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2.如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C,E均在格点上,若$△ ABC ∽ △ FCE$,则$△ FCE$的面积是(
A.$\frac{8}{3}$
B.$\sqrt{2}$
C.4
D.$\frac{16}{3}$
第2题图 第3题图
D
)。A.$\frac{8}{3}$
B.$\sqrt{2}$
C.4
D.$\frac{16}{3}$
第2题图 第3题图
答案
2.D
解析
【分析】
要计算△FCE的面积，已知△ABC∽△FCE，可利用相似三角形的性质求解：第一步先计算△ABC的面积；第二步找到两个三角形对应边的相似比；第三步根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，结合△ABC的面积即可求出△FCE的面积。
【解析】
1. 计算△ABC的面积：
由网格可知，BC的长度为3，点A到BC的垂直高度为2，
根据三角形面积公式得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × 高 = \frac{1}{2} × 3 × 2 = 3$。
2. 求相似比：
由网格得CE的长度为4，
∵ $△ ABC ∽ △ FCE$，对应边BC对应CE，
∴ 相似比 $k = \frac{BC}{CE} = \frac{3}{4}$。
3. 计算△FCE的面积：
根据相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，即：
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ FCE}} = k^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$，
将$S_{△ ABC}=3$代入得：$\frac{3}{S_{△ FCE}} = \frac{9}{16}$，
解得：$S_{△ FCE} = 3 × \frac{16}{9} = \frac{16}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是熟练掌握相似三角形面积比与相似比的关系，易错点是混淆相似比的前后项或者算错对应边的长度，只要找准对应边、正确计算△ABC的面积就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
要计算△FCE的面积，已知△ABC∽△FCE，可利用相似三角形的性质求解：第一步先计算△ABC的面积；第二步找到两个三角形对应边的相似比；第三步根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，结合△ABC的面积即可求出△FCE的面积。
【解析】
1. 计算△ABC的面积：
由网格可知，BC的长度为3，点A到BC的垂直高度为2，
根据三角形面积公式得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × 高 = \frac{1}{2} × 3 × 2 = 3$。
2. 求相似比：
由网格得CE的长度为4，
∵ $△ ABC ∽ △ FCE$，对应边BC对应CE，
∴ 相似比 $k = \frac{BC}{CE} = \frac{3}{4}$。
3. 计算△FCE的面积：
根据相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，即：
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ FCE}} = k^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$，
将$S_{△ ABC}=3$代入得：$\frac{3}{S_{△ FCE}} = \frac{9}{16}$，
解得：$S_{△ FCE} = 3 × \frac{16}{9} = \frac{16}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是熟练掌握相似三角形面积比与相似比的关系，易错点是混淆相似比的前后项或者算错对应边的长度，只要找准对应边、正确计算△ABC的面积就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
3.如图,在$△ ABC$中,点$D$,$E$分别在$AB$,$AC$上,$∠ ADE = ∠ C$。如果$AE = 3$,$△ ADE$的面积为5,四边形$DBCE$的面积为15,那么$AB$的长为(
A.8
B.$\frac{20}{3}$
C.6
D.$\frac{25}{3}$
C
)。A.8
B.$\frac{20}{3}$
C.6
D.$\frac{25}{3}$
答案
3.C
解析
【分析】
首先观察图形和已知条件，∠A是△ADE和△ACB的公共角，又已知∠ADE=∠C，根据两角分别相等可判定两个三角形相似；其次相似三角形的面积比等于相似比的平方，先求出△ABC的总面积，计算两个三角形的面积比后开方得到相似比；最后根据相似三角形对应边成比例，代入已知AE的长度即可求出AB的长。
【解析】
解：
∵ ∠A = ∠A（公共角），∠ADE = ∠C（已知）
