=90°
∴ AD//GF，∠FGH=90°
又
∵ ∠AHD=∠FHG
∴ △ADH∽△FGH
设DH=x，则GH=CD-DH-CG=6-x-2=4-x
由相似三角形对应边成比例得：
$\frac{AD}{GF}=\frac{DH}{GH}$
代入数值：
$\frac{6}{2}=\frac{x}{4-x}$
整理得：$12-3x=x$
解得：$x=3$
经检验，x=3符合题意
∴ DH=3
【答案】
3
【知识点】
正方形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，将正方形的性质与相似三角形的知识结合考查，解题的关键是挖掘图形中的平行关系找到相似三角形，通过建立方程求解未知线段长，能很好地考查学生对基础几何知识的应用能力和方程思想的掌握情况。
【难度系数】
0.7
5.图①是装有水的长方体容器的截面图，将该容器绕底面的一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图②所示。根据图中数据，此时水面宽度AB为。
答案
$\boldsymbol{10\ \mathrm{cm}}$
解析
【分析】
解决本题的关键是抓住容器倾斜前后水的体积不变这一核心条件。首先根据柱体体积公式算出容器的总容积，再结合倾斜后的水面高度求出水的体积，进而得到空白部分的体积。由于空白部分是底面为直角三角形的直棱柱，结合其底面积公式即可求出水面宽度AB的长度。
【解析】
设该长方体容器垂直于截面的长度为$ L\ \mathrm{cm} $。
1. 计算容器的总容积：
容器截面为长$ 6\ \mathrm{cm} $、高$ 15\ \mathrm{cm} $的长方形，因此总容积为：
$ V_{\mathrm{总}} = 6 × 15 × L = 90L\ \mathrm{cm^3} $
2. 计算水的体积：
倾斜后水面高度为$ 10\ \mathrm{cm} $，水的体积可等效为底面积$ 6L\ \mathrm{cm^2} $、高$ 10\ \mathrm{cm} $的长方体体积：
$ V_{\mathrm{水}} = 6 × 10 × L = 60L\ \mathrm{cm^3} $
3. 计算空白部分体积及AB长度：
空白部分体积$ V_{\mathrm{空}} = V_{\mathrm{总}} - V_{\mathrm{水}} = 90L - 60L = 30L\ \mathrm{cm^3} $
空白部分是底面为直角三角形的直棱柱，其底面积$ S_{\mathrm{空}} = \frac{V_{\mathrm{空}}}{L} = 30\ \mathrm{cm^2} $。
已知直角三角形的一条直角边为$ 6\ \mathrm{cm} $，另一条直角边为$ AB $，根据三角形面积公式：
$ S_{\mathrm{空}} = \frac{1}{2} × 6 × AB = 30 $
解得$ AB = 10\ \mathrm{cm} $。
【答案】
$\boldsymbol{10\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
柱体体积计算，等积变换，三角形面积计算
【点评】
本题结合生活中的倾斜容器场景考查等积变换的应用，解题时只要抓住水的体积不变这一关键点，将不规则的空白部分转化为规则的直棱柱求解即可，避免因图形倾斜产生畏难情绪。
【难度系数】
0.7
解决本题的关键是抓住容器倾斜前后水的体积不变这一核心条件。首先根据柱体体积公式算出容器的总容积，再结合倾斜后的水面高度求出水的体积，进而得到空白部分的体积。由于空白部分是底面为直角三角形的直棱柱，结合其底面积公式即可求出水面宽度AB的长度。
【解析】
设该长方体容器垂直于截面的长度为$ L\ \mathrm{cm} $。
1. 计算容器的总容积：
容器截面为长$ 6\ \mathrm{cm} $、高$ 15\ \mathrm{cm} $的长方形，因此总容积为：
$ V_{\mathrm{总}} = 6 × 15 × L = 90L\ \mathrm{cm^3} $
2. 计算水的体积：
倾斜后水面高度为$ 10\ \mathrm{cm} $，水的体积可等效为底面积$ 6L\ \mathrm{cm^2} $、高$ 10\ \mathrm{cm} $的长方体体积：
