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一、选择题
1.下列各式从左到右的变形是因式分解的是(
A.$ac - ab + 1 = a(c - b) + 1$
B.$b(x + y) = bx + by$
C.$(m + n)(m - n) = m^2 - n^2$
D.$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
1.下列各式从左到右的变形是因式分解的是(
D
).A.$ac - ab + 1 = a(c - b) + 1$
B.$b(x + y) = bx + by$
C.$(m + n)(m - n) = m^2 - n^2$
D.$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断变形是否为因式分解，首先要明确因式分解的核心判断标准：一是变形的对象是多项式，二是变形的最终结果必须是几个整式的乘积形式，且变形前后等式恒成立。解题时先牢记该判断标准，再逐一分析每个选项是否符合要求，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这类变形叫做因式分解。
逐一分析选项：
A. 等式右边为$a(c-b)+1$，是整式相加的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的定义，排除；
B. 该变形是从单项式乘多项式的形式转化为多项式相加的形式，属于整式乘法运算，不是因式分解，排除；
C. 该变形是多项式乘多项式的平方差运算，从乘积形式转化为多项式相加的形式，属于整式乘法，不是因式分解，排除；
D. 等式左边是多项式$a^2-2ab+b^2$，右边$(a-b)^2=(a-b)(a-b)$，是两个整式的乘积形式，符合因式分解的定义，当选。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义，整式乘法的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确掌握因式分解的特征，注意区分因式分解和整式乘法是互逆的变形，避免混淆二者的变形方向。
【难度系数】
0.9
要判断变形是否为因式分解，首先要明确因式分解的核心判断标准：一是变形的对象是多项式，二是变形的最终结果必须是几个整式的乘积形式，且变形前后等式恒成立。解题时先牢记该判断标准，再逐一分析每个选项是否符合要求，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这类变形叫做因式分解。
逐一分析选项：
A. 等式右边为$a(c-b)+1$，是整式相加的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的定义，排除；
B. 该变形是从单项式乘多项式的形式转化为多项式相加的形式，属于整式乘法运算，不是因式分解，排除；
C. 该变形是多项式乘多项式的平方差运算，从乘积形式转化为多项式相加的形式，属于整式乘法，不是因式分解，排除；
D. 等式左边是多项式$a^2-2ab+b^2$，右边$(a-b)^2=(a-b)(a-b)$，是两个整式的乘积形式，符合因式分解的定义，当选。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义，整式乘法的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确掌握因式分解的特征，注意区分因式分解和整式乘法是互逆的变形，避免混淆二者的变形方向。
【难度系数】
0.9
2.把多项式$2ab + 4ab^2$分解因式,应提取的公因式是(
A.$ab$
B.$2ab$
C.$2ab^2$
D.$4ab^2$
B
).A.$ab$
B.$2ab$
C.$2ab^2$
D.$4ab^2$
答案
2.B
解析
【分析】
要确定多项式应提取的公因式，需按照公因式的确定规则逐步推导：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者相乘即可得到公因式，按这个思路就能准确找出结果。
【解析】
对多项式$2ab + 4ab^2$的两项分步分析：
1. 确定系数公因式：两项的系数分别为2和4，二者的最大公约数是2；
2. 确定公共字母：两项都包含的相同字母是a和b；
3. 确定字母的最低次幂：a在两项中的次数都是1次，取1次；b在第一项中次数为1次，第二项中次数为2次，取最低的1次；
将三部分组合，得到公因式为$2× a× b=2ab$。
【答案】
B
【知识点】
公因式的确定；提公因式法分解因式
【点评】
本题考查提公因式法中公因式的确定规则，属于基础题型，掌握公因式的三步确定方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要确定多项式应提取的公因式，需按照公因式的确定规则逐步推导：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者相乘即可得到公因式，按这个思路就能准确找出结果。