∴ △ADE ∽ △ACB（两角分别相等的两个三角形相似）
△ABC的面积为：$S_{△ ABC} = S_{△ ADE} + S_{四边形DBCE} = 5 + 15 = 20$
∴ 两个三角形的面积比为：$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ACB}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$
根据相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，可得相似比为：$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
∵ 相似三角形对应边成比例，
∴ $\frac{AE}{AB} = \frac{1}{2}$
将$AE=3$代入得：$\frac{3}{AB} = \frac{1}{2}$，解得$AB=6$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是先通过角的关系判定三角形相似，再利用面积比与相似比的关系求出对应边的比例，最终计算出边长，需要注意准确对应相似三角形的边，避免对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.7
首先观察图形和已知条件，∠A是△ADE和△ACB的公共角，又已知∠ADE=∠C，根据两角分别相等可判定两个三角形相似；其次相似三角形的面积比等于相似比的平方，先求出△ABC的总面积，计算两个三角形的面积比后开方得到相似比；最后根据相似三角形对应边成比例，代入已知AE的长度即可求出AB的长。
【解析】
解：
∵ ∠A = ∠A（公共角），∠ADE = ∠C（已知）
∴ △ADE ∽ △ACB（两角分别相等的两个三角形相似）
△ABC的面积为：$S_{△ ABC} = S_{△ ADE} + S_{四边形DBCE} = 5 + 15 = 20$
∴ 两个三角形的面积比为：$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ACB}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$
根据相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方，可得相似比为：$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
∵ 相似三角形对应边成比例，
∴ $\frac{AE}{AB} = \frac{1}{2}$
将$AE=3$代入得：$\frac{3}{AB} = \frac{1}{2}$，解得$AB=6$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是先通过角的关系判定三角形相似，再利用面积比与相似比的关系求出对应边的比例，最终计算出边长，需要注意准确对应相似三角形的边，避免对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.7
4. 如图，把$△ ABC$沿着边$AB$平移到$△ A'B'C'$的位置，它们重叠部分(即图中阴影部分)的面积是$△ ABC$面积的$\frac{1}{4}$。若$AB=2$，则$△ ABC$平移的距离是
第4题图 第5题图
1
。第4题图 第5题图
答案
4.1
解析
【分析】
解题时首先结合平移的性质可得AC//A'C'，由此可判定阴影部分三角形与△ABC相似；再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合已知的面积比可求出两个三角形的相似比，进而得到A'B的长度；最后用AB的长度减去A'B的长度即可得到平移的距离AA'。
【解析】
解：
∵将△ABC沿AB平移到△A'B'C'的位置，
∴AC//A'C'，
∴∠BA'C'=∠A，
又
∵∠B是两个三角形的公共角，
∴阴影部分的三角形与△ABC相似，
∵阴影部分面积是△ABC面积的$\frac{1}{4}$，
∴两个三角形的相似比为$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，即$\frac{A'B}{AB}=\frac{1}{2}$，
∵AB=2，
∴$A'B=2×\frac{1}{2}=1$，
∴平移的距离$AA'=AB-A'B=2-1=1$。
【答案】
1
【知识点】
平移的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是平移性质与相似三角形知识的综合应用题，解题的突破口是通过平移得到的平行关系判定三角形相似，再结合相似三角形面积与相似比的关系计算线段长度，是相似性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合平移的性质可得AC//A'C'，由此可判定阴影部分三角形与△ABC相似；再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合已知的面积比可求出两个三角形的相似比，进而得到A'B的长度；最后用AB的长度减去A'B的长度即可得到平移的距离AA'。
【解析】
解：
∵将△ABC沿AB平移到△A'B'C'的位置，
∴AC//A'C'，
∴∠BA'C'=∠A，
又
∵∠B是两个三角形的公共角，
