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基础知识
相似三角形的性质3 相似三角形对应中线的比等于
相似三角形的性质4
相似三角形对应角平分线的比等于
困惑疑问：
基础知识
相似三角形的性质3 相似三角形对应中线的比等于
相似比
。相似三角形的性质4
相似三角形对应角平分线的比等于相似比
。困惑疑问：
答案
相似三角形对应中线的比等于相似比，相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
解析
【分析】
我们可以结合相似三角形的基本性质和判定来推导这两个结论：①回忆相似三角形的基础性质：相似三角形对应边成比例（比值为相似比）、对应角相等。②推导对应中线的比：先找到含对应中线的两个小三角形，利用“两边成比例且夹角相等”证明这两个小三角形相似，即可得到中线的比等于相似比。③推导对应角平分线的比：找到含对应角平分线的两个小三角形，利用“两角分别相等的两个三角形相似”证明小三角形相似，即可得到角平分线的比等于相似比。
【解析】
我们以具体的相似三角形为例推导：
1. 证明相似三角形对应中线的比等于相似比：
设$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$k$，$AD$是$△ ABC$中$BC$边上的中线，$A'D'$是$△ A'B'C'$中$B'C'$边上的中线。
由相似三角形的性质得：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=k$，$∠ B=∠ B'$。
因为$AD$、$A'D'$是中线，所以$BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$，因此$\frac{BD}{B'D'}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'}=\frac{BC}{B'C'}=k$。
可得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}$，又$∠ B=∠ B'$，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，得$△ ABD ∽ △ A'B'D'$，因此$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$，即对应中线的比等于相似比。
2. 证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比：
设$AE$是$△ ABC$中$∠ BAC$的角平分线，$A'E'$是$△ A'B'C'$中$∠ B'A'C'$的角平分线。
由相似三角形的性质得：$∠ BAC=∠ B'A'C'$，$∠ B=∠ B'$，$\frac{AB}{A'B'}=k$。
因为$AE$、$A'E'$是角平分线，所以$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ B'A'E'=\frac{1}{2}∠ B'A'C'$，因此$∠ BAE=∠ B'A'E'$。
又$∠ B=∠ B'$，根据两角分别相等的两个三角形相似，得$△ ABE ∽ △ A'B'E'$，因此$\frac{AE}{A'E'}=\frac{AB}{A'B'}=k$，即对应角平分线的比等于相似比。
【答案】
相似比；相似比
【知识点】
相似三角形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形的基础性质，属于基础识记类内容，相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线等所有对应线段的比都等于相似比，该性质是解决相似相关计算、证明问题的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
我们可以结合相似三角形的基本性质和判定来推导这两个结论：①回忆相似三角形的基础性质：相似三角形对应边成比例（比值为相似比）、对应角相等。②推导对应中线的比：先找到含对应中线的两个小三角形，利用“两边成比例且夹角相等”证明这两个小三角形相似，即可得到中线的比等于相似比。③推导对应角平分线的比：找到含对应角平分线的两个小三角形，利用“两角分别相等的两个三角形相似”证明小三角形相似，即可得到角平分线的比等于相似比。
【解析】
我们以具体的相似三角形为例推导：
1. 证明相似三角形对应中线的比等于相似比：
设$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$k$，$AD$是$△ ABC$中$BC$边上的中线，$A'D'$是$△ A'B'C'$中$B'C'$边上的中线。
由相似三角形的性质得：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=k$，$∠ B=∠ B'$。
因为$AD$、$A'D'$是中线，所以$BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$，因此$\frac{BD}{B'D'}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'}=\frac{BC}{B'C'}=k$。
可得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}$，又$∠ B=∠ B'$，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，得$△ ABD ∽ △ A'B'D'$，因此$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$，即对应中线的比等于相似比。
2. 证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比：
设$AE$是$△ ABC$中$∠ BAC$的角平分线，$A'E'$是$△ A'B'C'$中$∠ B'A'C'$的角平分线。
