登录
12.按下面的程序计算:若输入$x=100$,输出结果是501;若输入$x=25$,输出结果是631。若开始输入的$x$的值为正整数,最后输出的结果为556,则开始输入的$x$的值是。
答案
解：
分情况讨论：
1. 若第一次计算$5x+1$的结果就大于500，直接输出556：
列方程：$5x + 1 = 556$
解得：$x = 111$
111是正整数，且$5×111+1=556＞500$，符合条件。
2. 若第一次计算$5x+1$的结果$≤500$，将该结果作为新的x再次输入，第二次计算得到556：
列方程：$5(5x + 1) + 1 = 556$
展开得：$25x + 6 = 556$
解得：$x = 22$
22是正整数，第一次计算$5×22+1=111≤500$，第二次计算$5×111+1=556＞500$，符合条件。
3. 若经过三次计算才输出556：
列方程：$5[5(5x+1)+1] + 1 = 556$
展开得：$125x + 31 = 556$
解得：$x = 4.2$，不是正整数，不符合要求。
继续递推得到的x均不为正整数，均不符合条件。
所以开始输入的$x$的值是$\boldsymbol{22}$或$\boldsymbol{111}$。
分情况讨论：
1. 若第一次计算$5x+1$的结果就大于500，直接输出556：
列方程：$5x + 1 = 556$
解得：$x = 111$
111是正整数，且$5×111+1=556＞500$，符合条件。
2. 若第一次计算$5x+1$的结果$≤500$，将该结果作为新的x再次输入，第二次计算得到556：
列方程：$5(5x + 1) + 1 = 556$
展开得：$25x + 6 = 556$
解得：$x = 22$
22是正整数，第一次计算$5×22+1=111≤500$，第二次计算$5×111+1=556＞500$，符合条件。
3. 若经过三次计算才输出556：
列方程：$5[5(5x+1)+1] + 1 = 556$
展开得：$125x + 31 = 556$
解得：$x = 4.2$，不是正整数，不符合要求。
继续递推得到的x均不为正整数，均不符合条件。
所以开始输入的$x$的值是$\boldsymbol{22}$或$\boldsymbol{111}$。
解析
【分析】
首先明确程序的运行逻辑：输入正整数x，计算$5x+1$的值，若值大于500则直接输出，否则将该计算结果作为新的x重新代入计算，直到结果大于500输出。已知最终输出结果为556，我们需要反向分情况讨论：分别考虑经过1次计算、2次计算、3次及以上计算得到556的情况，结合x为正整数的条件，筛选出符合要求的x的值即可。
【解析】
分情况讨论：
1. 若仅经过1次计算就输出556，即第一次计算的$5x+1$就大于500：
列方程：$5x + 1 = 556$
解得：$x = 111$
验证：111是正整数，且$5×111+1=556＞500$，符合条件。
2. 若经过2次计算输出556，即第一次计算的结果≤500，将该结果作为新的x代入计算第二次得到556：
列方程：$5(5x + 1) + 1 = 556$
展开得：$25x + 6 = 556$
解得：$x = 22$
验证：22是正整数，第一次计算$5×22+1=111≤500$，第二次计算$5×111+1=556＞500$，符合条件。
3. 若经过3次计算输出556：
列方程：$5[5(5x+1)+1] + 1 = 556$
展开得：$125x + 31 = 556$
解得：$x = 4.2$，不是正整数，不符合要求。
若继续计算更多次的情况，得到的x均为非正整数，均不符合条件。
综上，符合条件的x的值为22或111。
【答案】
$\boldsymbol{22}$或$\boldsymbol{111}$
【知识点】
程序运算，一元一次方程求解，分类讨论思想
【点评】
本题需要结合程序的运行规则反向推导输入值，解题时要注意分情况讨论不同的运算次数，同时要验证所求的x是否满足正整数要求以及对应运算次数的数值条件，避免出现漏解或者错解的情况。
【难度系数】
0.6