∴阴影部分的三角形与△ABC相似，
∵阴影部分面积是△ABC面积的$\frac{1}{4}$，
∴两个三角形的相似比为$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，即$\frac{A'B}{AB}=\frac{1}{2}$，
∵AB=2，
∴$A'B=2×\frac{1}{2}=1$，
∴平移的距离$AA'=AB-A'B=2-1=1$。
【答案】
1
【知识点】
平移的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是平移性质与相似三角形知识的综合应用题，解题的突破口是通过平移得到的平行关系判定三角形相似，再结合相似三角形面积与相似比的关系计算线段长度，是相似性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
5.如图,在△ABC中,D,F是AB的三等分点,DE//FG//BC。
(1)若DE=2,则BC=
(2)S△ADE:S△AFG:S△ABC=
(1)若DE=2,则BC=
6
;(2)S△ADE:S△AFG:S△ABC=
1:4:9
。答案
5.(1)6 (2)1:4:9
解析
【分析】
首先由DE//FG//BC，可推出△ADE、△AFG、△ABC两两相似；再结合D、F是AB的三等分点，可得三个三角形的相似比为1:2:3。第(1)问利用相似三角形对应边成比例，代入DE的长度即可求出BC；第(2)问利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出三个三角形的面积比。
【解析】
∵D、F是AB的三等分点，
∴AD:AF:AB=1:2:3。
(1)
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，相似比为AD:AB=1:3，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，
将DE=2代入得：BC=3×2=6。
(2)
∵DE//FG//BC，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，三个三角形的相似比为1:2:3，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$S_{△ ADE}:S_{△ AFG}:S_{△ ABC}=1^2:2^2:3^2=1:4:9$。
【答案】
(1)6；(2)1:4:9
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形对应边成比例，相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的核心是先根据线段的等分关系确定相似比，再结合相似的对应性质求解，需注意区分相似比与边长比、面积比的对应关系，避免混淆。
【难度系数】
0.8
首先由DE//FG//BC，可推出△ADE、△AFG、△ABC两两相似；再结合D、F是AB的三等分点，可得三个三角形的相似比为1:2:3。第(1)问利用相似三角形对应边成比例，代入DE的长度即可求出BC；第(2)问利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出三个三角形的面积比。
【解析】
∵D、F是AB的三等分点，
∴AD:AF:AB=1:2:3。
(1)
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，相似比为AD:AB=1:3，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，
将DE=2代入得：BC=3×2=6。
(2)
∵DE//FG//BC，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，三个三角形的相似比为1:2:3，
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$S_{△ ADE}:S_{△ AFG}:S_{△ ABC}=1^2:2^2:3^2=1:4:9$。
【答案】
(1)6；(2)1:4:9
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形对应边成比例，相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的核心是先根据线段的等分关系确定相似比，再结合相似的对应性质求解，需注意区分相似比与边长比、面积比的对应关系，避免混淆。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在$△ ABC$中,点$D,E,F$分别在$AB,BC,AC$边上,$DE// AC,EF// AB$。
(1)求证:$△ BDE∽△ EFC$。
(2)设$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$,
①若$BC=12$,求线段$BE$的长;
②若$△ EFC$的面积是$20$,求$△ ABC$的面积。
(1)求证:$△ BDE∽△ EFC$。
(2)设$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$,
①若$BC=12$,求线段$BE$的长;