【解析】
对多项式$2ab + 4ab^2$的两项分步分析：
1. 确定系数公因式：两项的系数分别为2和4，二者的最大公约数是2；
2. 确定公共字母：两项都包含的相同字母是a和b；
3. 确定字母的最低次幂：a在两项中的次数都是1次，取1次；b在第一项中次数为1次，第二项中次数为2次，取最低的1次；
将三部分组合，得到公因式为$2× a× b=2ab$。
【答案】
B
【知识点】
公因式的确定；提公因式法分解因式
【点评】
本题考查提公因式法中公因式的确定规则，属于基础题型，掌握公因式的三步确定方法即可快速求解。
【难度系数】
0.9
3.若$x^2 - y^2 = 8, x - y = -2$,则$3x + 3y$的值为(
A.－4
B.4
C.－12
D.12
C
).A.－4
B.4
C.－12
D.12
答案
3.C
解析
【分析】
观察已知条件中出现$x^2-y^2$的结构，符合平方差公式的特征，因此先利用平方差公式对$x^2-y^2$因式分解，代入已知的$x-y$的值即可求出$x+y$；再观察待求式$3x+3y$，可通过提公因式3转化为$3(x+y)$，最后将求出的$x+y$整体代入就能得到结果。
【解析】
解：根据平方差公式可得：
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$
将$x^2 - y^2 = 8$，$x - y = -2$代入上式：
$-2 × (x + y) = 8$
解得$x + y = 8 ÷ (-2) = -4$
对待求式提公因式变形：$3x + 3y = 3(x + y)$
将$x + y = -4$代入得：$3 × (-4) = -12$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，代数式求值，提公因式法因式分解
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，解题核心是熟练掌握平方差公式和提公因式法对式子变形，再用整体代入的思想计算，属于整式运算的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
观察已知条件中出现$x^2-y^2$的结构，符合平方差公式的特征，因此先利用平方差公式对$x^2-y^2$因式分解，代入已知的$x-y$的值即可求出$x+y$；再观察待求式$3x+3y$，可通过提公因式3转化为$3(x+y)$，最后将求出的$x+y$整体代入就能得到结果。
【解析】
解：根据平方差公式可得：
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$
将$x^2 - y^2 = 8$，$x - y = -2$代入上式：
$-2 × (x + y) = 8$
解得$x + y = 8 ÷ (-2) = -4$
对待求式提公因式变形：$3x + 3y = 3(x + y)$
将$x + y = -4$代入得：$3 × (-4) = -12$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，代数式求值，提公因式法因式分解
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，解题核心是熟练掌握平方差公式和提公因式法对式子变形，再用整体代入的思想计算，属于整式运算的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
4.下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是(
A.$a^2+(-b)^2$
B.$(-a)^2+(-b)^2$
C.$-a^2+(-b)^2$
D.$-a^2-b^2$
C
).A.$a^2+(-b)^2$
B.$(-a)^2+(-b)^2$
C.$-a^2+(-b)^2$
D.$-a^2-b^2$
答案
4.C
解析
【分析】
要判断哪个多项式能用平方差公式分解因式，首先需要明确平方差公式分解因式的适用条件：①多项式是二项式；②两项都可以表示为某个整式的平方；③两项的符号相反（一正一负）。解题时先化简每个选项的式子，再对照上述条件逐一判断即可。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$，需满足两项异号且均为平方形式。
我们逐个分析选项：
A. $a^2 + (-b)^2 = a^2 + b^2$，两项均为正号，符号相同，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式分解；