首先明确程序的运行逻辑：输入正整数x，计算$5x+1$的值，若值大于500则直接输出，否则将该计算结果作为新的x重新代入计算，直到结果大于500输出。已知最终输出结果为556，我们需要反向分情况讨论：分别考虑经过1次计算、2次计算、3次及以上计算得到556的情况，结合x为正整数的条件，筛选出符合要求的x的值即可。
【解析】
分情况讨论：
1. 若仅经过1次计算就输出556，即第一次计算的$5x+1$就大于500：
列方程：$5x + 1 = 556$
解得：$x = 111$
验证：111是正整数，且$5×111+1=556＞500$，符合条件。
2. 若经过2次计算输出556，即第一次计算的结果≤500，将该结果作为新的x代入计算第二次得到556：
列方程：$5(5x + 1) + 1 = 556$
展开得：$25x + 6 = 556$
解得：$x = 22$
验证：22是正整数，第一次计算$5×22+1=111≤500$，第二次计算$5×111+1=556＞500$，符合条件。
3. 若经过3次计算输出556：
列方程：$5[5(5x+1)+1] + 1 = 556$
展开得：$125x + 31 = 556$
解得：$x = 4.2$，不是正整数，不符合要求。
若继续计算更多次的情况，得到的x均为非正整数，均不符合条件。
综上，符合条件的x的值为22或111。
【答案】
$\boldsymbol{22}$或$\boldsymbol{111}$
【知识点】
程序运算，一元一次方程求解，分类讨论思想
【点评】
本题需要结合程序的运行规则反向推导输入值，解题时要注意分情况讨论不同的运算次数，同时要验证所求的x是否满足正整数要求以及对应运算次数的数值条件，避免出现漏解或者错解的情况。
【难度系数】
0.6
三、解答题
13.计算。
(1)$(-32)÷4×(-8)$；
(2)$16÷(-2)^3+(-0.25)×(-9+1)$。
13.计算。
(1)$(-32)÷4×(-8)$；
(2)$16÷(-2)^3+(-0.25)×(-9+1)$。
答案
解：
(1) 原式 = (-8) × (-8)
= 64
(2) 原式 = 16 ÷ (-8) + (-0.25) × (-8)
= -2 + 2
= 0
(1) 原式 = (-8) × (-8)
= 64
(2) 原式 = 16 ÷ (-8) + (-0.25) × (-8)
= -2 + 2
= 0
解析
【分析】
（1）第一小题是有理数乘除同级运算，同级运算按照从左到右的顺序依次计算，计算时先根据“同号得正、异号得负”确定结果的符号，再计算绝对值即可。
（2）第二小题是有理数混合运算，遵循运算顺序：先算乘方运算，再算括号内的加减运算，之后算乘除运算，最后算加减运算，每一步都先判定符号再计算绝对值，避免符号错误。
【解析】
(1) 按照从左到右的顺序先计算除法：
原式 = (-8) × (-8)
再计算乘法，同号相乘结果为正，计算绝对值的乘积：
= 64
(2) 先计算乘方和括号内的运算：
$(-2)^3=-8$，$-9+1=-8$，代入原式得：
原式 = 16 ÷ (-8) + (-0.25) × (-8)
分别计算乘除运算：
16÷(-8)=-2，(-0.25)×(-8)=2，代入得：
= -2 + 2
最后计算加法：
= 0
【答案】
(1) $\boxed{64}$；(2) $\boxed{0}$
【知识点】
有理数乘除运算；有理数混合运算顺序
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查有理数运算的符号判定规则和运算顺序，只要熟练掌握运算规则、计算时细心核对符号，即可顺利得分，是运算能力的基础训练题型。
【难度系数】
0.8
（1）第一小题是有理数乘除同级运算，同级运算按照从左到右的顺序依次计算，计算时先根据“同号得正、异号得负”确定结果的符号，再计算绝对值即可。
（2）第二小题是有理数混合运算，遵循运算顺序：先算乘方运算，再算括号内的加减运算，之后算乘除运算，最后算加减运算，每一步都先判定符号再计算绝对值，避免符号错误。
【解析】
(1) 按照从左到右的顺序先计算除法：
原式 = (-8) × (-8)
再计算乘法，同号相乘结果为正，计算绝对值的乘积：
= 64
(2) 先计算乘方和括号内的运算：
$(-2)^3=-8$，$-9+1=-8$，代入原式得：
原式 = 16 ÷ (-8) + (-0.25) × (-8)
分别计算乘除运算：
