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8.手影游戏利用的物理原理是:光是沿直线传播的,如图①所示的小狗手影就是我们小时候常玩的游戏。在一次游戏中,小明的手距离墙壁3 m,爸爸拿的光源与小明手的距离为1 m,如图②,在光源不动的情况下,要使小狗手影的高度变为原来的一半,则小明的手与光源的距离应（
A.增加0.5 m
B.增加1 m
C.增加2 m
D.减少0.5 m
B
）。A.增加0.5 m
B.增加1 m
C.增加2 m
D.减少0.5 m
答案
8.B
解析
【分析】
本题是相似三角形在实际生活中的应用问题，解题思路如下：首先根据光沿直线传播的特点，可知手与影子平行，因此以光源为公共顶点，分别以手、影子为边的两个三角形为相似三角形；其次明确题中的不变量：光源到墙壁的总距离、手的高度不变；再结合相似三角形对应边成比例的性质，先根据初始条件得到手高和原影高的关系，再根据影高变为原来一半的条件，列比例式求新的手到光源的距离，最后计算距离的变化量即可。
【解析】
设手的高度为$h$，原来的影高为$H$。
已知初始状态下，光源到手的距离为$1\mathrm{m}$，手到墙壁的距离为$3\mathrm{m}$，因此光源到墙壁的总距离为$1+3=4\mathrm{m}$。
由光沿直线传播可知，手与影子平行，两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{h}{H}=\frac{\mathrm{光源到手的距离}}{\mathrm{光源到墙的距离}}=\frac{1}{4}$，即$H=4h$。
当影高变为原来的一半时，新的影高$H'=\frac{1}{2}H=2h$，设此时手到光源的距离为$d$，光源到墙的距离仍为$4\mathrm{m}$，再次利用相似三角形性质：
$\frac{h}{H'}=\frac{d}{4}$，将$H'=2h$代入得：
$\frac{h}{2h}=\frac{d}{4}$，约去$h$解得$d=2\mathrm{m}$。
对比初始的$1\mathrm{m}$，手与光源的距离增加了$2-1=1\mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形对应边成比例；相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活中常见的手影游戏考查相似三角形的应用，解题的核心是抓住不变量，准确找到相似三角形的对应比例关系，将实际问题转化为相似三角形的计算问题。
【难度系数】
0.7
本题是相似三角形在实际生活中的应用问题，解题思路如下：首先根据光沿直线传播的特点，可知手与影子平行，因此以光源为公共顶点，分别以手、影子为边的两个三角形为相似三角形；其次明确题中的不变量：光源到墙壁的总距离、手的高度不变；再结合相似三角形对应边成比例的性质，先根据初始条件得到手高和原影高的关系，再根据影高变为原来一半的条件，列比例式求新的手到光源的距离，最后计算距离的变化量即可。
【解析】
设手的高度为$h$，原来的影高为$H$。
已知初始状态下，光源到手的距离为$1\mathrm{m}$，手到墙壁的距离为$3\mathrm{m}$，因此光源到墙壁的总距离为$1+3=4\mathrm{m}$。
由光沿直线传播可知，手与影子平行，两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{h}{H}=\frac{\mathrm{光源到手的距离}}{\mathrm{光源到墙的距离}}=\frac{1}{4}$，即$H=4h$。
当影高变为原来的一半时，新的影高$H'=\frac{1}{2}H=2h$，设此时手到光源的距离为$d$，光源到墙的距离仍为$4\mathrm{m}$，再次利用相似三角形性质：
$\frac{h}{H'}=\frac{d}{4}$，将$H'=2h$代入得：
$\frac{h}{2h}=\frac{d}{4}$，约去$h$解得$d=2\mathrm{m}$。
对比初始的$1\mathrm{m}$，手与光源的距离增加了$2-1=1\mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形对应边成比例；相似三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活中常见的手影游戏考查相似三角形的应用，解题的核心是抓住不变量，准确找到相似三角形的对应比例关系，将实际问题转化为相似三角形的计算问题。
【难度系数】
0.7
9.如图,在$△ ABC$中,点$D,E,F$分别在边$AB,AC,BC$上,连接$DE,DF,BE,DF$与$BE$交于点$G$。已知四边形$DFCE$是平行四边形,且$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$。