B. $(-a)^2 + (-b)^2 = a^2 + b^2$，两项均为正号，符号相同，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式分解；
C. $-a^2 + (-b)^2 = -a^2 + b^2 = b^2 - a^2$，两项均为整式的平方，且符号一正一负，符合平方差公式特征，可分解为$(b+a)(b-a)$，符合要求；
D. $-a^2 - b^2 = -(a^2 + b^2)$，括号内两项均为正号，符号相同，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式分解。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，因式分解，乘方运算
【点评】
本题考查平方差公式分解因式的应用，解题核心是准确把握平方差公式的结构特征，即“两项、均为平方形式、符号相反”，注意需先化简选项中的含乘方的式子再进行判断。
【难度系数】
0.8
要判断哪个多项式能用平方差公式分解因式，首先需要明确平方差公式分解因式的适用条件：①多项式是二项式；②两项都可以表示为某个整式的平方；③两项的符号相反（一正一负）。解题时先化简每个选项的式子，再对照上述条件逐一判断即可。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$，需满足两项异号且均为平方形式。
我们逐个分析选项：
A. $a^2 + (-b)^2 = a^2 + b^2$，两项均为正号，符号相同，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式分解；
B. $(-a)^2 + (-b)^2 = a^2 + b^2$，两项均为正号，符号相同，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式分解；
C. $-a^2 + (-b)^2 = -a^2 + b^2 = b^2 - a^2$，两项均为整式的平方，且符号一正一负，符合平方差公式特征，可分解为$(b+a)(b-a)$，符合要求；
D. $-a^2 - b^2 = -(a^2 + b^2)$，括号内两项均为正号，符号相同，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式分解。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，因式分解，乘方运算
【点评】
本题考查平方差公式分解因式的应用，解题核心是准确把握平方差公式的结构特征，即“两项、均为平方形式、符号相反”，注意需先化简选项中的含乘方的式子再进行判断。
【难度系数】
0.8
5.下列因式分解中,错误的是(
A.$x^2 +5x +4=(x+1)(x+4)$
B.$m^2 +m -6=(m-2)(m+3)$
C.$y^2 +9y -20=(y+4)(y-5)$
D.$x^2 -9x +18=(x-3)(x-6)$
C
).A.$x^2 +5x +4=(x+1)(x+4)$
B.$m^2 +m -6=(m-2)(m+3)$
C.$y^2 +9y -20=(y+4)(y-5)$
D.$x^2 -9x +18=(x-3)(x-6)$
答案
5.C
解析
【分析】
本题考查二次三项式因式分解的正误判断，解题有两种思路：一是利用十字相乘法的规则，对于形如$x^2+bx+c$的二次三项式，若分解为$(x+p)(x+q)$，需满足$p+q=b$，$pq=c$，逐个验证选项的系数是否符合该规则；二是利用多项式乘法，将每个选项等号右边的乘积展开，和左边的多项式对比是否完全一致，即可判断对错。
【解析】
我们通过展开右侧多项式和左侧比对的方法逐一判断：
A选项：$(x+1)(x+4)=x^2+4x+x+4=x^2+5x+4$，与左侧一致，分解正确；
B选项：$(m-2)(m+3)=m^2+3m-2m-6=m^2+m-6$，与左侧一致，分解正确；
C选项：$(y+4)(y-5)=y^2-5y+4y-20=y^2-y-20$，左侧为$y^2+9y-20$，二者不相等，分解错误；
D选项：$(x-3)(x-6)=x^2-6x-3x+18=x^2-9x+18$，与左侧一致，分解正确。
因此错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
十字相乘法因式分解、多项式乘法运算
【点评】
本题是因式分解的基础题型，两种解题方法都很直观，核心是掌握十字相乘法的运算规则，以及理解因式分解和整式乘法是互逆的变形过程，可互相验证正误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次三项式因式分解的正误判断，解题有两种思路：一是利用十字相乘法的规则，对于形如$x^2+bx+c$的二次三项式，若分解为$(x+p)(x+q)$，需满足$p+q=b$，$pq=c$，逐个验证选项的系数是否符合该规则；二是利用多项式乘法，将每个选项等号右边的乘积展开，和左边的多项式对比是否完全一致，即可判断对错。