16÷(-8)=-2，(-0.25)×(-8)=2，代入得：
= -2 + 2
最后计算加法：
= 0
【答案】
(1) $\boxed{64}$；(2) $\boxed{0}$
【知识点】
有理数乘除运算；有理数混合运算顺序
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查有理数运算的符号判定规则和运算顺序，只要熟练掌握运算规则、计算时细心核对符号，即可顺利得分，是运算能力的基础训练题型。
【难度系数】
0.8
14.先化简，再求值：$2(-2x^2+xy-y^2)-(-4x^2+4xy-2y^2)$，其中 $x=3$，$y=-1$。
答案
解：
$\begin{aligned}2(-2x^2+xy-y^2)-(-4x^2+4xy-2y^2)&=-4x^2 + 2xy - 2y^2 +4x^2 -4xy +2y^2\\&=(-4x^2+4x^2)+(2xy-4xy)+(-2y^2+2y^2)\\&=-2xy\end{aligned}$
当$x=3$，$y=-1$时，
原式$=-2×3×(-1)=6$
$\begin{aligned}2(-2x^2+xy-y^2)-(-4x^2+4xy-2y^2)&=-4x^2 + 2xy - 2y^2 +4x^2 -4xy +2y^2\\&=(-4x^2+4x^2)+(2xy-4xy)+(-2y^2+2y^2)\\&=-2xy\end{aligned}$
当$x=3$，$y=-1$时，
原式$=-2×3×(-1)=6$
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分为三步：第一步先去括号，去括号时要注意符号规则：括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去括号后括号内每一项都要变号，同时括号前有系数的，要把系数乘到括号内每一项。第二步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，把整式化为最简形式。第三步将x和y的取值代入最简式中计算，得到最终结果，先化简再代入能有效减少计算量，降低出错概率。
【解析】
解：先对原式去括号：
$\begin{aligned}2(-2x^2+xy-y^2)-(-4x^2+4xy-2y^2)&=-4x^2 + 2xy - 2y^2 +4x^2 -4xy +2y^2\\&=(-4x^2+4x^2)+(2xy-4xy)+(-2y^2+2y^2)\\&=-2xy\end{aligned}$
将$x=3$，$y=-1$代入化简后的式子：
原式$=-2×3×(-1)=6$
【答案】
6
【知识点】
去括号法则；合并同类项；代数式求值
【点评】
本题属于整式化简求值的常规题型，重点考察整式加减运算的掌握情况，去括号时的符号变化是本题的易错点，熟练掌握去括号和合并同类项的规则是解题的关键，先化简后代入求值的思路能大幅提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题思路分为三步：第一步先去括号，去括号时要注意符号规则：括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去括号后括号内每一项都要变号，同时括号前有系数的，要把系数乘到括号内每一项。第二步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，把整式化为最简形式。第三步将x和y的取值代入最简式中计算，得到最终结果，先化简再代入能有效减少计算量，降低出错概率。
【解析】
解：先对原式去括号：
$\begin{aligned}2(-2x^2+xy-y^2)-(-4x^2+4xy-2y^2)&=-4x^2 + 2xy - 2y^2 +4x^2 -4xy +2y^2\\&=(-4x^2+4x^2)+(2xy-4xy)+(-2y^2+2y^2)\\&=-2xy\end{aligned}$
将$x=3$，$y=-1$代入化简后的式子：
原式$=-2×3×(-1)=6$
【答案】
6
【知识点】
去括号法则；合并同类项；代数式求值
【点评】
