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1. 如图，已知$△ ABC ∽ △ DEF$，$AB: DE = 1: 2$，则下列等式一定成立的是(
A.$\frac{BC}{DF}=\frac{1}{2}$
B.$\frac{∠A的度数}{∠D的度数}=\frac{1}{2}$
C.$\frac{△ ABC的面积}{△ DEF的面积}=\frac{1}{2}$
D.$\frac{△ ABC的周长}{△ DEF的周长}=\frac{1}{2}$
D
)。A.$\frac{BC}{DF}=\frac{1}{2}$
B.$\frac{∠A的度数}{∠D的度数}=\frac{1}{2}$
C.$\frac{△ ABC的面积}{△ DEF的面积}=\frac{1}{2}$
D.$\frac{△ ABC的周长}{△ DEF的周长}=\frac{1}{2}$
答案
D
解析
【分析】
首先回忆相似三角形的相关性质，已知△ABC∽△DEF，相似比为AB:DE=1:2，我们需要结合相似三角形对应角、对应边、周长、面积的相关性质，逐一判断每个选项是否正确：
1. 先明确相似三角形的对应关系，找到各边各角的对应项；
2. 结合相似三角形对应角相等、对应边成比例，判断边和角的相关选项；
3. 结合相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，判断周长和面积的相关选项。
【解析】
已知△ABC∽△DEF，相似比$k=\frac{AB}{DE}=\frac{1}{2}$，根据相似三角形的性质逐一分析选项：
选项A：相似三角形对应边成比例，BC的对应边是EF，因此$\frac{BC}{EF}=\frac{1}{2}$，而非$\frac{BC}{DF}=\frac{1}{2}$，该选项错误；
选项B：相似三角形对应角相等，因此∠A=∠D，$\frac{∠A的度数}{∠D的度数}=1$，该选项错误；
选项C：相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此$\frac{△ABC的面积}{△DEF的面积}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，该选项错误；
选项D：相似三角形的周长比等于相似比，因此$\frac{△ABC的周长}{△DEF的周长}=\frac{1}{2}$，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形对应边成比例；相似三角形对应角相等；相似三角形周长与面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是准确把握相似三角形的对应关系，同时区分开周长比、面积比和相似比的关系，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.8
首先回忆相似三角形的相关性质，已知△ABC∽△DEF，相似比为AB:DE=1:2，我们需要结合相似三角形对应角、对应边、周长、面积的相关性质，逐一判断每个选项是否正确：
1. 先明确相似三角形的对应关系，找到各边各角的对应项；
2. 结合相似三角形对应角相等、对应边成比例，判断边和角的相关选项；
3. 结合相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，判断周长和面积的相关选项。
【解析】
已知△ABC∽△DEF，相似比$k=\frac{AB}{DE}=\frac{1}{2}$，根据相似三角形的性质逐一分析选项：
选项A：相似三角形对应边成比例，BC的对应边是EF，因此$\frac{BC}{EF}=\frac{1}{2}$，而非$\frac{BC}{DF}=\frac{1}{2}$，该选项错误；
选项B：相似三角形对应角相等，因此∠A=∠D，$\frac{∠A的度数}{∠D的度数}=1$，该选项错误；
选项C：相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此$\frac{△ABC的面积}{△DEF的面积}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，该选项错误；
选项D：相似三角形的周长比等于相似比，因此$\frac{△ABC的周长}{△DEF的周长}=\frac{1}{2}$，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形对应边成比例；相似三角形对应角相等；相似三角形周长与面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是准确把握相似三角形的对应关系，同时区分开周长比、面积比和相似比的关系，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.8
2. 如图，$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，AD，BE分别是$△ ABC$的高和中线，$A'D'$，$B'E'$分别是$△ A'B'C'$的高和中线，且$AD=4$，$A'D'=3$，$BE=6$，则$B'E'$的长为(
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{7}{2}$
D.$\frac{9}{2}$
D
)。A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{7}{2}$
