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基础知识
相似三角形的性质1 相似三角形对应高的比等于
相似三角形的性质2 相似
三角形面积的比等于
困惑疑问：
基础知识
相似三角形的性质1 相似三角形对应高的比等于
相似比
。相似三角形的性质2 相似
三角形面积的比等于相似比的平方
。困惑疑问：
答案
相似三角形对应高的比等于相似比。
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
解析
【分析】
本题考查相似三角形的基础性质，解题可通过推导理解的方式记忆结论：1. 对应高属于相似三角形的对应线段，相似三角形所有一维对应线段的缩放比例都和整体相似比一致，因此对应高的比等于相似比；2. 面积是二维量，其缩放比例是一维长度缩放比例的平方，结合三角形面积公式也可推导：相似三角形对应底、对应高的比都等于相似比，面积=1/2×底×高，因此面积比为相似比的平方。
【解析】
1. 相似三角形对应高的比的推导：
相似三角形的对应线段（包括对应高、对应中线、对应角平分线等）的比均等于相似比，对应高属于对应线段的一种，因此相似三角形对应高的比等于相似比。
2. 相似三角形面积的比的推导：
设两个相似三角形的相似比为$k$，它们的一组对应底边长为$a$、$ka$，该组底边上的对应高为$h$、$kh$。
根据三角形面积公式，两个三角形的面积分别为：
$S_1=\frac{1}{2}ah$，$S_2=\frac{1}{2}· ka· kh=\frac{1}{2}ah· k^2$
因此面积比$\frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{k^2}$，即相似三角形面积的比等于相似比的平方。
【答案】
相似比；相似比的平方
【知识点】
相似三角形对应线段性质；相似三角形面积性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础考查题，侧重对基础概念的记忆和理解，掌握性质的推导逻辑能更牢固地记住相关结论，是后续解决相似相关几何题的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查相似三角形的基础性质，解题可通过推导理解的方式记忆结论：1. 对应高属于相似三角形的对应线段，相似三角形所有一维对应线段的缩放比例都和整体相似比一致，因此对应高的比等于相似比；2. 面积是二维量，其缩放比例是一维长度缩放比例的平方，结合三角形面积公式也可推导：相似三角形对应底、对应高的比都等于相似比，面积=1/2×底×高，因此面积比为相似比的平方。
【解析】
1. 相似三角形对应高的比的推导：
相似三角形的对应线段（包括对应高、对应中线、对应角平分线等）的比均等于相似比，对应高属于对应线段的一种，因此相似三角形对应高的比等于相似比。
2. 相似三角形面积的比的推导：
设两个相似三角形的相似比为$k$，它们的一组对应底边长为$a$、$ka$，该组底边上的对应高为$h$、$kh$。
根据三角形面积公式，两个三角形的面积分别为：
$S_1=\frac{1}{2}ah$，$S_2=\frac{1}{2}· ka· kh=\frac{1}{2}ah· k^2$
因此面积比$\frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{k^2}$，即相似三角形面积的比等于相似比的平方。
【答案】
相似比；相似比的平方
【知识点】
相似三角形对应线段性质；相似三角形面积性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础考查题，侧重对基础概念的记忆和理解，掌握性质的推导逻辑能更牢固地记住相关结论，是后续解决相似相关几何题的基础。
【难度系数】
0.9
思考如图，$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，相似比为$k$，$AD$，$A'D'$分别是对应边上的高。
思考图
(1)$△ ABD$与$△ A'B'D'$相似吗？请说明理由。
(2)$\frac{AD}{A'D'}$等于$k$吗？为什么？
(3)$△ ABC$与$△ A'B'C'$的面积比等于$k$吗？为什么？
思考图
(1)$△ ABD$与$△ A'B'D'$相似吗？请说明理由。
(2)$\frac{AD}{A'D'}$等于$k$吗？为什么？
(3)$△ ABC$与$△ A'B'C'$的面积比等于$k$吗？为什么？
答案
(1)相似，理由略。
(2)等于。理由:因为$△ ABD∽△ A'B'D'$,
所以$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$。
(3)不等于$k$,等于$k^2$。理由:$S_{△ ABC}:S_{△ A'B'C'}=(\frac{1}{2}BC· AD):(\frac{1}{2}B'C'· A'D')=k^2$。
(2)等于。理由:因为$△ ABD∽△ A'B'D'$,
所以$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$。
(3)不等于$k$,等于$k^2$。理由:$S_{△ ABC}:S_{△ A'B'C'}=(\frac{1}{2}BC· AD):(\frac{1}{2}B'C'· A'D')=k^2$。
解析
【分析】
解题时结合相似三角形的判定与性质逐步推导即可：
1. 第(1)问先从已知的△ABC∽△A'B'C'得到对应角∠B=∠B'，再结合高的定义得到∠ADB=∠A'D'B'=90°，利用两角对应相等的判定定理即可判断两个小三角形相似。
2. 第(2)问利用第(1)问得到的小三角形相似的性质，对应边成比例，再结合大三角形的相似比，即可推出对应高的比等于相似比k。