(1)若$AC=25$,求线段$AE,GF$的长;
(2)若四边形$GFCE$的面积为$48$,求$△ ABC$的面积。
(1)若$AC=25$,求线段$AE,GF$的长;
(2)若四边形$GFCE$的面积为$48$,求$△ ABC$的面积。
答案
9.(1)$AE=10,GF=9$;(2)$S_{△ ABC}=125$。
解析
【分析】
首先利用平行四边形的性质得到边的平行与相等关系，为相似三角形的判定提供条件：
(1) 先由$DE// BC$证$△ ADE ∽ △ ABC$，根据相似比求出$AE$的长度，再由平行四边形对边相等得到$DF$的长度，最后通过$△ DEG ∽ △ FBG$的相似比求出$GF$的长度；
(2) 先由$GF// EC$证$△ BGF ∽ △ BEC$，结合面积比和四边形$GFCE$的面积求出$△ BEC$的面积，再根据同高三角形面积比等于底的比，求出$△ ABC$的总面积。
【解析】
(1) $\because$ 四边形$DFCE$是平行四边形
$\therefore DE// BC$，$DF// AC$，$DE=FC$，$DF=EC$
$\because DE// BC$，$∠ A=∠ A$
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$
$\because AC=25$
$\therefore AE=\frac{2}{5}×25=10$
$\therefore EC=AC-AE=25-10=15$，即$DF=EC=15$
设$DE=2k$，则$BC=5k$，$FC=DE=2k$
$\therefore BF=BC-FC=5k-2k=3k$
$\because DE// BC$
$\therefore ∠ GDE=∠ GFB$，$∠ GED=∠ GBF$
$\therefore △ DEG ∽ △ FBG$
$\therefore \frac{DG}{GF}=\frac{DE}{BF}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$
设$DG=2m$，$GF=3m$，则$DF=DG+GF=5m=15$，解得$m=3$
$\therefore GF=3×3=9$
(2) $\because DF// AC$
$\therefore ∠ BGF=∠ BEC$，$∠ BFG=∠ C$
$\therefore △ BGF ∽ △ BEC$
$\because BF:BC=3k:5k=3:5$
$\therefore \frac{S_{△ BGF}}{S_{△ BEC}}=(\frac{3}{5})^2=\frac{9}{25}$
设$S_{△ BGF}=9a$，则$S_{△ BEC}=25a$
$\because S_{四边形GFCE}=S_{△ BEC}-S_{△ BGF}=25a-9a=16a=48$
解得$a=3$
$\therefore S_{△ BEC}=25×3=75$
$\because △ ABE$和$△ BEC$同高，底$AE:EC=2:3$
$\therefore \frac{S_{△ ABE}}{S_{△ BEC}}=\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$
$\therefore S_{△ ABE}=\frac{2}{3}×75=50$
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ABE}+S_{△ BEC}=50+75=125$
【答案】
(1)$AE=10$，$GF=9$；(2)$S_{△ ABC}=125$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形与平行四边形的综合应用题，解题核心是利用平行关系快速定位相似三角形，结合相似比求解线段长度和面积，需熟练掌握同高三角形面积比等于对应底的比这一常用结论。
【难度系数】
0.65
首先利用平行四边形的性质得到边的平行与相等关系，为相似三角形的判定提供条件：
(1) 先由$DE// BC$证$△ ADE ∽ △ ABC$，根据相似比求出$AE$的长度，再由平行四边形对边相等得到$DF$的长度，最后通过$△ DEG ∽ △ FBG$的相似比求出$GF$的长度；
(2) 先由$GF// EC$证$△ BGF ∽ △ BEC$，结合面积比和四边形$GFCE$的面积求出$△ BEC$的面积，再根据同高三角形面积比等于底的比，求出$△ ABC$的总面积。
【解析】
(1) $\because$ 四边形$DFCE$是平行四边形
$\therefore DE// BC$，$DF// AC$，$DE=FC$，$DF=EC$