【解析】
我们通过展开右侧多项式和左侧比对的方法逐一判断：
A选项：$(x+1)(x+4)=x^2+4x+x+4=x^2+5x+4$，与左侧一致，分解正确；
B选项：$(m-2)(m+3)=m^2+3m-2m-6=m^2+m-6$，与左侧一致，分解正确；
C选项：$(y+4)(y-5)=y^2-5y+4y-20=y^2-y-20$，左侧为$y^2+9y-20$，二者不相等，分解错误；
D选项：$(x-3)(x-6)=x^2-6x-3x+18=x^2-9x+18$，与左侧一致，分解正确。
因此错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
十字相乘法因式分解、多项式乘法运算
【点评】
本题是因式分解的基础题型，两种解题方法都很直观，核心是掌握十字相乘法的运算规则，以及理解因式分解和整式乘法是互逆的变形过程，可互相验证正误。
【难度系数】
0.8
6.已知$a$，$b$，$c$是$△ ABC$的三条边，且满足$a^2+bc=b^2+ac$，则$△ ABC$一定是(
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
A
)。A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
答案
6.A
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，需从给定的边的等式入手，推导边的等量关系。解题思路如下：第一步，先对等式移项整理，将含相同字母的项归类；第二步，利用因式分解的方法，将等式转化为两个整式乘积为0的形式；第三步，结合三角形两边之和大于第三边的隐含性质，排除不可能为0的因式，即可得到两条边相等的结论，进而判断三角形形状。注意不能直接在等式两边除以含有a、b的整式，否则会漏掉a=b的情况。
【解析】
对等式$a^2+bc=b^2+ac$移项得：
$a^2 - b^2 + bc - ac = 0$
利用平方差公式分解$a^2 - b^2$，对后两项提取公因式$-c$，可得：
$(a-b)(a+b) - c(a - b) = 0$
提取公因式$(a-b)$得：
$(a - b)(a + b - c) = 0$
∵$a$、$b$、$c$是△ABC的三条边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，
∴$a + b ＞ c$，即$a + b - c ＞ 0$
∴只能$a - b = 0$，即$a = b$
∴△ABC有两条边相等，是等腰三角形。
【答案】
A
【知识点】
因式分解、三角形三边关系、等腰三角形判定
【点评】
本题是三角形形状判定的基础题型，解题核心是通过因式分解变形边的等式，结合三角形三边的隐含条件得到边的等量关系，解题时需注意不要随意除以含未知数的整式，避免漏解。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC的形状，需从给定的边的等式入手，推导边的等量关系。解题思路如下：第一步，先对等式移项整理，将含相同字母的项归类；第二步，利用因式分解的方法，将等式转化为两个整式乘积为0的形式；第三步，结合三角形两边之和大于第三边的隐含性质，排除不可能为0的因式，即可得到两条边相等的结论，进而判断三角形形状。注意不能直接在等式两边除以含有a、b的整式，否则会漏掉a=b的情况。
【解析】
对等式$a^2+bc=b^2+ac$移项得：
$a^2 - b^2 + bc - ac = 0$
利用平方差公式分解$a^2 - b^2$，对后两项提取公因式$-c$，可得：
$(a-b)(a+b) - c(a - b) = 0$
提取公因式$(a-b)$得：
$(a - b)(a + b - c) = 0$
∵$a$、$b$、$c$是△ABC的三条边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，
∴$a + b ＞ c$，即$a + b - c ＞ 0$
∴只能$a - b = 0$，即$a = b$
∴△ABC有两条边相等，是等腰三角形。
【答案】
A
【知识点】
因式分解、三角形三边关系、等腰三角形判定
【点评】
本题是三角形形状判定的基础题型，解题核心是通过因式分解变形边的等式，结合三角形三边的隐含条件得到边的等量关系，解题时需注意不要随意除以含未知数的整式，避免漏解。
【难度系数】
0.8
7.如果$a+b=9$，$ab=20$，那么$a^2+ab+b^2$的值为（
A.61
B.71
C.101
D.121
A
）.A.61
B.71
C.101
D.121
答案
7.A
解析
【分析】