3. 第(3)问用三角形面积公式分别表示两个三角形的面积，将底的比、高的比都替换为相似比k，计算即可得到面积比与k的关系。
【解析】
(1) △ABD与△A'B'D'相似，理由：
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴∠B=∠B'，
∵AD、A'D'分别是对应边上的高，
∴∠ADB=∠A'D'B'=90°，
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ABD∽△A'B'D'。
(2) $\frac{AD}{A'D'}$等于k，理由：
由(1)得△ABD∽△A'B'D'，根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}$，
∵△ABC与△A'B'C'的相似比为k，即$\frac{AB}{A'B'}=k$，
∴$\frac{AD}{A'D'}=k$。
(3) △ABC与△A'B'C'的面积比不等于k，等于$k^2$，理由：
根据三角形面积公式，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD$，$S_{△A'B'C'}=\frac{1}{2}B'C'·A'D'$，
∴$\frac{S_{△ABC}}{S_{△A'B'C'}}=\frac{\frac{1}{2}BC·AD}{\frac{1}{2}B'C'·A'D'}=\frac{BC}{B'C'}·\frac{AD}{A'D'}$，
∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，
∴$\frac{BC}{B'C'}=k$，结合(2)的结论$\frac{AD}{A'D'}=k$，
代入得$\frac{S_{△ABC}}{S_{△A'B'C'}}=k·k=k^2$，即面积比为$k^2$，不等于k。
【答案】
(1)相似，理由见解析；
(2)等于k，理由见解析；
(3)不等于k，等于$k^2$，理由见解析。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形对应线段的性质、相似三角形的面积比
【点评】
本题是相似三角形性质的基础推导题，通过探究相似三角形对应高的比、面积比与相似比的关系，加深对相似三角形性质的理解，解题时要注意区分线段比和面积比与相似比的对应关系，避免混淆。
【难度系数】
0.8
解题时结合相似三角形的判定与性质逐步推导即可：
1. 第(1)问先从已知的△ABC∽△A'B'C'得到对应角∠B=∠B'，再结合高的定义得到∠ADB=∠A'D'B'=90°，利用两角对应相等的判定定理即可判断两个小三角形相似。
2. 第(2)问利用第(1)问得到的小三角形相似的性质，对应边成比例，再结合大三角形的相似比，即可推出对应高的比等于相似比k。
3. 第(3)问用三角形面积公式分别表示两个三角形的面积，将底的比、高的比都替换为相似比k，计算即可得到面积比与k的关系。
【解析】
(1) △ABD与△A'B'D'相似，理由：
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴∠B=∠B'，
∵AD、A'D'分别是对应边上的高，
∴∠ADB=∠A'D'B'=90°，
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ABD∽△A'B'D'。
(2) $\frac{AD}{A'D'}$等于k，理由：
由(1)得△ABD∽△A'B'D'，根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}$，
∵△ABC与△A'B'C'的相似比为k，即$\frac{AB}{A'B'}=k$，
∴$\frac{AD}{A'D'}=k$。
(3) △ABC与△A'B'C'的面积比不等于k，等于$k^2$，理由：
根据三角形面积公式，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD$，$S_{△A'B'C'}=\frac{1}{2}B'C'·A'D'$，
∴$\frac{S_{△ABC}}{S_{△A'B'C'}}=\frac{\frac{1}{2}BC·AD}{\frac{1}{2}B'C'·A'D'}=\frac{BC}{B'C'}·\frac{AD}{A'D'}$，
∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，
∴$\frac{BC}{B'C'}=k$，结合(2)的结论$\frac{AD}{A'D'}=k$，
代入得$\frac{S_{△ABC}}{S_{△A'B'C'}}=k·k=k^2$，即面积比为$k^2$，不等于k。
【答案】
(1)相似，理由见解析；
(2)等于k，理由见解析；
(3)不等于k，等于$k^2$，理由见解析。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形对应线段的性质、相似三角形的面积比
【点评】
本题是相似三角形性质的基础推导题，通过探究相似三角形对应高的比、面积比与相似比的关系，加深对相似三角形性质的理解，解题时要注意区分线段比和面积比与相似比的对应关系，避免混淆。
【难度系数】
0.8
1.若两个相似三角形的对应高之比为1：3，则这两个三角形的面积之比为(
A.1：3
B.1：9
C.1：27
D.1：81
B
)。A.1：3
B.1：9
C.1：27
D.1：81
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先回忆相似三角形的相关性质：第一步，相似三角形的对应高属于对应线段，对应线段的比等于相似比，因此根据题中给出的对应高之比可先确定两个三角形的相似比；第二步，相似三角形的面积比等于相似比的平方，代入相似比计算即可得到面积比，选出正确选项。
