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22.如图,将7张形状、大小完全相同的小长方形纸片(如图①所示)按图②所示的方式不重叠地放在长方形ABCD内,未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形,面积分别为$S_1$和$S_2$.已知小长方形纸片的长为$a$,宽为$b$,且$a＞b$.
(1)当$a=9,b=2,AD=30$时,长方形ABCD的面积是
(2)当$AD=30$时,求$S_1 - S_2$的值(用含$a,b$的式子表示).
(3)若$AB$的长度不变,$AD$变长,将这7张小长方形纸片还是按照同样的方式放在新的长方形$ABCD$内,而$S_1 - S_2$的值总保持不变,则$a,b$满足的关系是
(1)当$a=9,b=2,AD=30$时,长方形ABCD的面积是
510
,$S_1 - S_2$的值为48
.(2)当$AD=30$时,求$S_1 - S_2$的值(用含$a,b$的式子表示).
(3)若$AB$的长度不变,$AD$变长,将这7张小长方形纸片还是按照同样的方式放在新的长方形$ABCD$内,而$S_1 - S_2$的值总保持不变,则$a,b$满足的关系是
$a=4b$
.答案
22.(1)510 48
(2)$S_1-S_2=ab+30a-120b$.
(3)$a=4b$
(2)$S_1-S_2=ab+30a-120b$.
(3)$a=4b$
解析
【分析】
1. 第(1)问解题思路：先根据图形得到长方形ABCD的宽AB为小长方形的长a加4个小长方形的宽b，结合已知AD的长度，用长方形面积公式计算ABCD的面积；再分别确定S₁、S₂的长和宽，代入数值计算两个面积后求差值即可。
2. 第(2)问解题思路：沿用第(1)问中S₁、S₂的表达式，将AD=30代入，用含a、b的字母展开化简，即可得到S₁-S₂的代数式。
3. 第(3)问解题思路：设AD长度为x，将S₁-S₂整理为关于x的代数式，若差值不随x变化，则x的系数为0，据此可推出a、b的数量关系。
【解析】
(1) 由图可知$AB=a+4b$，当$a=9,b=2$时，$AB=9+4×2=17$，
长方形ABCD的面积$=AD×AB=30×17=510$。
$S_1$的长为$AD-3b=30-3×2=24$，宽为$a=9$，故$S_1=24×9=216$；
$S_2$的长为$AD-a=30-9=21$，宽为$4b=4×2=8$，故$S_2=21×8=168$；
因此$S_1-S_2=216-168=48$。
(2) 当$AD=30$时：
$S_1=a(30-3b)$，$S_2=4b(30-a)$，
$\begin{aligned}S_1-S_2&=a(30-3b)-4b(30-a)\\&=30a-3ab-120b+4ab\\&=ab+30a-120b\end{aligned}$
(3) 设$AD=x$，则：
$\begin{aligned}S_1-S_2&=a(x-3b)-4b(x-a)\\&=ax-3ab-4bx+4ab\\&=(a-4b)x+ab\end{aligned}$
因为$S_1-S_2$的值与$AD$长度无关，即与$x$无关，因此$x$的系数为0，即$a-4b=0$，故$a=4b$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{510}$；$\boldsymbol{48}$
(2) $\boldsymbol{S_1-S_2=ab+30a-120b}$
(3) $\boldsymbol{a=4b}$
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题结合图形考查整式加减的实际应用，核心是准确识别两个未覆盖区域的长和宽，结合面积公式列代数式，再根据要求化简或推导参数关系，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.65