D.$\frac{9}{2}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查相似三角形性质的应用，解题思路如下：第一步，回忆相似三角形的核心性质：相似三角形对应高的比、对应中线的比都等于相似比；第二步，先利用已知的一组对应高AD和A'D'的长度，确定两个三角形的相似比；第三步，由于BE和B'E'是两个相似三角形的对应中线，二者的比等于相似比，据此列比例式即可求出B'E'的长度。
【解析】
解：
∵$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，AD、$A'D'$分别是两个三角形的对应高，BE、$B'E'$分别是两个三角形的对应中线，
∴相似三角形对应高的比、对应中线的比都等于相似比，即$\frac{AD}{A'D'}=\frac{BE}{B'E'}$。
将$AD=4$，$A'D'=3$，$BE=6$代入得：$\frac{4}{3}=\frac{6}{B'E'}$，
交叉相乘得：$4B'E'=3×6=18$，
解得：$B'E'=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质；比例式计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查相似三角形对应线段比和相似比的关系，解题的关键是找准对应线段，正确列出比例式计算，熟练掌握相似三角形的性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题考查相似三角形性质的应用，解题思路如下：第一步，回忆相似三角形的核心性质：相似三角形对应高的比、对应中线的比都等于相似比；第二步，先利用已知的一组对应高AD和A'D'的长度，确定两个三角形的相似比；第三步，由于BE和B'E'是两个相似三角形的对应中线，二者的比等于相似比，据此列比例式即可求出B'E'的长度。
【解析】
解：
∵$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，AD、$A'D'$分别是两个三角形的对应高，BE、$B'E'$分别是两个三角形的对应中线，
∴相似三角形对应高的比、对应中线的比都等于相似比，即$\frac{AD}{A'D'}=\frac{BE}{B'E'}$。
将$AD=4$，$A'D'=3$，$BE=6$代入得：$\frac{4}{3}=\frac{6}{B'E'}$，
交叉相乘得：$4B'E'=3×6=18$，
解得：$B'E'=\frac{18}{4}=\frac{9}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质；比例式计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查相似三角形对应线段比和相似比的关系，解题的关键是找准对应线段，正确列出比例式计算，熟练掌握相似三角形的性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
3.若$△ ABC$与$△ DEF$相似，且对应中线的比为$1:7$，则$△ ABC$与$△ DEF$的面积比是(
A.$1:\sqrt{7}$
B.$1:3.5$
C.$1:7$
D.$1:49$
D
)。A.$1:\sqrt{7}$
B.$1:3.5$
C.$1:7$
D.$1:49$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的相关性质：第一步，相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线等所有对应线段的比都等于相似比，题目给出对应中线比为1:7，可先推出两个三角形的相似比；第二步，相似三角形的面积比等于相似比的平方，代入相似比计算即可得到面积比，选出正确选项。
【解析】
解：
∵△ABC与△DEF相似，且对应中线的比为$1:7$，
根据相似三角形对应线段的比等于相似比的性质，可得△ABC与△DEF的相似比为$1:7$，
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴△ABC与△DEF的面积比为$(1:7)^2=1:49$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
1. 相似三角形对应线段比性质
2. 相似三角形面积比性质
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题，核心是明确相似比、对应线段比、面积比三者之间的关系，熟记性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆相似三角形的相关性质：第一步，相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线等所有对应线段的比都等于相似比，题目给出对应中线比为1:7，可先推出两个三角形的相似比；第二步，相似三角形的面积比等于相似比的平方，代入相似比计算即可得到面积比，选出正确选项。
【解析】
解：
∵△ABC与△DEF相似，且对应中线的比为$1:7$，
根据相似三角形对应线段的比等于相似比的性质，可得△ABC与△DEF的相似比为$1:7$，
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴△ABC与△DEF的面积比为$(1:7)^2=1:49$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
1. 相似三角形对应线段比性质
2. 相似三角形面积比性质
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题，核心是明确相似比、对应线段比、面积比三者之间的关系，熟记性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