$\because DE// BC$，$∠ A=∠ A$
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$
$\because AC=25$
$\therefore AE=\frac{2}{5}×25=10$
$\therefore EC=AC-AE=25-10=15$，即$DF=EC=15$
设$DE=2k$，则$BC=5k$，$FC=DE=2k$
$\therefore BF=BC-FC=5k-2k=3k$
$\because DE// BC$
$\therefore ∠ GDE=∠ GFB$，$∠ GED=∠ GBF$
$\therefore △ DEG ∽ △ FBG$
$\therefore \frac{DG}{GF}=\frac{DE}{BF}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$
设$DG=2m$，$GF=3m$，则$DF=DG+GF=5m=15$，解得$m=3$
$\therefore GF=3×3=9$
(2) $\because DF// AC$
$\therefore ∠ BGF=∠ BEC$，$∠ BFG=∠ C$
$\therefore △ BGF ∽ △ BEC$
$\because BF:BC=3k:5k=3:5$
$\therefore \frac{S_{△ BGF}}{S_{△ BEC}}=(\frac{3}{5})^2=\frac{9}{25}$
设$S_{△ BGF}=9a$，则$S_{△ BEC}=25a$
$\because S_{四边形GFCE}=S_{△ BEC}-S_{△ BGF}=25a-9a=16a=48$
解得$a=3$
$\therefore S_{△ BEC}=25×3=75$
$\because △ ABE$和$△ BEC$同高，底$AE:EC=2:3$
$\therefore \frac{S_{△ ABE}}{S_{△ BEC}}=\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$
$\therefore S_{△ ABE}=\frac{2}{3}×75=50$
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ABE}+S_{△ BEC}=50+75=125$
【答案】
(1)$AE=10$，$GF=9$；(2)$S_{△ ABC}=125$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形与平行四边形的综合应用题，解题核心是利用平行关系快速定位相似三角形，结合相似比求解线段长度和面积，需熟练掌握同高三角形面积比等于对应底的比这一常用结论。
【难度系数】
0.65
10.如图,已知矩形$ABCD$,$AB=3\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,某一时刻,动点$M$从$A$点出发沿$AB$方向以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度向$B$点匀速运动;同时,动点$N$从$D$点出发沿$DA$方向以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向$A$点匀速运动,是否存在时刻$t$,使以$A,M,N$为顶点的三角形与$△ ACD$相似?若存在,直接写出$t$的值;若不存在,请说明理由。
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
10.解:由题意得,$AM=t\ \mathrm{cm}$,则$AN=(6-2t)\ \mathrm{cm},0＜t＜3$。
当$△ AMN∽△ DCA$时,则$\frac{AM}{DC}=\frac{AN}{DA}$,
即$\frac{t}{3}=\frac{6-2t}{6}$,解得$t=\frac{3}{2}$;
当$△ AMN∽△ DAC$时,
则$\frac{AM}{DA}=\frac{AN}{DC}$,即$\frac{t}{6}=\frac{6-2t}{3}$,
解得$t=\frac{12}{5}$。
综上所述,当$t=\frac{3}{2}\ \mathrm{s}$或$t=\frac{12}{5}\ \mathrm{s}$时,以$A,M,N$为顶点的三角形与$△ ACD$相似。
当$△ AMN∽△ DCA$时,则$\frac{AM}{DC}=\frac{AN}{DA}$,
即$\frac{t}{3}=\frac{6-2t}{6}$,解得$t=\frac{3}{2}$;
