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20.观察下面三行数.
−2，4，−8，16，−32，64，…； ①
0，6，−6，18，−30，66，…； ②
3，−3，9，−15，33，−63，…. ③
(1)第①行中的第n个数是
(2)请将第②行中的每一个数分别减去第①行中对应位置的数，并找出规律.根据你得到的结论，直接写出第②行中的第n个数是
(3)分别取每行中的第k个数，这三个数的和能否等于−509？如果能，请求出k的值；如果不能，请说明理由.
−2，4，−8，16，−32，64，…； ①
0，6，−6，18，−30，66，…； ②
3，−3，9，−15，33，−63，…. ③
(1)第①行中的第n个数是
$(-2)^n$
.(2)请将第②行中的每一个数分别减去第①行中对应位置的数，并找出规律.根据你得到的结论，直接写出第②行中的第n个数是
$(-2)^n+2$
；同理，直接写出第③行中的第n个数是$-(-2)^n+1$
.(3)分别取每行中的第k个数，这三个数的和能否等于−509？如果能，请求出k的值；如果不能，请说明理由.
答案
20.(1)$(-2)^n$
(2)$(-2)^n+2$ $-(-2)^n+1$
(3)$(-2)^k+[(-2)^k+2]+[-(-2)^k+1]=-509$,所以$(-2)^k= -512$,所以$k=9$.
(2)$(-2)^n+2$ $-(-2)^n+1$
(3)$(-2)^k+[(-2)^k+2]+[-(-2)^k+1]=-509$,所以$(-2)^k= -512$,所以$k=9$.
解析
【分析】
(1) 观察第①行的数，发现每个数的绝对值是2的n次幂，符号为奇数项负、偶数项正，符合乘方$(-2)^n$的特征，即可得出第n个数的表达式。
(2) 按照要求计算第②行与第①行对应数的差，发现差恒为2，因此第②行的数等于第①行对应数加2；再观察第③行与第①行对应数的和恒为1，因此第③行的数等于1减去第①行对应数，即可分别写出两行的第n个数。
(3) 假设存在k满足条件，将三行的第k个数相加等于-509列方程，化简后求出$(-2)^k$的值，结合乘方的运算判断k是否为正整数即可。
【解析】
(1) 观察第①行的数：
第1个数：$-2=(-2)^1$
第2个数：$4=(-2)^2$
第3个数：$-8=(-2)^3$
……
以此类推，第n个数为$(-2)^n$。
(2) 计算第②行与第①行对应位置数的差：
$0-(-2)=2$，$6-4=2$，$-6-(-8)=2$，$18-16=2$……
可得差恒为2，因此第②行第n个数 = 第①行第n个数 + 2，即$(-2)^n + 2$。
观察第③行与第①行对应位置数的和：
$3+(-2)=1$，$-3+4=1$，$9+(-8)=1$，$-15+16=1$……
可得和恒为1，因此第③行第n个数 = $1 - (-2)^n$，即$-(-2)^n +1$。
(3) 假设存在k使得三个数的和为-509，根据题意列方程：
$(-2)^k + [(-2)^k + 2] + [-(-2)^k +1] = -509$
合并同类项得：
$(-2)^k + 3 = -509$
移项计算得：
$(-2)^k = -512$
因为$(-2)^9 = -512$，所以$k=9$，符合要求。
【答案】
(1)$(-2)^n$
(2)$(-2)^n+2$；$-(-2)^n+1$
(3)能，$k=9$
【知识点】
数字规律探究，乘方的定义，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类综合题，解题的核心是先从已知数列中找到通用的表达规律，再利用不同数列之间的关联建立方程求解，能有效考查观察分析和运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 观察第①行的数，发现每个数的绝对值是2的n次幂，符号为奇数项负、偶数项正，符合乘方$(-2)^n$的特征，即可得出第n个数的表达式。