4.如图,点 D,E 分别在△ABC 的边 AC,AB 上,△ADE∽△ABC,M,N 分别是 DE,BC 的中点,若$\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$,则$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=$（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{\sqrt{2}}$
C
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{\sqrt{2}}$
答案
C
解析
【分析】
本题可利用相似三角形的性质求解：首先明确M、N分别是相似三角形对应边DE、BC的中点，因此AM、AN是两个相似三角形的对应中线，根据相似三角形对应中线的比等于相似比，先求出两个三角形的相似比，再结合相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出两个三角形的面积比。
【解析】
∵△ADE∽△ABC，M、N分别是DE、BC的中点，
∴AM、AN分别是△ADE和△ABC对应边上的中线，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，可得两三角形的相似比 $k=\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$。
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形对应中线性质，相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是准确识别对应中线，先得到相似比再推导面积比，熟练掌握相似三角形的各类性质可以快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8
本题可利用相似三角形的性质求解：首先明确M、N分别是相似三角形对应边DE、BC的中点，因此AM、AN是两个相似三角形的对应中线，根据相似三角形对应中线的比等于相似比，先求出两个三角形的相似比，再结合相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出两个三角形的面积比。
【解析】
∵△ADE∽△ABC，M、N分别是DE、BC的中点，
∴AM、AN分别是△ADE和△ABC对应边上的中线，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，可得两三角形的相似比 $k=\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$。
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形对应中线性质，相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是准确识别对应中线，先得到相似比再推导面积比，熟练掌握相似三角形的各类性质可以快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8
5.若两个相似三角形的对应边之比是3：7，其中一个三角形的一条角平分线长为2，则另一个三角形对应角平分线的长为
$\frac{14}{3}$或$\frac{6}{7}$
。答案
$\frac{14}{3}$或$\frac{6}{7}$
解析
【分析】
首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应角平分线的比等于相似比（即对应边的比）。本题已知两个相似三角形的对应边之比为3:7，因此对应角平分线的比也为3:7。由于题目未说明长度为2的角平分线属于哪个三角形，因此需要分两种情况讨论，分别计算另一个三角形对应角平分线的长度。
【解析】
解：
∵相似三角形的对应边之比为3:7，
∴相似三角形的对应角平分线的比等于相似比，即3:7。
分两种情况讨论：
① 若长度为2的角平分线是对应边占3份的三角形的角平分线，设另一个三角形对应角平分线的长为x，
则有$\frac{3}{7}=\frac{2}{x}$，解得$x=\frac{14}{3}$；
② 若长度为2的角平分线是对应边占7份的三角形的角平分线，设另一个三角形对应角平分线的长为y，
则有$\frac{3}{7}=\frac{y}{2}$，解得$y=\frac{6}{7}$。
【答案】
$\frac{14}{3}$或$\frac{6}{7}$
【知识点】
1. 相似三角形的性质
2. 分类讨论思想
【点评】
本题核心考查相似三角形对应线段与相似比的关系，易错点是忽略已知角平分线的所属情况未进行分类讨论，导致出现漏解的问题，解题时要注意审题，明确条件的不确定性。
【难度系数】
0.6
首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应角平分线的比等于相似比（即对应边的比）。本题已知两个相似三角形的对应边之比为3:7，因此对应角平分线的比也为3:7。由于题目未说明长度为2的角平分线属于哪个三角形，因此需要分两种情况讨论，分别计算另一个三角形对应角平分线的长度。
【解析】
解：
∵相似三角形的对应边之比为3:7，
∴相似三角形的对应角平分线的比等于相似比，即3:7。
分两种情况讨论：
① 若长度为2的角平分线是对应边占3份的三角形的角平分线，设另一个三角形对应角平分线的长为x，
则有$\frac{3}{7}=\frac{2}{x}$，解得$x=\frac{14}{3}$；
② 若长度为2的角平分线是对应边占7份的三角形的角平分线，设另一个三角形对应角平分线的长为y，