当$△ AMN∽△ DAC$时,
则$\frac{AM}{DA}=\frac{AN}{DC}$,即$\frac{t}{6}=\frac{6-2t}{3}$,
解得$t=\frac{12}{5}$。
综上所述,当$t=\frac{3}{2}\ \mathrm{s}$或$t=\frac{12}{5}\ \mathrm{s}$时,以$A,M,N$为顶点的三角形与$△ ACD$相似。
解析
【分析】
本题是矩形背景下的动点相似判定问题，解题思路如下：第一步，先根据动点的运动速度和时间t，分别表示出△AMN的两条直角边AM、AN的长度，同时确定t的取值范围；第二步，△ACD和△AMN都是直角三角形，直角分别为∠D和∠A，相似时直角必然对应，因此要分两种对应情况讨论：①△AMN∽△DCA，②△AMN∽△DAC；第三步，针对每种相似情况，根据相似三角形对应边成比例列方程，求解后验证解是否在t的取值范围内即可。
【解析】
解：由题意得，动点M的运动速度为1cm/s，故$AM = t\ \mathrm{cm}$；动点N的运动速度为2cm/s，DA长为6cm，故$AN = (6 - 2t)\ \mathrm{cm}$，其中t的取值范围为$0 ＜ t ＜ 3$。
已知矩形ABCD中，$CD=AB=3\ \mathrm{cm}$，$∠ D=∠ MAN=90°$，两个三角形相似分两种情况：
① 当$△ AMN ∽ △ DCA$时，对应边成比例：$\frac{AM}{DC}=\frac{AN}{DA}$，
代入数据得：$\frac{t}{3}=\frac{6-2t}{6}$，
解得$t=\frac{3}{2}$，符合$0 ＜ t ＜ 3$的要求；
② 当$△ AMN ∽ △ DAC$时，对应边成比例：$\frac{AM}{DA}=\frac{AN}{DC}$，
代入数据得：$\frac{t}{6}=\frac{6-2t}{3}$，
解得$t=\frac{12}{5}$，符合$0 ＜ t ＜ 3$的要求。
综上，存在满足条件的t值。
【答案】
$t=\frac{3}{2}\ \mathrm{s}$或$t=\frac{12}{5}\ \mathrm{s}$
【知识点】
相似三角形的性质；矩形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题属于动点相似的典型题型，解题核心是先准确用参数表示出相关线段长度，再结合相似三角形对应关系不唯一的特点分类讨论列方程求解，最后要注意检验所求参数是否符合实际运动的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
本题是矩形背景下的动点相似判定问题，解题思路如下：第一步，先根据动点的运动速度和时间t，分别表示出△AMN的两条直角边AM、AN的长度，同时确定t的取值范围；第二步，△ACD和△AMN都是直角三角形，直角分别为∠D和∠A，相似时直角必然对应，因此要分两种对应情况讨论：①△AMN∽△DCA，②△AMN∽△DAC；第三步，针对每种相似情况，根据相似三角形对应边成比例列方程，求解后验证解是否在t的取值范围内即可。
【解析】
解：由题意得，动点M的运动速度为1cm/s，故$AM = t\ \mathrm{cm}$；动点N的运动速度为2cm/s，DA长为6cm，故$AN = (6 - 2t)\ \mathrm{cm}$，其中t的取值范围为$0 ＜ t ＜ 3$。
已知矩形ABCD中，$CD=AB=3\ \mathrm{cm}$，$∠ D=∠ MAN=90°$，两个三角形相似分两种情况：
① 当$△ AMN ∽ △ DCA$时，对应边成比例：$\frac{AM}{DC}=\frac{AN}{DA}$，
代入数据得：$\frac{t}{3}=\frac{6-2t}{6}$，
解得$t=\frac{3}{2}$，符合$0 ＜ t ＜ 3$的要求；
② 当$△ AMN ∽ △ DAC$时，对应边成比例：$\frac{AM}{DA}=\frac{AN}{DC}$，
代入数据得：$\frac{t}{6}=\frac{6-2t}{3}$，
解得$t=\frac{12}{5}$，符合$0 ＜ t ＜ 3$的要求。
综上，存在满足条件的t值。
【答案】
$t=\frac{3}{2}\ \mathrm{s}$或$t=\frac{12}{5}\ \mathrm{s}$
【知识点】
相似三角形的性质；矩形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题属于动点相似的典型题型，解题核心是先准确用参数表示出相关线段长度，再结合相似三角形对应关系不唯一的特点分类讨论列方程求解，最后要注意检验所求参数是否符合实际运动的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