由相似三角形的性质得：$∠ BAC=∠ B'A'C'$，$∠ B=∠ B'$，$\frac{AB}{A'B'}=k$。
因为$AE$、$A'E'$是角平分线，所以$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ B'A'E'=\frac{1}{2}∠ B'A'C'$，因此$∠ BAE=∠ B'A'E'$。
又$∠ B=∠ B'$，根据两角分别相等的两个三角形相似，得$△ ABE ∽ △ A'B'E'$，因此$\frac{AE}{A'E'}=\frac{AB}{A'B'}=k$，即对应角平分线的比等于相似比。
【答案】
相似比；相似比
【知识点】
相似三角形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形的基础性质，属于基础识记类内容，相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线等所有对应线段的比都等于相似比，该性质是解决相似相关计算、证明问题的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
思考如图，$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$k$，$AD$，$A'D'$分别为对应边$BC$与$B'C'$上的中线。
(1)$\frac{AD}{A'D'}$等于$k$吗？为什么？
(2)$△ ABC$与$△ A'B'C'$对应角的角平分线的比等于$k$吗？为什么？
(3)$△ ABC$与$△ A'B'C'$的周长的比等于$k$吗？为什么？
(1)$\frac{AD}{A'D'}$等于$k$吗？为什么？
(2)$△ ABC$与$△ A'B'C'$对应角的角平分线的比等于$k$吗？为什么？
(3)$△ ABC$与$△ A'B'C'$的周长的比等于$k$吗？为什么？
答案
(1)等于,理由略。
(2)等于,理由略。
(3)等于,理由略。
(2)等于,理由略。
(3)等于,理由略。
解析
【分析】
(1) 要判断对应中线的比是否等于相似比k，可先利用相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，结合中线定义得到$\frac{BD}{B'D'}=k$，再证明$△ ABD$与$△ A'B'D'$相似，即可推出$\frac{AD}{A'D'}$的比值。
(2) 要判断对应角平分线的比是否等于k，可先利用相似三角形对应角相等的性质，结合角平分线定义得到一组相等的对应角，再加上一组相等的对应角证明三角形相似，即可推出角平分线的比值。
(3) 要判断周长比是否等于k，可先利用相似三角形对应边成比例的性质，将$△ ABC$的三边用$k$和$△ A'B'C'$的三边表示，再计算两个三角形周长的比值即可。
【解析】
(1) $\frac{AD}{A'D'}=k$，理由：
∵$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$k$，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=k$，$∠ B=∠ B'$，
∵AD、$A'D'$分别为BC、$B'C'$边上的中线，
∴$BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$，
∴$\frac{BD}{B'D'}=\frac{BC}{B'C'}=k$，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}$，且$∠ B=∠ B'$，
∴$△ ABD ∽ △ A'B'D'$，
∴$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$。
(2) 对应角的角平分线的比等于$k$，理由：
设AD、$A'D'$分别是$∠ BAC$、$∠ B'A'C'$的角平分线，
∵$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$k$，
∴$\frac{AB}{A'B'}=k$，$∠ B=∠ B'$，$∠ BAC=∠ B'A'C'$，
∵AD平分$∠ BAC$，$A'D'$平分$∠ B'A'C'$，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ B'A'D'=\frac{1}{2}∠ B'A'C'$，
∴$∠ BAD=∠ B'A'D'$，
又$∠ B=∠ B'$，
∴$△ ABD ∽ △ A'B'D'$，
∴$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$，即对应角平分线的比为$k$。
(3) 周长的比等于$k$，理由：
∵$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$k$，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$，
即$AB=kA'B'$，$BC=kB'C'$，$AC=kA'C'$，
∴$△ ABC$的周长$C_{ABC}=AB+BC+AC=k(A'B'+B'C'+A'C')$，
$△ A'B'C'$的周长$C_{A'B'C'}=A'B'+B'C'+A'C'$，
∴$\frac{C_{ABC}}{C_{A'B'C'}}=\frac{k(A'B'+B'C'+A'C')}{A'B'+B'C'+A'C'}=k$，即周长比等于$k$。
【答案】
(1) 等于，理由见解析；
(2) 等于，理由见解析；
(3) 等于，理由见解析。
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 相似三角形的性质
3. 比例的性质
【点评】
本题是相似三角形基本性质的推导类习题，通过三个小问题引导学生自主推导相似三角形对应中线、对应角平分线、周长的比都等于相似比的结论，有助于学生加深对相似三角形性质的理解，掌握性质的推导逻辑，为后续解决复杂的相似相关问题打下基础。
【难度系数】
0.8
(1) 要判断对应中线的比是否等于相似比k，可先利用相似三角形对应边成比例、对应角相等的性质，结合中线定义得到$\frac{BD}{B'D'}=k$，再证明$△ ABD$与$△ A'B'D'$相似，即可推出$\frac{AD}{A'D'}$的比值。