则有$\frac{3}{7}=\frac{y}{2}$，解得$y=\frac{6}{7}$。
【答案】
$\frac{14}{3}$或$\frac{6}{7}$
【知识点】
1. 相似三角形的性质
2. 分类讨论思想
【点评】
本题核心考查相似三角形对应线段与相似比的关系，易错点是忽略已知角平分线的所属情况未进行分类讨论，导致出现漏解的问题，解题时要注意审题，明确条件的不确定性。
【难度系数】
0.6
6. 已知$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，且$△ ABC$与$△ A'B'C'$的相似比为$k$，$AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$，$△ A'B'C'$的外角平分线，那么$\frac{AD}{A'D'}=k$是否成立？如果结论不成立，请说明理由；如果结论成立，请证明。
答案
$\frac{AD}{A'D'}=k$成立，证明略。
解析
【分析】
要判断相似三角形对应外角平分线的比是否等于相似比，可按照以下思路推导：首先利用已知的相似三角形性质，得到对应角相等、对应边的比等于相似比k；再结合角平分线的定义，推导得出包含AD、A'D'的两个三角形的对应角相等；进而证明这两个三角形相似，最后根据相似三角形对应边成比例即可验证结论是否成立。
【解析】
结论成立，证明如下：
∵ $△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$k$，
∴ $∠ BAC = ∠ B'A'C'$，$∠ ABC = ∠ A'B'C'$，$\frac{AB}{A'B'} = k$，
∵ $∠ CAE$是$△ ABC$中$∠ BAC$的外角，$∠ C'A'E'$是$△ A'B'C'$中$∠ B'A'C'$的外角，
∴ $∠ CAE = 180° - ∠ BAC$，$∠ C'A'E' = 180° - ∠ B'A'C'$，
∴ $∠ CAE = ∠ C'A'E'$，
又
∵ $AD$、$A'D'$分别是两个三角形的外角平分线，
∴ $∠ CAD = \frac{1}{2}∠ CAE$，$∠ C'A'D' = \frac{1}{2}∠ C'A'E'$，
∴ $∠ CAD = ∠ C'A'D'$，
∴ $∠ BAC + ∠ CAD = ∠ B'A'C' + ∠ C'A'D'$，即$∠ BAD = ∠ B'A'D'$，
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中：
$\begin{cases}∠ BAD = ∠ B'A'D' \\∠ ABD = ∠ A'B'D'\end{cases}$
∴ $△ ABD ∽ △ A'B'D'$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AD}{A'D'} = \frac{AB}{A'B'} = k$。
【答案】
$\frac{AD}{A'D'}=k$成立。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是相似三角形性质的延伸应用，核心是通过原有相似三角形的等角条件结合角平分线定义，推导得到新的等角，进而证明新的相似三角形，验证了相似三角形对应外角平分线的比等于相似比，该结论可直接用于快速解决选择、填空类题目。
【难度系数】
0.7
要判断相似三角形对应外角平分线的比是否等于相似比，可按照以下思路推导：首先利用已知的相似三角形性质，得到对应角相等、对应边的比等于相似比k；再结合角平分线的定义，推导得出包含AD、A'D'的两个三角形的对应角相等；进而证明这两个三角形相似，最后根据相似三角形对应边成比例即可验证结论是否成立。
【解析】
结论成立，证明如下：
∵ $△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$k$，
∴ $∠ BAC = ∠ B'A'C'$，$∠ ABC = ∠ A'B'C'$，$\frac{AB}{A'B'} = k$，
∵ $∠ CAE$是$△ ABC$中$∠ BAC$的外角，$∠ C'A'E'$是$△ A'B'C'$中$∠ B'A'C'$的外角，
∴ $∠ CAE = 180° - ∠ BAC$，$∠ C'A'E' = 180° - ∠ B'A'C'$，
∴ $∠ CAE = ∠ C'A'E'$，
又
∵ $AD$、$A'D'$分别是两个三角形的外角平分线，
∴ $∠ CAD = \frac{1}{2}∠ CAE$，$∠ C'A'D' = \frac{1}{2}∠ C'A'E'$，
∴ $∠ CAD = ∠ C'A'D'$，
∴ $∠ BAC + ∠ CAD = ∠ B'A'C' + ∠ C'A'D'$，即$∠ BAD = ∠ B'A'D'$，
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中：
$\begin{cases}∠ BAD = ∠ B'A'D' \\∠ ABD = ∠ A'B'D'\end{cases}$
∴ $△ ABD ∽ △ A'B'D'$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AD}{A'D'} = \frac{AB}{A'B'} = k$。
【答案】
$\frac{AD}{A'D'}=k$成立。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是相似三角形性质的延伸应用，核心是通过原有相似三角形的等角条件结合角平分线定义，推导得到新的等角，进而证明新的相似三角形，验证了相似三角形对应外角平分线的比等于相似比，该结论可直接用于快速解决选择、填空类题目。
【难度系数】
0.7