【解析】
解：
∵相似三角形的对应高之比等于相似比，已知两个相似三角形对应高的比为1:3
∴这两个相似三角形的相似比为$1:3$
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴两个三角形的面积比为$1^2:3^2=1:9$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形相似比性质；相似三角形面积比性质
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是明确相似三角形的相似比与对应线段比、面积比的关系，牢记性质、避免将面积比和相似比混淆即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆相似三角形的相关性质：第一步，相似三角形的对应高属于对应线段，对应线段的比等于相似比，因此根据题中给出的对应高之比可先确定两个三角形的相似比；第二步，相似三角形的面积比等于相似比的平方，代入相似比计算即可得到面积比，选出正确选项。
【解析】
解：
∵相似三角形的对应高之比等于相似比，已知两个相似三角形对应高的比为1:3
∴这两个相似三角形的相似比为$1:3$
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴两个三角形的面积比为$1^2:3^2=1:9$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形相似比性质；相似三角形面积比性质
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是明确相似三角形的相似比与对应线段比、面积比的关系，牢记性质、避免将面积比和相似比混淆即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.如图，$△ CAD ∽ △ CBA$，$AC:BC=1:2$，D为BC边上的一点。若$△ ACD$的面积为3，则$△ ABD$的面积为（
A.6
B.8
C.9
D.12
C
）。A.6
B.8
C.9
D.12
答案
2.C
解析
【分析】
遇到相似三角形求面积的相关问题，首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。本题已知△CAD∽△CBA，且给出对应边的比AC:BC=1:2，即两个三角形的相似比，我们可以先根据面积比与相似比的关系求出大三角形△CBA的面积，再利用△ABD的面积=△CBA的面积-△ACD的面积，即可求出结果。
【解析】
解：
∵$△ CAD ∽ △ CBA$，相似比$k=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}$
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ CAD}}{S_{△ CBA}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
已知$S_{△ ACD}=3$，代入得：
$\frac{3}{S_{△ CBA}}=\frac{1}{4}$，解得$S_{△ CBA}=12$
又
∵$S_{△ ABD}=S_{△ CBA}-S_{△ ACD}$
∴$S_{△ ABD}=12-3=9$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形面积比性质、面积和差运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是牢记相似三角形面积比等于相似比的平方，不要和周长比等于相似比的性质混淆，结合面积的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
遇到相似三角形求面积的相关问题，首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。本题已知△CAD∽△CBA，且给出对应边的比AC:BC=1:2，即两个三角形的相似比，我们可以先根据面积比与相似比的关系求出大三角形△CBA的面积，再利用△ABD的面积=△CBA的面积-△ACD的面积，即可求出结果。
【解析】
解：
∵$△ CAD ∽ △ CBA$，相似比$k=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}$
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ CAD}}{S_{△ CBA}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
已知$S_{△ ACD}=3$，代入得：
$\frac{3}{S_{△ CBA}}=\frac{1}{4}$，解得$S_{△ CBA}=12$
又
∵$S_{△ ABD}=S_{△ CBA}-S_{△ ACD}$
∴$S_{△ ABD}=12-3=9$
【答案】
C
【知识点】
相似三角形面积比性质、面积和差运算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是牢记相似三角形面积比等于相似比的平方，不要和周长比等于相似比的性质混淆，结合面积的和差关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3.如图,在$□ ABCD$中,E为CD上一点,连接AE,BD,且AE,BD交于点F,$S_{△ DEF}:S_{△ ABF}=4:25$,则$DE:EC=( )$。
A.$2:5$
B.$2:3$
C.$3:5$