(2) 按照要求计算第②行与第①行对应数的差，发现差恒为2，因此第②行的数等于第①行对应数加2；再观察第③行与第①行对应数的和恒为1，因此第③行的数等于1减去第①行对应数，即可分别写出两行的第n个数。
(3) 假设存在k满足条件，将三行的第k个数相加等于-509列方程，化简后求出$(-2)^k$的值，结合乘方的运算判断k是否为正整数即可。
【解析】
(1) 观察第①行的数：
第1个数：$-2=(-2)^1$
第2个数：$4=(-2)^2$
第3个数：$-8=(-2)^3$
……
以此类推，第n个数为$(-2)^n$。
(2) 计算第②行与第①行对应位置数的差：
$0-(-2)=2$，$6-4=2$，$-6-(-8)=2$，$18-16=2$……
可得差恒为2，因此第②行第n个数 = 第①行第n个数 + 2，即$(-2)^n + 2$。
观察第③行与第①行对应位置数的和：
$3+(-2)=1$，$-3+4=1$，$9+(-8)=1$，$-15+16=1$……
可得和恒为1，因此第③行第n个数 = $1 - (-2)^n$，即$-(-2)^n +1$。
(3) 假设存在k使得三个数的和为-509，根据题意列方程：
$(-2)^k + [(-2)^k + 2] + [-(-2)^k +1] = -509$
合并同类项得：
$(-2)^k + 3 = -509$
移项计算得：
$(-2)^k = -512$
因为$(-2)^9 = -512$，所以$k=9$，符合要求。
【答案】
(1)$(-2)^n$
(2)$(-2)^n+2$；$-(-2)^n+1$
(3)能，$k=9$
【知识点】
数字规律探究，乘方的定义，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类综合题，解题的核心是先从已知数列中找到通用的表达规律，再利用不同数列之间的关联建立方程求解，能有效考查观察分析和运算能力。
【难度系数】
0.6
21.某商场销售一种西装和领带，西装每套定价1000元，领带每条定价200元.商场决定在国庆节期间开展促销活动，活动期间向顾客提供两种优惠方案.
方案一:买一套西装送一条领带.
方案二:西装和领带都按定价的90％付款.
现某顾客要到商场购买西装20套，领带x条(x＞20).
(1)①若顾客按方案一购买，需付款
②若顾客按方案二购买，需付款
(2)当x=30时，请通过计算说明此时按哪种方案购买更划算.
(3)当x=30时，你能给出一种更省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算此方案需要付款多少元.
方案一:买一套西装送一条领带.
方案二:西装和领带都按定价的90％付款.
现某顾客要到商场购买西装20套，领带x条(x＞20).
(1)①若顾客按方案一购买，需付款
$(200x+16\ 000)$
元(用含x的式子表示)；②若顾客按方案二购买，需付款
$(180x+18\ 000)$
元(用含x的式子表示).(2)当x=30时，请通过计算说明此时按哪种方案购买更划算.
(3)当x=30时，你能给出一种更省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算此方案需要付款多少元.
答案
21.(1)①$(200x+16\ 000)$ ②$(180x+18\ 000)$
(2)当$x=30$时,方案一:$200x+16\ 000=22\ 000$(元);方案二:$180x+18\ 000=23\ 400$(元).
因为$22\ 000＜23\ 400$,所以此时按方案一购买更划算.
(3)先按方案一购买20套西装获赠20条领带,再按方案二购买10条领带.此方案需要付款21 800元.
(2)当$x=30$时,方案一:$200x+16\ 000=22\ 000$(元);方案二:$180x+18\ 000=23\ 400$(元).
因为$22\ 000＜23\ 400$,所以此时按方案一购买更划算.
(3)先按方案一购买20套西装获赠20条领带,再按方案二购买10条领带.此方案需要付款21 800元.