本题已知a+b与ab的值，要求含a²、b²的代数式的值，可利用完全平方公式变形求解。首先回忆完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，观察待求式$a^2+ab+b^2$，对比完全平方展开式，可将待求式转化为用$(a+b)$和$ab$表示的形式，再整体代入数值计算即可，无需单独求出a、b的具体值，简化计算过程。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$\because (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$\therefore a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
将其代入待求式：
$a^2 + ab + b^2 = (a^2 + b^2) + ab = (a+b)^2 - 2ab + ab = (a+b)^2 - ab$
把$a+b=9$，$ab=20$代入上式：
原式$=9^2 - 20 = 81 - 20 = 61$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；整式化简求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活变形，解题关键是掌握整体代入的思想，不需要求解a、b的具体值即可快速算出结果，是整式运算中的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
本题已知a+b与ab的值，要求含a²、b²的代数式的值，可利用完全平方公式变形求解。首先回忆完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，观察待求式$a^2+ab+b^2$，对比完全平方展开式，可将待求式转化为用$(a+b)$和$ab$表示的形式，再整体代入数值计算即可，无需单独求出a、b的具体值，简化计算过程。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$\because (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$\therefore a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
将其代入待求式：
$a^2 + ab + b^2 = (a^2 + b^2) + ab = (a+b)^2 - 2ab + ab = (a+b)^2 - ab$
把$a+b=9$，$ab=20$代入上式：
原式$=9^2 - 20 = 81 - 20 = 61$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；整式化简求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活变形，解题关键是掌握整体代入的思想，不需要求解a、b的具体值即可快速算出结果，是整式运算中的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
8.如果$x^2 - kxy + 49y^2$是一个完全平方式，那么实数$k$的值为（
A.$\pm7$
B.$\pm14$
C.$7$
D.$14$
B
）.A.$\pm7$
B.$\pm14$
C.$7$
D.$14$
答案
8.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，即式子为三项，首尾两项是两个数的平方，中间项是这两个数乘积的2倍，符号可正可负。我们先确定给定式子的首尾两项对应的$a$和$b$，再根据中间项的系数关系求解$k$的值，注意不要漏掉两种符号的情况。
【解析】
已知$x^2 - kxy + 49y^2$是完全平方式：
1. 先确定首尾平方项：$x^2=(x)^2$，$49y^2=(7y)^2$，对应完全平方公式中的$a=x$，$b=7y$；
2. 根据完全平方公式，中间项应为$\pm 2ab=\pm 2× x×7y=\pm14xy$；
3. 题目中的中间项为$-kxy$，因此有$-kxy=\pm14xy$，由于等式对任意$x$、$y$成立，所以系数对应相等，即$-k=\pm14$，解得$k=\pm14$。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，多项式系数对应
【点评】
本题是对完全平方公式的基础应用考查，易错点是容易只考虑差的完全平方形式，忽略和的完全平方形式，导致漏解丢掉负数值。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，即式子为三项，首尾两项是两个数的平方，中间项是这两个数乘积的2倍，符号可正可负。我们先确定给定式子的首尾两项对应的$a$和$b$，再根据中间项的系数关系求解$k$的值，注意不要漏掉两种符号的情况。
【解析】
已知$x^2 - kxy + 49y^2$是完全平方式：
1. 先确定首尾平方项：$x^2=(x)^2$，$49y^2=(7y)^2$，对应完全平方公式中的$a=x$，$b=7y$；