②若$△ EFC$的面积是$20$,求$△ ABC$的面积。
答案
(1)证明:因为$DE// AC$,
所以$∠ DEB=∠ FCE$。
因为$EF// AB$,
所以$∠ DBE=∠ FEC$。
所以$△ BDE∽△ EFC$。
(2)解:①因为$EF// AB$,
所以$\frac{BE}{EC}=\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$。
因为$EC=BC-BE=12-BE$,
所以$\frac{BE}{12-BE}=\frac{1}{2}$。
解得$BE=4$。
②因为$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$,
所以$\frac{FC}{AC}=\frac{2}{3}$。
因为$EF// AB$,
所以$△ EFC∽△ BAC$。
所以$\frac{S_{△ EFC}}{S_{△ ABC}}=(\frac{FC}{AC})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$。
所以$S_{△ ABC}=\frac{9}{4}S_{△ EFC}=\frac{9}{4}×20=45$。
所以$∠ DEB=∠ FCE$。
因为$EF// AB$,
所以$∠ DBE=∠ FEC$。
所以$△ BDE∽△ EFC$。
(2)解:①因为$EF// AB$,
所以$\frac{BE}{EC}=\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$。
因为$EC=BC-BE=12-BE$,
所以$\frac{BE}{12-BE}=\frac{1}{2}$。
解得$BE=4$。
②因为$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$,
所以$\frac{FC}{AC}=\frac{2}{3}$。
因为$EF// AB$,
所以$△ EFC∽△ BAC$。
所以$\frac{S_{△ EFC}}{S_{△ ABC}}=(\frac{FC}{AC})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$。
所以$S_{△ ABC}=\frac{9}{4}S_{△ EFC}=\frac{9}{4}×20=45$。
解析
【分析】
(1) 要证明△BDE∽△EFC，可利用平行线的性质寻找两组对应角相等，结合“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理即可完成证明：已知DE//AC可得到一组同位角相等，EF//AB可得到另一组同位角相等，满足相似判定条件。
(2) ① 已知EF//AB，根据平行线分线段成比例定理可得$\frac{BE}{EC}=\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$，结合BC=BE+EC=12，代入比例式列方程即可求出BE的长度。
② 先由EF//AB证明△EFC∽△BAC，根据$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$求出两三角形的相似比$\frac{FC}{AC}=\frac{2}{3}$，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，结合△EFC的面积即可求出△ABC的面积。
【解析】
(1) 证明：$\because DE// AC$，
$\therefore ∠ DEB=∠ FCE$。
$\because EF// AB$，
$\therefore ∠ DBE=∠ FEC$。
$\therefore △ BDE∽ △ EFC$。
(2) 解：① $\because EF// AB$，
$\therefore \frac{BE}{EC}=\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$。
$\because EC=BC-BE=12-BE$，
$\therefore \frac{BE}{12-BE}=\frac{1}{2}$，
解得$BE=4$。
② $\because \frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{FC}{AC}=\frac{2}{3}$。
$\because EF// AB$，
$\therefore △ EFC∽ △ BAC$，
$\therefore \frac{S_{△ EFC}}{S_{△ ABC}}=(\frac{FC}{AC})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{9}{4}S_{△ EFC}=\frac{9}{4}×20=45$。
【答案】
(1) 证明如上；(2) ① $\boldsymbol{BE=4}$；② $\boldsymbol{S_{△ ABC}=45}$
【知识点】
相似三角形的判定；平行线分线段成比例；相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础综合题，结合平行线的性质考查相似三角形的判定与相关性质，解题的关键是找准对应角、对应边的关系，熟练掌握核心定理即可顺利求解，是相似章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△BDE∽△EFC，可利用平行线的性质寻找两组对应角相等，结合“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理即可完成证明：已知DE//AC可得到一组同位角相等，EF//AB可得到另一组同位角相等，满足相似判定条件。