解析
【分析】
(1) ① 梳理方案一的优惠规则：买1套西装送1条领带，购买20套西装可获赠20条领带，顾客需购买x条（x＞20）领带，因此仅超出赠送数量的(x-20)条领带需要单独付费。总付款=20套西装的总价 + 额外购买的(x-20)条领带的总价，化简即可得到代数式。
② 梳理方案二的优惠规则：所有商品按定价的90%付款，总付款=（20套西装的总价 + x条领带的总价）×90%，化简即可得到代数式。
(2) 将x=30分别代入(1)中得到的两个代数式，计算出两种方案的付款金额，比较大小即可判断哪种更划算。
(3) 要得到更省钱的方案，可结合两种方案的优惠优势：先用方案一购买20套西装，获得赠送的20条领带，剩下不足的领带用折扣更低的方案二购买，计算总付款即可。
【解析】
(1) ① 方案一付款金额：
$20×1000 + 200(x-20) = 20000 + 200x - 4000 = 200x + 16000$（元）
② 方案二付款金额：
$(20×1000 + 200x)×90\% = (20000 + 200x)×0.9 = 180x + 18000$（元）
(2) 当$x=30$时：
方案一付款：$200×30 + 16000 = 6000 + 16000 = 22000$（元）
方案二付款：$180×30 + 18000 = 5400 + 18000 = 23400$（元）
$\because 22000 ＜ 23400$
$\therefore$ 按方案一购买更划算。
(3) 更省钱的购买方案：先按方案一购买20套西装，获赠20条领带，再按方案二购买剩下的$30-20=10$条领带。
总付款金额：$20×1000 + 10×200×90\% = 20000 + 1800 = 21800$（元）
【答案】
(1) ① $\boxed{(200x+16000)}$；② $\boxed{(180x+18000)}$
(2) 按方案一购买更划算
(3) 先按方案一购买20套西装获赠20条领带，再按方案二购买10条领带，需付款21800元
【知识点】
列代数式；代数式求值；最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的促销场景，考查代数式的实际应用，解题的关键是准确理解两种优惠方案的计费规则，组合方案需要灵活利用不同方案的优惠优势，需要具备一定的审题分析能力。
【难度系数】
0.7
(1) ① 梳理方案一的优惠规则：买1套西装送1条领带，购买20套西装可获赠20条领带，顾客需购买x条（x＞20）领带，因此仅超出赠送数量的(x-20)条领带需要单独付费。总付款=20套西装的总价 + 额外购买的(x-20)条领带的总价，化简即可得到代数式。
② 梳理方案二的优惠规则：所有商品按定价的90%付款，总付款=（20套西装的总价 + x条领带的总价）×90%，化简即可得到代数式。
(2) 将x=30分别代入(1)中得到的两个代数式，计算出两种方案的付款金额，比较大小即可判断哪种更划算。
(3) 要得到更省钱的方案，可结合两种方案的优惠优势：先用方案一购买20套西装，获得赠送的20条领带，剩下不足的领带用折扣更低的方案二购买，计算总付款即可。
【解析】
(1) ① 方案一付款金额：
$20×1000 + 200(x-20) = 20000 + 200x - 4000 = 200x + 16000$（元）
② 方案二付款金额：
$(20×1000 + 200x)×90\% = (20000 + 200x)×0.9 = 180x + 18000$（元）
(2) 当$x=30$时：
方案一付款：$200×30 + 16000 = 6000 + 16000 = 22000$（元）
方案二付款：$180×30 + 18000 = 5400 + 18000 = 23400$（元）
$\because 22000 ＜ 23400$
$\therefore$ 按方案一购买更划算。
(3) 更省钱的购买方案：先按方案一购买20套西装，获赠20条领带，再按方案二购买剩下的$30-20=10$条领带。
总付款金额：$20×1000 + 10×200×90\% = 20000 + 1800 = 21800$（元）
【答案】
(1) ① $\boxed{(200x+16000)}$；② $\boxed{(180x+18000)}$
(2) 按方案一购买更划算
(3) 先按方案一购买20套西装获赠20条领带，再按方案二购买10条领带，需付款21800元
【知识点】
列代数式；代数式求值；最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的促销场景，考查代数式的实际应用，解题的关键是准确理解两种优惠方案的计费规则，组合方案需要灵活利用不同方案的优惠优势，需要具备一定的审题分析能力。
【难度系数】
0.7