2. 根据完全平方公式，中间项应为$\pm 2ab=\pm 2× x×7y=\pm14xy$；
3. 题目中的中间项为$-kxy$，因此有$-kxy=\pm14xy$，由于等式对任意$x$、$y$成立，所以系数对应相等，即$-k=\pm14$，解得$k=\pm14$。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，多项式系数对应
【点评】
本题是对完全平方公式的基础应用考查，易错点是容易只考虑差的完全平方形式，忽略和的完全平方形式，导致漏解丢掉负数值。
【难度系数】
0.8
9.如图,在$△ ABC$中,$AB = a$,$BC = 2a$,$∠ B = 90°$,将$△ ABC$沿$BC$方向平移$b$个单位长度得$△ DEF$(其中$A$,$B$,$C$的对应点分别是$D$,$E$,$F$),设$DE$交$AC$于点$G$,若$△ ADG$比$△ CEG$的面积大$8$,则代数式$a(a - b)$的值为(
A.8
B.$-8$
C.16
D.$-16$
B
).A.8
B.$-8$
C.16
D.$-16$
答案
9.B
解析
【分析】
遇到两个三角形面积差的问题，若直接计算两个小三角形面积条件不足，可考虑利用图形的面积和差进行转化。本题结合平移的性质，可知平移后四边形ABED是矩形，我们将△ADG和△CEG同时加上公共部分四边形ABEG的面积，它们的面积差就转化为矩形ABED和△ABC的面积差，再分别计算两个规则图形的面积，建立等式整理即可求出目标代数式的值。
【解析】
解：由平移的性质可知，$AD=BE=b$，$AD// BE$，$AB// DE$，
又$\because ∠ B=90°$，$\therefore$ 四边形$ABED$是矩形，
$\therefore S_{\mathrm{矩形}ABED}=AB· BE=a· b$，
在$△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=a$，$BC=2a$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· BC=\frac{1}{2}· a· 2a=a^2$，
已知$S_{△ ADG}-S_{△ CEG}=8$，
观察图形可得：$S_{\mathrm{矩形}ABED}=S_{△ ADG}+S_{\mathrm{四边形}ABEG}$，$S_{△ ABC}=S_{△ CEG}+S_{\mathrm{四边形}ABEG}$，
两式相减得：$S_{\mathrm{矩形}ABED}-S_{△ ABC}=S_{△ ADG}-S_{△ CEG}=8$，
即$ab - a^2=8$，
整理得：$a^2 - ab=-8$，即$a(a - b)=-8$。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质，面积和差计算，代数式变形
【点评】
本题重点考查平移性质的灵活运用，核心是运用转化思想将未知的小三角形面积差转化为可计算的规则图形的面积差，降低了解题难度，这种转化思路在几何面积类问题中非常常用。
【难度系数】
0.7
遇到两个三角形面积差的问题，若直接计算两个小三角形面积条件不足，可考虑利用图形的面积和差进行转化。本题结合平移的性质，可知平移后四边形ABED是矩形，我们将△ADG和△CEG同时加上公共部分四边形ABEG的面积，它们的面积差就转化为矩形ABED和△ABC的面积差，再分别计算两个规则图形的面积，建立等式整理即可求出目标代数式的值。
【解析】
解：由平移的性质可知，$AD=BE=b$，$AD// BE$，$AB// DE$，
又$\because ∠ B=90°$，$\therefore$ 四边形$ABED$是矩形，
$\therefore S_{\mathrm{矩形}ABED}=AB· BE=a· b$，
在$△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=a$，$BC=2a$，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· BC=\frac{1}{2}· a· 2a=a^2$，
已知$S_{△ ADG}-S_{△ CEG}=8$，
观察图形可得：$S_{\mathrm{矩形}ABED}=S_{△ ADG}+S_{\mathrm{四边形}ABEG}$，$S_{△ ABC}=S_{△ CEG}+S_{\mathrm{四边形}ABEG}$，
两式相减得：$S_{\mathrm{矩形}ABED}-S_{△ ABC}=S_{△ ADG}-S_{△ CEG}=8$，
即$ab - a^2=8$，
整理得：$a^2 - ab=-8$，即$a(a - b)=-8$。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质，面积和差计算，代数式变形
【点评】