(2) ① 已知EF//AB，根据平行线分线段成比例定理可得$\frac{BE}{EC}=\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$，结合BC=BE+EC=12，代入比例式列方程即可求出BE的长度。
② 先由EF//AB证明△EFC∽△BAC，根据$\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$求出两三角形的相似比$\frac{FC}{AC}=\frac{2}{3}$，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，结合△EFC的面积即可求出△ABC的面积。
【解析】
(1) 证明：$\because DE// AC$，
$\therefore ∠ DEB=∠ FCE$。
$\because EF// AB$，
$\therefore ∠ DBE=∠ FEC$。
$\therefore △ BDE∽ △ EFC$。
(2) 解：① $\because EF// AB$，
$\therefore \frac{BE}{EC}=\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$。
$\because EC=BC-BE=12-BE$，
$\therefore \frac{BE}{12-BE}=\frac{1}{2}$，
解得$BE=4$。
② $\because \frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{FC}{AC}=\frac{2}{3}$。
$\because EF// AB$，
$\therefore △ EFC∽ △ BAC$，
$\therefore \frac{S_{△ EFC}}{S_{△ ABC}}=(\frac{FC}{AC})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{9}{4}S_{△ EFC}=\frac{9}{4}×20=45$。
【答案】
(1) 证明如上；(2) ① $\boldsymbol{BE=4}$；② $\boldsymbol{S_{△ ABC}=45}$
【知识点】
相似三角形的判定；平行线分线段成比例；相似三角形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础综合题，结合平行线的性质考查相似三角形的判定与相关性质，解题的关键是找准对应角、对应边的关系，熟练掌握核心定理即可顺利求解，是相似章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
7.小亮为了测量出一矩形深坑EFGH的深度,采取如下方案:如图,在深坑左侧用观测仪AB从观测出发点A观测深坑底部一点P,且观测视线刚好经过深坑边缘点E;在深坑右侧用观测仪CD从观测出发点C观测深坑底部同一点P,且观测视线恰好经过深坑边缘点F(点B,E,F,D在同一水平线上)。已知$AB⊥EF$,$CD⊥EF$,观测仪AB高2 m,观测仪CD高1 m,$BE=1.6$ m,$FD=0.8$ m,深坑的宽度$HG=8.8$ m。
(1)求证:$△ ABE ∽ △ EHP$;
(2)请根据以上数据,计算矩形深坑的深度。
(1)求证:$△ ABE ∽ △ EHP$;
(2)请根据以上数据,计算矩形深坑的深度。
答案
7.解:(1)略
(2)因为$△ ABE∽△ EHP$,
所以$\frac{EH}{AB}=\frac{HP}{BE}$,即$\frac{EH}{2}=\frac{HP}{1.6}$。
所以$HP=0.8EH$。
同理可证明$△ CDF∽△ FGP$,
所以$\frac{FG}{CD}=\frac{PG}{DF}$,
即$\frac{FG}{1}=\frac{PG}{0.8}$。
所以$PG=0.8FG$。
因为四边形$EHGF$是矩形,
所以$EF=HG=8.8\ \mathrm{m},EH=FG$。
所以$HG=HP+PG=0.8EH+0.8FG=8.8$。
所以$1.6EH=8.8$。
所以$EH=5.5\ \mathrm{m}$。
所以矩形深坑的深度为$5.5\ \mathrm{m}$。
(2)因为$△ ABE∽△ EHP$,
所以$\frac{EH}{AB}=\frac{HP}{BE}$,即$\frac{EH}{2}=\frac{HP}{1.6}$。
所以$HP=0.8EH$。
同理可证明$△ CDF∽△ FGP$,
所以$\frac{FG}{CD}=\frac{PG}{DF}$,
即$\frac{FG}{1}=\frac{PG}{0.8}$。
所以$PG=0.8FG$。
因为四边形$EHGF$是矩形,
所以$EF=HG=8.8\ \mathrm{m},EH=FG$。
所以$HG=HP+PG=0.8EH+0.8FG=8.8$。
所以$1.6EH=8.8$。
所以$EH=5.5\ \mathrm{m}$。