1. 第(1)问解题思路：先根据图形得到长方形ABCD的宽AB为小长方形的长a加4个小长方形的宽b，结合已知AD的长度，用长方形面积公式计算ABCD的面积；再分别确定S₁、S₂的长和宽，代入数值计算两个面积后求差值即可。
2. 第(2)问解题思路：沿用第(1)问中S₁、S₂的表达式，将AD=30代入，用含a、b的字母展开化简，即可得到S₁-S₂的代数式。
3. 第(3)问解题思路：设AD长度为x，将S₁-S₂整理为关于x的代数式，若差值不随x变化，则x的系数为0，据此可推出a、b的数量关系。
【解析】
(1) 由图可知$AB=a+4b$，当$a=9,b=2$时，$AB=9+4×2=17$，
长方形ABCD的面积$=AD×AB=30×17=510$。
$S_1$的长为$AD-3b=30-3×2=24$，宽为$a=9$，故$S_1=24×9=216$；
$S_2$的长为$AD-a=30-9=21$，宽为$4b=4×2=8$，故$S_2=21×8=168$；
因此$S_1-S_2=216-168=48$。
(2) 当$AD=30$时：
$S_1=a(30-3b)$，$S_2=4b(30-a)$，
$\begin{aligned}S_1-S_2&=a(30-3b)-4b(30-a)\\&=30a-3ab-120b+4ab\\&=ab+30a-120b\end{aligned}$
(3) 设$AD=x$，则：
$\begin{aligned}S_1-S_2&=a(x-3b)-4b(x-a)\\&=ax-3ab-4bx+4ab\\&=(a-4b)x+ab\end{aligned}$
因为$S_1-S_2$的值与$AD$长度无关，即与$x$无关，因此$x$的系数为0，即$a-4b=0$，故$a=4b$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{510}$；$\boldsymbol{48}$
(2) $\boldsymbol{S_1-S_2=ab+30a-120b}$
(3) $\boldsymbol{a=4b}$
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题结合图形考查整式加减的实际应用，核心是准确识别两个未覆盖区域的长和宽，结合面积公式列代数式，再根据要求化简或推导参数关系，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.65
23.幻方起源于中国,如右图,将1~9这9个数填到正方形方格中,就得到一个幻方.它的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,这个和称为幻方和.右图中的幻方和是15.下列三个图都是没有填完整的幻方.
(1)如图①,直接写出图中x,y的值以及幻方和.
(2)如图②,将−7,−5,−3,−1,1,3,5,7,9这9个数填到幻方的方格中.
(3)如图③,已知三个数a,b,c,当$x=-1$时,代数式$ax^4 + bx^3 + c(1 - x) - 2$的值为2026,直接写出方格①中填入的数.
图①
$x$ 12 $-2$
0 4 8
10 $y$ 6
图③
① $b$
$a$ $c$
(1)如图①,直接写出图中x,y的值以及幻方和.
(2)如图②,将−7,−5,−3,−1,1,3,5,7,9这9个数填到幻方的方格中.
(3)如图③,已知三个数a,b,c,当$x=-1$时,代数式$ax^4 + bx^3 + c(1 - x) - 2$的值为2026,直接写出方格①中填入的数.
图①
$x$ 12 $-2$
0 4 8
10 $y$ 6
图③
① $b$
$a$ $c$
答案
23.(1)$x=2,y=-4$,幻方和为12.
(2)任填下面一种即可.
(3)$x=1$时,$a×(-1)^4+b×(-1)^3+c[1-(-1)]-2=2\ 026$,
即$a-b+2c=2\ 028$.
设幻方和为$m$,方格①中的数为$y$.
则方格②中的数为$m-a-c$,
方格③中的数为$y+b-c$.
所以$y+(m-a-c)+(y+b-c)=m$.
即$2y=a-b+2c=2\ 028$.所以$y=1\ 014$.