本题重点考查平移性质的灵活运用，核心是运用转化思想将未知的小三角形面积差转化为可计算的规则图形的面积差，降低了解题难度，这种转化思路在几何面积类问题中非常常用。
【难度系数】
0.7
10.无论$x$，$y$取任何实数，式子$x^2 + y^2 + 2x - 4y +7$的值（
A.总不小于 2
B.总不小于 7
C.可为任何实数
D.可能为负数
A
）.A.总不小于 2
B.总不小于 7
C.可为任何实数
D.可能为负数
答案
10.A
解析
【分析】
要判断这个含两个未知数的二次代数式的取值范围，核心方法是配方法：首先将代数式中含x的项、含y的项分别分组，利用完全平方公式把每组凑成完全平方式，再合并常数项。因为任意实数的平方都是非负数，所以就能根据完全平方式的非负性推出整个代数式的最小值，进而判断选项。
【解析】
对原式进行配方变形：
$\begin{aligned}x^2 + y^2 + 2x -4y +7&=(x^2+2x)+(y^2-4y)+7\\&=(x^2+2x+1-1)+(y^2-4y+4-4)+7\\&=(x+1)^2 -1 + (y-2)^2 -4 +7\\&=(x+1)^2 + (y-2)^2 +2\end{aligned}$
∵ 无论x、y取任意实数，都有$(x+1)^2≥0$，$(y-2)^2≥0$
∴ $(x+1)^2 + (y-2)^2 +2≥0+0+2=2$
即原式的值总不小于2，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.配方法 2.完全平方的非负性
【点评】
本题是代数式取值范围判断的典型题，解题关键是熟练掌握配方法，利用完全平方的非负性推导最值，是基础类常考题。
【难度系数】
0.7
要判断这个含两个未知数的二次代数式的取值范围，核心方法是配方法：首先将代数式中含x的项、含y的项分别分组，利用完全平方公式把每组凑成完全平方式，再合并常数项。因为任意实数的平方都是非负数，所以就能根据完全平方式的非负性推出整个代数式的最小值，进而判断选项。
【解析】
对原式进行配方变形：
$\begin{aligned}x^2 + y^2 + 2x -4y +7&=(x^2+2x)+(y^2-4y)+7\\&=(x^2+2x+1-1)+(y^2-4y+4-4)+7\\&=(x+1)^2 -1 + (y-2)^2 -4 +7\\&=(x+1)^2 + (y-2)^2 +2\end{aligned}$
∵ 无论x、y取任意实数，都有$(x+1)^2≥0$，$(y-2)^2≥0$
∴ $(x+1)^2 + (y-2)^2 +2≥0+0+2=2$
即原式的值总不小于2，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.配方法 2.完全平方的非负性
【点评】
本题是代数式取值范围判断的典型题，解题关键是熟练掌握配方法，利用完全平方的非负性推导最值，是基础类常考题。
【难度系数】
0.7
二、填空题
11.分解因式 $ x(x - 2) + 1 $ 的结果是
11.分解因式 $ x(x - 2) + 1 $ 的结果是
$(x-1)^2$
.答案
11.$(x-1)^2$
解析
【分析】
解题时先观察原式的结构，原式包含整式乘法和加法运算，首先需要先通过整式乘法运算去掉括号，将原式整理为标准的二次三项式，再观察整理后的多项式是否符合因式分解的公式特征：整理后得到的x²-2x+1符合完全平方差公式的结构（a²-2ab+b²），其中a对应x，b对应1，套用公式即可完成因式分解。
【解析】
第一步：先展开整式乘法，整理原式：
原式 = x·x - x·2 + 1 = x² - 2x + 1
第二步：套用完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$分解：
$x² - 2x + 1 = (x - 1)²$
【答案】
$(x-1)^2$
【知识点】
1.整式乘法运算
2.完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题关键是先将原式整理为规范的多项式形式，再结合公式的结构特征判断适用的分解方法，需熟练掌握完全平方公式的形式特点，确保因式分解结果彻底。
【难度系数】
0.9
解题时先观察原式的结构，原式包含整式乘法和加法运算，首先需要先通过整式乘法运算去掉括号，将原式整理为标准的二次三项式，再观察整理后的多项式是否符合因式分解的公式特征：整理后得到的x²-2x+1符合完全平方差公式的结构（a²-2ab+b²），其中a对应x，b对应1，套用公式即可完成因式分解。
【解析】
第一步：先展开整式乘法，整理原式：
原式 = x·x - x·2 + 1 = x² - 2x + 1
第二步：套用完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$分解：
$x² - 2x + 1 = (x - 1)²$
【答案】
$(x-1)^2$
【知识点】
1.整式乘法运算