$ V_{\mathrm{水}} = 6 × 10 × L = 60L\ \mathrm{cm^3} $
3. 计算空白部分体积及AB长度：
空白部分体积$ V_{\mathrm{空}} = V_{\mathrm{总}} - V_{\mathrm{水}} = 90L - 60L = 30L\ \mathrm{cm^3} $
空白部分是底面为直角三角形的直棱柱，其底面积$ S_{\mathrm{空}} = \frac{V_{\mathrm{空}}}{L} = 30\ \mathrm{cm^2} $。
已知直角三角形的一条直角边为$ 6\ \mathrm{cm} $，另一条直角边为$ AB $，根据三角形面积公式：
$ S_{\mathrm{空}} = \frac{1}{2} × 6 × AB = 30 $
解得$ AB = 10\ \mathrm{cm} $。
【答案】
$\boldsymbol{10\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
柱体体积计算，等积变换，三角形面积计算
【点评】
本题结合生活中的倾斜容器场景考查等积变换的应用，解题时只要抓住水的体积不变这一关键点，将不规则的空白部分转化为规则的直棱柱求解即可，避免因图形倾斜产生畏难情绪。
【难度系数】
0.7
6. 提升题 如图，在$□ ABCD$中，点F在CD上，BF，AC交于点E。若$CF:DF=1:2$，则$S_{△ BCF}:S_{□ ABCD}=$。
答案
$\boldsymbol{1:6}$
解析
【分析】
首先回忆平行四边形的性质与面积公式、三角形面积公式。已知CF:DF=1:2，我们可将CF设为1份、DF设为2份，得到CD总长度为3份。观察△BCF与平行四边形ABCD：△BCF的底为CF，它的高与平行四边形以CD为底时的高相等（均为点B到直线CD的距离），图中点E为无关条件，无需考虑。接下来分别表示出两个图形的面积，再求比值即可。
【解析】
设$CF=x$，由$CF:DF=1:2$可得$DF=2x$，因此$CD=CF+DF=3x$。
设平行四边形ABCD中CD边上的高为$h$：
1. 平行四边形ABCD的面积：$S_{□ABCD}=CD · h=3xh$
2. △BCF的底为$CF=x$，高与平行四边形CD边上的高相等，因此面积：$S_{△BCF}=\frac{1}{2} · CF · h=\frac{1}{2}xh$
计算面积比：$S_{△BCF}:S_{□ABCD}=\frac{1}{2}xh:3xh=\frac{1}{2}:3=1:6$
【答案】
$\boldsymbol{1:6}$
【知识点】
平行四边形的性质，三角形面积公式，面积比计算
【点评】
本题考查平行四边形与三角形的面积关系，解题时要准确找到两个图形底和高的对应关系，注意排除题目中的无关干扰条件，计算比值时相同的量可以直接约去，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
首先回忆平行四边形的性质与面积公式、三角形面积公式。已知CF:DF=1:2，我们可将CF设为1份、DF设为2份，得到CD总长度为3份。观察△BCF与平行四边形ABCD：△BCF的底为CF，它的高与平行四边形以CD为底时的高相等（均为点B到直线CD的距离），图中点E为无关条件，无需考虑。接下来分别表示出两个图形的面积，再求比值即可。
【解析】
设$CF=x$，由$CF:DF=1:2$可得$DF=2x$，因此$CD=CF+DF=3x$。
设平行四边形ABCD中CD边上的高为$h$：
1. 平行四边形ABCD的面积：$S_{□ABCD}=CD · h=3xh$
2. △BCF的底为$CF=x$，高与平行四边形CD边上的高相等，因此面积：$S_{△BCF}=\frac{1}{2} · CF · h=\frac{1}{2}xh$
计算面积比：$S_{△BCF}:S_{□ABCD}=\frac{1}{2}xh:3xh=\frac{1}{2}:3=1:6$
【答案】
$\boldsymbol{1:6}$
【知识点】
平行四边形的性质，三角形面积公式，面积比计算
【点评】
本题考查平行四边形与三角形的面积关系，解题时要准确找到两个图形底和高的对应关系，注意排除题目中的无关干扰条件，计算比值时相同的量可以直接约去，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