所以矩形深坑的深度为$5.5\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
(1) 证明三角形相似可从两角对应相等入手：两个三角形均为直角三角形，先证明存在一组直角相等，再根据垂直于同一直线的两直线平行得到同位角相等，即可证明相似。
(2) 求深坑深度即求EH的长度：先利用△ABE∽△EHP的性质得到HP与EH的比例关系，同理证明△CDF∽△FGP得到PG与FG的比例关系，再结合矩形对边相等的性质，得到HP+PG=HG=8.8m，且EH=FG，代入即可求解EH的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AB⊥EF，四边形EFGH是矩形，
∴EH⊥EF，
∴∠ABE=∠EHP=90°，
∴AB//EH（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴∠A=∠HEP（两直线平行，同位角相等），
∴△ABE∽△EHP（两角对应相等，两三角形相似）。
(2) 解：
由(1)得△ABE∽△EHP，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{EH}{AB}=\frac{HP}{BE}$，代入AB=2m，BE=1.6m，得$\frac{EH}{2}=\frac{HP}{1.6}$，整理得$HP=0.8EH$。
同理可证△CDF∽△FGP：
∵CD⊥EF，FG⊥EF，
∴∠CDF=∠FGP=90°，CD//FG，
∴∠C=∠PFG，
∴△CDF∽△FGP，
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{FG}{CD}=\frac{PG}{DF}$，代入CD=1m，FD=0.8m，得$\frac{FG}{1}=\frac{PG}{0.8}$，整理得$PG=0.8FG$。
∵四边形EHGF是矩形，
∴EH=FG，$HG=HP+PG=8.8\ \mathrm{m}$，
将HP、PG代入得：$0.8EH + 0.8FG = 8.8$，
又
∵EH=FG，
∴$0.8EH + 0.8EH = 8.8$，即$1.6EH=8.8$，
解得$EH=5.5\ \mathrm{m}$，即矩形深坑的深度为5.5m。
【答案】
(1) 证明成立，过程见解析；
(2) $\boxed{5.5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，矩形的性质
【点评】
本题以实际测量场景为载体，考查相似三角形和矩形性质的综合应用，解题核心是将实际问题转化为相似三角形的数学模型，利用相似三角形边的比例关系建立等量关系求解，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 证明三角形相似可从两角对应相等入手：两个三角形均为直角三角形，先证明存在一组直角相等，再根据垂直于同一直线的两直线平行得到同位角相等，即可证明相似。
(2) 求深坑深度即求EH的长度：先利用△ABE∽△EHP的性质得到HP与EH的比例关系，同理证明△CDF∽△FGP得到PG与FG的比例关系，再结合矩形对边相等的性质，得到HP+PG=HG=8.8m，且EH=FG，代入即可求解EH的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AB⊥EF，四边形EFGH是矩形，
∴EH⊥EF，
∴∠ABE=∠EHP=90°，
∴AB//EH（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴∠A=∠HEP（两直线平行，同位角相等），
∴△ABE∽△EHP（两角对应相等，两三角形相似）。
(2) 解：
由(1)得△ABE∽△EHP，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{EH}{AB}=\frac{HP}{BE}$，代入AB=2m，BE=1.6m，得$\frac{EH}{2}=\frac{HP}{1.6}$，整理得$HP=0.8EH$。
同理可证△CDF∽△FGP：
∵CD⊥EF，FG⊥EF，
∴∠CDF=∠FGP=90°，CD//FG，
∴∠C=∠PFG，
∴△CDF∽△FGP，
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{FG}{CD}=\frac{PG}{DF}$，代入CD=1m，FD=0.8m，得$\frac{FG}{1}=\frac{PG}{0.8}$，整理得$PG=0.8FG$。
∵四边形EHGF是矩形，
∴EH=FG，$HG=HP+PG=8.8\ \mathrm{m}$，
将HP、PG代入得：$0.8EH + 0.8FG = 8.8$，
又
∵EH=FG，
∴$0.8EH + 0.8EH = 8.8$，即$1.6EH=8.8$，
解得$EH=5.5\ \mathrm{m}$，即矩形深坑的深度为5.5m。
【答案】
(1) 证明成立，过程见解析；
(2) $\boxed{5.5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，矩形的性质
【点评】
本题以实际测量场景为载体，考查相似三角形和矩形性质的综合应用，解题核心是将实际问题转化为相似三角形的数学模型，利用相似三角形边的比例关系建立等量关系求解，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
