三、解答题
7.如图，点E在ABCD的边BC的延长线上，AE与BD交于点F，与DC交于点G。
(1)求证：△ABE∽△GDA。
(2)若BC=2CE，BD=15，求DF的长。

(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $∠ ABE = ∠ GDA$，$AD// BE$，
∴ $∠ DAG = ∠ E$，
∴ $△ ABE ∽ △ GDA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
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(2) 解：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD = BC$，$AD// BC$，
∴ $△ ADF ∽ △ EBF$，
∴ $\dfrac{DF}{BF} = \dfrac{AD}{BE}$。
已知$BC=2CE$，设$CE=k$，则$BC=2k$，
$BE = BC + CE = 3k$，$AD=BC=2k$，
∴ $\dfrac{AD}{BE} = \dfrac{2k}{3k} = \dfrac{2}{3}$，即$\dfrac{DF}{BF} = \dfrac{2}{3}$，可得$BF=\dfrac{3}{2}DF$。
又∵ $DF + BF = BD = 15$，
代入得：$DF + \dfrac{3}{2}DF = 15$，
解得：$DF=6$。
答：$DF$的长为$\boldsymbol{6}$。

【分析】
(1) 要证明△ABE∽△GDA，优先选用两角对应相等的相似判定定理：首先利用平行四边形的性质可得对角相等，即∠ABE=∠GDA；再由平行四边形对边平行，AD//BE，可得内错角∠DAG=∠E，两组角对应相等即可证明两三角形相似。
(2) 要求DF的长，先观察DF所在的三角形：由AD//BE可证△ADF∽△EBF，得到对应边的比例关系$\frac{DF}{BF}=\frac{AD}{BE}$；结合BC=2CE的条件，设参数表示出AD、BE的长度，求出二者的比值，再结合DF+BF=BD=15，列方程即可求出DF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $∠ ABE = ∠ GDA$，$AD// BE$，
∴ $∠ DAG = ∠ E$，
∴ $△ ABE ∽ △ GDA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD = BC$，$AD// BC$，
∴ $△ ADF ∽ △ EBF$，
∴ $\dfrac{DF}{BF} = \dfrac{AD}{BE}$。
已知$BC=2CE$，设$CE=k$，则$BC=2k$，
$BE = BC + CE = 3k$，$AD=BC=2k$，
∴ $\dfrac{AD}{BE} = \dfrac{2k}{3k} = \dfrac{2}{3}$，即$\dfrac{DF}{BF} = \dfrac{2}{3}$，可得$BF=\dfrac{3}{2}DF$。
又
∵ $DF + BF = BD = 15$，
代入得：$DF + \dfrac{3}{2}DF = 15$，
解得：$DF=6$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $DF$的长为$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何常见基础题，将平行四边形性质与相似三角形的判定、性质结合考查，解题的关键是利用平行四边形对边平行的特征找到相似三角形，再结合线段比例关系建立方程求解，掌握相关基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

8. 提升题 如图，AD是$△ ABC$的中线，E是线段AD上的一点，且$AD=3AE$，连接CE并延长，交AB于点F。
(1)求$\frac{AE}{DE}$的值。
(2)若$AF=2\ \mathrm{cm}$，求AB的长。

解：
(1) ∵ $AD = 3AE$，且 $AD = AE + DE$
∴ $3AE = AE + DE$，即 $DE = 2AE$
∴ $\frac{AE}{DE} = \frac{AE}{2AE} = \frac{1}{2}$
(2) 过点$D$作$DG // CF$，交$AB$于点$G$。
∵ $AD$是$△ ABC$的中线，
∴ $D$是$BC$的中点。
∵ $DG // CF$，由平行线分线段成比例可得$G$是$BF$的中点，即 $BG = GF$。
∵ $DG // EF$，
∴ $\frac{AF}{FG} = \frac{AE}{DE} = \frac{1}{2}$。
∵ $AF = 2\ \mathrm{cm}$，
∴ $FG = 2AF = 4\ \mathrm{cm}$，
∴ $BF = 2FG = 8\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB = AF + BF = 2 + 8 = 10\ \mathrm{cm}$。
答：$AB$的长为$10\ \mathrm{cm}$。

【分析】
(1) 第一问求$\frac{AE}{DE}$的比值，已知$AD=3AE$，结合线段和的基本关系$AD=AE+DE$，将$AD$替换为$3AE$，就能推导出$AE$和$DE$的数量关系，进而求出比值。
(2) 第二问已知$AF$的长度求$AB$，需要先求出$BF$的长度。已知$D$是$BC$的中点，过$D$作$DG // CF$交$AB$于$G$，利用平行线分线段成比例的性质，首先可得$G$是$BF$的中点，即$BG=GF$；再由$EF // DG$，可得$\frac{AF}{FG}=\frac{AE}{DE}$，代入已知的比值和$AF$的长度，依次求出$FG$、$BF$的长度，最终$AF+BF$即为$AB$的长度。
【解析】
(1)
∵ $AD = 3AE$，且 $AD = AE + DE$
∴ $3AE = AE + DE$，即 $DE = 2AE$
∴ $\frac{AE}{DE} = \frac{AE}{2AE} = \frac{1}{2}$
(2) 过点$D$作$DG // CF$，交$AB$于点$G$。
∵ $AD$是$△ ABC$的中线，
∴ $D$是$BC$的中点。
∵ $DG // CF$，根据平行线分线段成比例定理，可得$G$是$BF$的中点，即 $BG = GF$。
∵ $DG // EF$，
∴ $\frac{AF}{FG} = \frac{AE}{DE} = \frac{1}{2}$。
∵ $AF = 2\ \mathrm{cm}$，
∴ $FG = 2AF = 4\ \mathrm{cm}$，
∴ $BF = 2FG = 8\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB = AF + BF = 2 + 8 = 10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $10\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段和差计算，平行线分线段成比例，三角形中线性质
【点评】
本题第一问是基础的线段比例计算，直接利用线段和差关系即可求解；第二问的核心是通过作平行线构造比例线段，该辅助线作法是解决线段比例类问题的常用技巧，需熟练掌握这类辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.6