解析
【分析】
1. 第(1)问：先利用幻方每行和相等的性质，从已知三个数的第二行算出幻方和，再根据第一行和等于幻方和求x，第三行和等于幻方和求y即可。
2. 第(2)问：先计算给出9个数的总和，总和除以3得到幻方和，除以9得到中间位置的数，再将剩余数按“和为中间数2倍”的原则配对，依次填入对应位置即可。
3. 第(3)问：先将x=-1代入代数式，化简得到a、b、c的关系式，再设方格①的数为y，幻方和为m，用幻方和表示出其他未知位置的数，根据行的和为m列方程，代入a、b、c的关系式即可求出y的值。
【解析】
(1) 首先计算第二行的和：$0+4+8=12$，因此该幻方的幻方和为12。
根据第一行和为12，可得：$x+12+(-2)=12$，解得$x=2$；
根据第三行和为12，可得：$10+y+6=12$，解得$y=-4$。
(2) 先计算9个数的总和：$(-7)+(-5)+(-3)+(-1)+1+3+5+7+9=9$，因此幻方和为$9÷3=3$，中间位置的数为$9÷9=1$，将剩余数配对：$-7$和$9$、$-5$和$7$、$-3$和$5$、$-1$和$3$（每对和为2，与中间数相加得幻方和3），任选一种填法即可。
(3) 首先将$x=-1$代入代数式$ax^4 + bx^3 + c(1 - x) - 2$，得：
$a×(-1)^4 + b×(-1)^3 + c×[1-(-1)] - 2 = 2026$
化简得：$a - b + 2c = 2028$。
设方格①中填入的数为$y$，幻方和为$m$，根据幻方和的性质推导各未知位置的数，最终可得：$2y = a - b + 2c$。
代入$a - b + 2c = 2028$，得$2y=2028$，解得$y=1014$。
【答案】
(1) $x=2$，$y=-4$，幻方和为12；
(2) 任填以下一种即可：
(3) 方格①中填入的数为$\boxed{1014}$。
【知识点】
有理数的运算、三阶幻方的性质、代数式求值
【点评】
本题结合传统幻方文化考查了有理数运算和代数式化简求值，解题核心是熟练掌握三阶幻方“每行、每列、对角线的和相等”的性质，难度适中，兼顾了基础性和创新性。
【难度系数】
0.65
1. 第(1)问：先利用幻方每行和相等的性质，从已知三个数的第二行算出幻方和，再根据第一行和等于幻方和求x，第三行和等于幻方和求y即可。
2. 第(2)问：先计算给出9个数的总和，总和除以3得到幻方和，除以9得到中间位置的数，再将剩余数按“和为中间数2倍”的原则配对，依次填入对应位置即可。
3. 第(3)问：先将x=-1代入代数式，化简得到a、b、c的关系式，再设方格①的数为y，幻方和为m，用幻方和表示出其他未知位置的数，根据行的和为m列方程，代入a、b、c的关系式即可求出y的值。
【解析】
(1) 首先计算第二行的和：$0+4+8=12$，因此该幻方的幻方和为12。
根据第一行和为12，可得：$x+12+(-2)=12$，解得$x=2$；
根据第三行和为12，可得：$10+y+6=12$，解得$y=-4$。
(2) 先计算9个数的总和：$(-7)+(-5)+(-3)+(-1)+1+3+5+7+9=9$，因此幻方和为$9÷3=3$，中间位置的数为$9÷9=1$，将剩余数配对：$-7$和$9$、$-5$和$7$、$-3$和$5$、$-1$和$3$（每对和为2，与中间数相加得幻方和3），任选一种填法即可。
(3) 首先将$x=-1$代入代数式$ax^4 + bx^3 + c(1 - x) - 2$，得：
$a×(-1)^4 + b×(-1)^3 + c×[1-(-1)] - 2 = 2026$
化简得：$a - b + 2c = 2028$。
设方格①中填入的数为$y$，幻方和为$m$，根据幻方和的性质推导各未知位置的数，最终可得：$2y = a - b + 2c$。
代入$a - b + 2c = 2028$，得$2y=2028$，解得$y=1014$。
【答案】
(1) $x=2$，$y=-4$，幻方和为12；
(2) 任填以下一种即可：
(3) 方格①中填入的数为$\boxed{1014}$。
【知识点】
有理数的运算、三阶幻方的性质、代数式求值
【点评】
本题结合传统幻方文化考查了有理数运算和代数式化简求值，解题核心是熟练掌握三阶幻方“每行、每列、对角线的和相等”的性质，难度适中，兼顾了基础性和创新性。
【难度系数】
0.65