D.$3:2$
A.$2:5$
B.$2:3$
C.$3:5$
D.$3:2$
答案
3.B
解析
【分析】
首先结合平行四边形的性质可得AB与CD平行且相等，由此可推出△DEF和△BAF相似；再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合已知的面积比求出DE与AB的比值；最后结合AB=CD，将AB替换为CD，求出DE与EC的比值即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠EDF=∠ABF，∠DEF=∠BAF，
∴△DEF∽△BAF。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，且$S_{△ DEF}:S_{△ ABF}=4:25$，
∴$(\frac{DE}{AB})^2=\frac{4}{25}$，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{2}{5}$（线段长度为正，舍去负解）。
又
∵AB=CD，
∴$\frac{DE}{CD}=\frac{2}{5}$，
设DE=2k，则CD=5k，
∴EC=CD-DE=5k-2k=3k，
∴$DE:EC=2k:3k=2:3$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与平行四边形结合的基础题型，解题的核心是先利用平行关系证明三角形相似，再借助相似三角形面积比与相似比的关系推导线段比例，这类题是相似性质应用的常考类型。
【难度系数】
0.7
首先结合平行四边形的性质可得AB与CD平行且相等，由此可推出△DEF和△BAF相似；再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合已知的面积比求出DE与AB的比值；最后结合AB=CD，将AB替换为CD，求出DE与EC的比值即可。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠EDF=∠ABF，∠DEF=∠BAF，
∴△DEF∽△BAF。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，且$S_{△ DEF}:S_{△ ABF}=4:25$，
∴$(\frac{DE}{AB})^2=\frac{4}{25}$，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{2}{5}$（线段长度为正，舍去负解）。
又
∵AB=CD，
∴$\frac{DE}{CD}=\frac{2}{5}$，
设DE=2k，则CD=5k，
∴EC=CD-DE=5k-2k=3k，
∴$DE:EC=2k:3k=2:3$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与平行四边形结合的基础题型，解题的核心是先利用平行关系证明三角形相似，再借助相似三角形面积比与相似比的关系推导线段比例，这类题是相似性质应用的常考类型。
【难度系数】
0.7
1.若$△ ABC ∽ △ A'B'C'$，且相似比为$1:2$，则$△ ABC$与$△ A'B'C'$的面积比为（
A.$1:2$
B.$1:4$
C.$2:1$
D.$4:1$
B
）。A.$1:2$
B.$1:4$
C.$2:1$
D.$4:1$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：已知两个三角形相似，相似比为1:2，要求对应面积比。首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，这是解题的关键依据。其次要注意相似比的顺序是△ABC与△A'B'C'的比为1:2，计算面积比时要保持顺序一致，避免颠倒，同时不要混淆面积比和周长比的规律（周长比等于相似比，面积比是相似比的平方）。
【解析】
解：
∵ △ABC ∽ △A'B'C'，且两者的相似比为1:2，
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴ △ABC与△A'B'C'的面积比为$(1:2)^2 = 1:4$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.相似三角形的性质
2.面积比与相似比的关系
【点评】
本题是基础类常考题，重点考察相似三角形面积比和相似比的对应规律，解题时只要牢记性质、注意两个三角形的顺序，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先梳理已知条件：已知两个三角形相似，相似比为1:2，要求对应面积比。首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，这是解题的关键依据。其次要注意相似比的顺序是△ABC与△A'B'C'的比为1:2，计算面积比时要保持顺序一致，避免颠倒，同时不要混淆面积比和周长比的规律（周长比等于相似比，面积比是相似比的平方）。
【解析】
解：
∵ △ABC ∽ △A'B'C'，且两者的相似比为1:2，
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴ △ABC与△A'B'C'的面积比为$(1:2)^2 = 1:4$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.相似三角形的性质
2.面积比与相似比的关系
【点评】
本题是基础类常考题，重点考察相似三角形面积比和相似比的对应规律，解题时只要牢记性质、注意两个三角形的顺序，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