本题属于整式化简求值的常规题型，重点考察整式加减运算的掌握情况，去括号时的符号变化是本题的易错点，熟练掌握去括号和合并同类项的规则是解题的关键，先化简后代入求值的思路能大幅提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
15.已知方程$2(1-x)=x-1$的解与关于$x$的方程$\frac{x-m}{3}=2x+m$的解相同，求$m$的值。
答案
解：先解方程$2(1-x)=x-1$，
去括号，得$2 - 2x = x - 1$，
移项，得$-2x - x = -1 - 2$，
合并同类项，得$-3x = -3$，
系数化为1，得$x=1$。
因为两个方程的解相同，将$x=1$代入方程$\frac{x - m}{3}=2x + m$，得
$\frac{1 - m}{3}=2×1 + m$，
去分母，得$1 - m = 6 + 3m$，
移项，得$-m - 3m = 6 - 1$，
合并同类项，得$-4m = 5$，
系数化为1，得$m=-\frac{5}{4}$。
去括号，得$2 - 2x = x - 1$，
移项，得$-2x - x = -1 - 2$，
合并同类项，得$-3x = -3$，
系数化为1，得$x=1$。
因为两个方程的解相同，将$x=1$代入方程$\frac{x - m}{3}=2x + m$，得
$\frac{1 - m}{3}=2×1 + m$，
去分母，得$1 - m = 6 + 3m$，
移项，得$-m - 3m = 6 - 1$，
合并同类项，得$-4m = 5$，
系数化为1，得$m=-\frac{5}{4}$。
解析
【分析】
本题是同解方程类问题，解题思路可分为两步：第一步先求解不含参数的一元一次方程$2(1-x)=x-1$，得到$x$的具体取值；第二步利用两个方程解相同的性质，将求出的$x$值代入含参数$m$的第二个方程，此时方程就转化为仅含未知数$m$的一元一次方程，按照一元一次方程的求解步骤计算即可得到$m$的值。
【解析】
先解方程$2(1-x)=x-1$，
去括号，得$2 - 2x = x - 1$，
移项，得$-2x - x = -1 - 2$，
合并同类项，得$-3x = -3$，
系数化为1，得$x=1$。
因为两个方程的解相同，将$x=1$代入方程$\frac{x - m}{3}=2x + m$，得
$\frac{1 - m}{3}=2×1 + m$，
去分母，得$1 - m = 6 + 3m$，
移项，得$-m - 3m = 6 - 1$，
合并同类项，得$-4m = 5$，
系数化为1，得$m=-\frac{5}{4}$。
【答案】
$m=-\frac{5}{4}$
【知识点】
1.一元一次方程的解法 2.同解方程的应用
【点评】
本题是同解方程的基础题型，解题核心是抓住“解相同”的条件，先求出已知方程的解再代入含参方程求解，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
本题是同解方程类问题，解题思路可分为两步：第一步先求解不含参数的一元一次方程$2(1-x)=x-1$，得到$x$的具体取值；第二步利用两个方程解相同的性质，将求出的$x$值代入含参数$m$的第二个方程，此时方程就转化为仅含未知数$m$的一元一次方程，按照一元一次方程的求解步骤计算即可得到$m$的值。
【解析】
先解方程$2(1-x)=x-1$，
去括号，得$2 - 2x = x - 1$，
移项，得$-2x - x = -1 - 2$，
合并同类项，得$-3x = -3$，
系数化为1，得$x=1$。
因为两个方程的解相同，将$x=1$代入方程$\frac{x - m}{3}=2x + m$，得
$\frac{1 - m}{3}=2×1 + m$，
去分母，得$1 - m = 6 + 3m$，
移项，得$-m - 3m = 6 - 1$，
合并同类项，得$-4m = 5$，
系数化为1，得$m=-\frac{5}{4}$。
【答案】
$m=-\frac{5}{4}$
【知识点】
1.一元一次方程的解法 2.同解方程的应用
【点评】
本题是同解方程的基础题型，解题核心是抓住“解相同”的条件，先求出已知方程的解再代入含参方程求解，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