(2) 要判断对应角平分线的比是否等于k，可先利用相似三角形对应角相等的性质，结合角平分线定义得到一组相等的对应角，再加上一组相等的对应角证明三角形相似，即可推出角平分线的比值。
(3) 要判断周长比是否等于k，可先利用相似三角形对应边成比例的性质，将$△ ABC$的三边用$k$和$△ A'B'C'$的三边表示，再计算两个三角形周长的比值即可。
【解析】
(1) $\frac{AD}{A'D'}=k$，理由：
∵$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$k$，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=k$，$∠ B=∠ B'$，
∵AD、$A'D'$分别为BC、$B'C'$边上的中线，
∴$BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$，
∴$\frac{BD}{B'D'}=\frac{BC}{B'C'}=k$，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}$，且$∠ B=∠ B'$，
∴$△ ABD ∽ △ A'B'D'$，
∴$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$。
(2) 对应角的角平分线的比等于$k$，理由：
设AD、$A'D'$分别是$∠ BAC$、$∠ B'A'C'$的角平分线，
∵$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$k$，
∴$\frac{AB}{A'B'}=k$，$∠ B=∠ B'$，$∠ BAC=∠ B'A'C'$，
∵AD平分$∠ BAC$，$A'D'$平分$∠ B'A'C'$，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ B'A'D'=\frac{1}{2}∠ B'A'C'$，
∴$∠ BAD=∠ B'A'D'$，
又$∠ B=∠ B'$，
∴$△ ABD ∽ △ A'B'D'$，
∴$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$，即对应角平分线的比为$k$。
(3) 周长的比等于$k$，理由：
∵$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$k$，
∴$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$，
即$AB=kA'B'$，$BC=kB'C'$，$AC=kA'C'$，
∴$△ ABC$的周长$C_{ABC}=AB+BC+AC=k(A'B'+B'C'+A'C')$，
$△ A'B'C'$的周长$C_{A'B'C'}=A'B'+B'C'+A'C'$，
∴$\frac{C_{ABC}}{C_{A'B'C'}}=\frac{k(A'B'+B'C'+A'C')}{A'B'+B'C'+A'C'}=k$，即周长比等于$k$。
【答案】
(1) 等于，理由见解析；
(2) 等于，理由见解析；
(3) 等于，理由见解析。
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 相似三角形的性质
3. 比例的性质
【点评】
本题是相似三角形基本性质的推导类习题，通过三个小问题引导学生自主推导相似三角形对应中线、对应角平分线、周长的比都等于相似比的结论，有助于学生加深对相似三角形性质的理解，掌握性质的推导逻辑，为后续解决复杂的相似相关问题打下基础。
【难度系数】
0.8
1.两个相似三角形的最短边分别为5 cm和3 cm，它们的周长之差为12 cm，那么大三角形的周长为(
A.14 cm
B.16 cm
C.18 cm
D.30 cm
D
)。A.14 cm
B.16 cm
C.18 cm
D.30 cm
答案
D
解析
【分析】
首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，而相似比等于对应边的比。本题中两个相似三角形的最短边是对应边，因此可先确定两个三角形的相似比，进而得到周长比。再结合两个三角形的周长差为12cm，通过设未知数建立方程即可求出大三角形的周长。
【解析】
∵ 两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，
∴ 两个相似三角形的相似比为 $5:3$，
根据相似三角形的周长比等于相似比，可得两个三角形的周长比为 $5:3$。
设大三角形的周长为 $5x$ cm，小三角形的周长为 $3x$ cm，
由题意得：$5x - 3x = 12$，
解得：$x = 6$，
∴ 大三角形的周长为 $5×6 = 30$ cm。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 相似三角形周长性质
2. 比例运算
3. 一元一次方程应用
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是明确相似三角形的周长比等于对应边的相似比，结合周长差列方程求解即可，属于常考的基础题型，熟练掌握相关性质就能快速作答。
【难度系数】
0.8
首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，而相似比等于对应边的比。本题中两个相似三角形的最短边是对应边，因此可先确定两个三角形的相似比，进而得到周长比。再结合两个三角形的周长差为12cm，通过设未知数建立方程即可求出大三角形的周长。
【解析】
∵ 两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，
∴ 两个相似三角形的相似比为 $5:3$，
根据相似三角形的周长比等于相似比，可得两个三角形的周长比为 $5:3$。
设大三角形的周长为 $5x$ cm，小三角形的周长为 $3x$ cm，
由题意得：$5x - 3x = 12$，
解得：$x = 6$，
