24.已知在七进制中，数$(a_{n}··· a_{3}a_{2}a_{1})_{7}=a_{1}+a_{2}×7+a_{3}×7^{2}+···+a_{n}×7^{n-1}$，比如$(2315)_{7}=5+1×7+3×7^{2}+2×7^{3}$，即$(2315)_{7}=845$.
(1)将十进制中的数转换成七进制的数：
①$17=(\_\_\_\_\_\_)_{7}$；②$431=(\_\_\_\_\_\_)_{7}$.
(2)仿照十进制中的乘法口诀表制作七进制的乘法口诀表如下(表中数皆为七进制数)：

①表中$a=(\_\_\_\_\_\_)_{7}$，$b=(\_\_\_\_\_\_)_{7}$；
②利用七进制乘法口诀表计算：$(34)_{7}×(24)_{7}=(\_\_\_\_\_\_)_{7}$.
(3)在$n$进制中，等式$(42)_{n}×(20)_{n}=(1340)_{n}$成立.直接写出$n$的值.

24.(1)①23 ②1 154
(2)①11 26 ②1 212
(3)$n=5$
解析:因为$(42)_n×(20)_n=(1340)_n$,
所以$(2+4n)×(0+2n)=(0+4n+3n^2+n^3)$,
所以$4n+8n^2=4n+3n^2+n^3$,
所以$n^3-5n^2=0$,
所以$n^2(n-5)=0$.
因为$n≠0$,所以$n=5$.

【分析】
（1）十进制转七进制采用“除7取余法”：将十进制数反复除以7，直到商为0，再将每次得到的余数倒序排列，就是对应的七进制数。
（2）①观察七进制乘法表规律：第m行第n列的数是七进制下m×n的运算结果，先算出十进制下的乘积，再转换为七进制即可得到a、b的值；②计算七进制乘法，可以先将两个七进制数转换为十进制计算乘积，再将乘积转换回七进制。
（3）根据n进制的定义，将等式左右两边的n进制数都转换为十进制数，得到关于n的一元方程，解方程结合进制的取值要求（进制数大于数位上的最大数字）即可求出n的值。
【解析】
(1) ①计算17转七进制：
17÷7=2……3，2÷7=0……2，将余数倒序排列得23，故$17=(23)_7$。
②计算431转七进制：
431÷7=61……4，61÷7=8……5，8÷7=1……1，1÷7=0……1，将余数倒序排列得1154，故$431=(1154)_7$。
(2) ①表格中第2行第4列对应七进制下2×4的结果：十进制下2×4=8，8÷7=1……1，即$8=(11)_7$，故$a=11$；
第4行第5列对应七进制下4×5的结果：十进制下4×5=20，20÷7=2……6，即$20=(26)_7$，故$b=26$。
②先将两个七进制数转十进制：
$(34)_7=4+3×7=25$，$(24)_7=4+2×7=18$，十进制乘积为$25×18=450$；
再将450转七进制：450÷7=64……2，64÷7=9……1，9÷7=1……2，1÷7=0……1，倒序排列余数得1212，故$(34)_7×(24)_7=(1212)_7$。
(3) 根据n进制的转换规则，将等式两边转十进制：
左边：$(42)_n×(20)_n=(2+4n)×(0+2n)=8n^2+4n$
右边：$(1340)_n=0+4×n+3×n^2+1×n^3=n^3+3n^2+4n$
列等式：$8n^2+4n=n^3+3n^2+4n$
化简得：$n^3-5n^2=0$，即$n^2(n-5)=0$
因为进制$n＞4$（数位中最大数字为4），且$n≠0$，故$n=5$。
【答案】
(1) ①$\boxed{23}$；②$\boxed{1154}$
(2) ①$\boxed{11}$，$\boxed{26}$；②$\boxed{1212}$
(3) $\boxed{n=5}$
【知识点】
1. 进制转换 2. 进制运算 3. 新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查进制的相关运算，核心是掌握不同进制与十进制的互转规则，以及进制运算“满n进1”的规律，需要学生具备较好的知识迁移能力和运算能力。
【难度系数】
0.6