∴ 大三角形的周长为 $5×6 = 30$ cm。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 相似三角形周长性质
2. 比例运算
3. 一元一次方程应用
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题核心是明确相似三角形的周长比等于对应边的相似比，结合周长差列方程求解即可，属于常考的基础题型，熟练掌握相关性质就能快速作答。
【难度系数】
0.8
2.在一张复印出来的纸上,一个三角形的一条边长由原图中的2 cm增加了4 cm,则复印出的三角形与原图中的三角形对应角平分线的比是(
A.2:1
B.3:1
C.3:2
D.2:3
B
)。A.2:1
B.3:1
C.3:2
D.2:3
答案
B
解析
【分析】
首先，复印得到的图形与原图形是相似图形，因此复印前后的两个三角形相似。要计算对应角平分线的比，需先求出两个三角形的相似比（相似比为对应边的长度比），再根据相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，即可得到结果。解题时要注意区分“边长增加了4cm”是在原长基础上加4cm，不要误算为4cm，同时要明确相似比的前后项是复印后的三角形比原三角形，不要搞反顺序。
【解析】
解：
∵复印前后的两个三角形是相似三角形，
∴两个三角形的相似比等于对应边的长度比。
原三角形对应边长为2cm，复印后该边长增加了4cm，因此复印后对应边长为：$2+4=6\mathrm{cm}$
则复印出的三角形与原三角形的相似比为：$6:2=3:1$
根据相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，
∴复印出的三角形与原图中的三角形对应角平分线的比是$3:1$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似图形的概念；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的关键是先判断两个三角形相似，准确计算对应边的长度得到相似比，再结合相似三角形对应线段的比等于相似比求解。审题时注意区分“增加了”和“增加到”的区别，避免算错对应边长度，同时要注意相似比的前后项顺序，避免选反答案。
【难度系数】
0.8
首先，复印得到的图形与原图形是相似图形，因此复印前后的两个三角形相似。要计算对应角平分线的比，需先求出两个三角形的相似比（相似比为对应边的长度比），再根据相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，即可得到结果。解题时要注意区分“边长增加了4cm”是在原长基础上加4cm，不要误算为4cm，同时要明确相似比的前后项是复印后的三角形比原三角形，不要搞反顺序。
【解析】
解：
∵复印前后的两个三角形是相似三角形，
∴两个三角形的相似比等于对应边的长度比。
原三角形对应边长为2cm，复印后该边长增加了4cm，因此复印后对应边长为：$2+4=6\mathrm{cm}$
则复印出的三角形与原三角形的相似比为：$6:2=3:1$
根据相似三角形的性质：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，
∴复印出的三角形与原图中的三角形对应角平分线的比是$3:1$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似图形的概念；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的关键是先判断两个三角形相似，准确计算对应边的长度得到相似比，再结合相似三角形对应线段的比等于相似比求解。审题时注意区分“增加了”和“增加到”的区别，避免算错对应边长度，同时要注意相似比的前后项顺序，避免选反答案。
【难度系数】
0.8
3. 两个矩形相似，它们的对角线之比是1：3，那么它们的相似比是
1:3
，周长比是1:3
，面积比是1:9
。答案
1:3；1:3；1:9
解析
【分析】
解题时先回忆相似多边形的相关性质：相似多边形的所有对应线段（包括边、对角线、对应高等）的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。题中已知两个相似矩形的对角线之比，对角线属于对应线段，因此可直接得到相似比，再根据性质依次推导周长比和面积比即可。
【解析】
解：根据相似多边形的性质计算：
1. 相似多边形的对应线段之比等于相似比，矩形的对角线属于对应线段，已知对角线之比为1:3，因此两个矩形的相似比为1:3；
2. 相似多边形的周长比等于相似比，因此周长比和相似比一致，为1:3；
3. 相似多边形的面积比等于相似比的平方，因此面积比为$(1:3)^2=1:9$。
【答案】
1:3；1:3；1:9
【知识点】
相似多边形性质；周长比与相似比；面积比与相似比
【点评】
本题考查相似多边形的基础性质应用，解题的关键是明确相似比、对应线段比、周长比、面积比之间的关系，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆相似多边形的相关性质：相似多边形的所有对应线段（包括边、对角线、对应高等）的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。题中已知两个相似矩形的对角线之比，对角线属于对应线段，因此可直接得到相似比，再根据性质依次推导周长比和面积比即可。
【解析】
解：根据相似多边形的性质计算：
1. 相似多边形的对应线段之比等于相似比，矩形的对角线属于对应线段，已知对角线之比为1:3，因此两个矩形的相似比为1:3；
2. 相似多边形的周长比等于相似比，因此周长比和相似比一致，为1:3；
3. 相似多边形的面积比等于相似比的平方，因此面积比为$(1:3)^2=1:9$。
【答案】
1:3；1:3；1:9
【知识点】
相似多边形性质；周长比与相似比；面积比与相似比
【点评】
本题考查相似多边形的基础性质应用，解题的关键是明确相似比、对应线段比、周长比、面积比之间的关系，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.9