2.完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题关键是先将原式整理为规范的多项式形式，再结合公式的结构特征判断适用的分解方法，需熟练掌握完全平方公式的形式特点，确保因式分解结果彻底。
【难度系数】
0.9
12.分解因式$2a^3 - 32a$的结果是
$2a(a+4)(a-4)$
.答案
12.$2a(a+4)(a-4)$
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的基本思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，本题中两项的系数最大公因数为2，且均含有字母a，因此优先提取公因式2a；提取公因式后得到$a^2-16$，符合平方差公式的结构特征，可套用平方差公式继续分解；最后检查所有因式是否无法再分解，确保分解彻底。
【解析】
解：$2a^3 - 32a$
先提取公因式$2a$：
$=2a(a^2 - 16)$
再根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，对$a^2-16$分解，其中$m=a$，$n=4$：
$=2a(a+4)(a-4)$
【答案】
$2a(a+4)(a-4)$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查因式分解的常规操作步骤，易错点为漏提公因式、公式套用错误或分解不彻底，掌握“先提公因式、再套公式、最后核验”的流程即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
分解因式遵循“一提二套三查”的基本思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，本题中两项的系数最大公因数为2，且均含有字母a，因此优先提取公因式2a；提取公因式后得到$a^2-16$，符合平方差公式的结构特征，可套用平方差公式继续分解；最后检查所有因式是否无法再分解，确保分解彻底。
【解析】
解：$2a^3 - 32a$
先提取公因式$2a$：
$=2a(a^2 - 16)$
再根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，对$a^2-16$分解，其中$m=a$，$n=4$：
$=2a(a+4)(a-4)$
【答案】
$2a(a+4)(a-4)$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查因式分解的常规操作步骤，易错点为漏提公因式、公式套用错误或分解不彻底，掌握“先提公因式、再套公式、最后核验”的流程即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
13.已知$mn=\frac{1}{2}$,则$(m+n)^2-(m-n)^2=\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
13.2
解析
【分析】
本题为整式化简求值类题目，解题思路清晰：首先观察所求式子是两个完全平方的差，我们可以选择两种常用思路化简：一是直接利用完全平方公式将两个式子分别展开，合并同类项后就能得到仅含mn的最简式；二是利用平方差公式对原式因式分解，再合并化简，两种方法都不需要单独求m、n的具体值，最后代入已知的mn的值即可算出结果。
【解析】
方法一：利用完全平方公式计算
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，展开原式：
$\begin{aligned}(m+n)^2-(m-n)^2&=(m^2+2mn+n^2)-(m^2-2mn+n^2)\\&=m^2+2mn+n^2-m^2+2mn-n^2\\&=4mn\end{aligned}$
将$mn=\frac{1}{2}$代入$4mn$，得$4×\frac{1}{2}=2$。
方法二：利用平方差公式计算
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将$m+n$看作$a$，$m-n$看作$b$，对原式因式分解：
$\begin{aligned}(m+n)^2-(m-n)^2&=[(m+n)+(m-n)][(m+n)-(m-n)]\\&=2m·2n\\&=4mn\end{aligned}$
将$mn=\frac{1}{2}$代入得$4×\frac{1}{2}=2$。
【答案】
2
【知识点】
完全平方公式，整式化简求值，平方差公式
【点评】
本题是整式乘法的基础应用题，核心考查对乘法公式的掌握程度，采用先化简再整体代入的方法解题，能有效减少计算量，避免出错。
【难度系数】
0.8
本题为整式化简求值类题目，解题思路清晰：首先观察所求式子是两个完全平方的差，我们可以选择两种常用思路化简：一是直接利用完全平方公式将两个式子分别展开，合并同类项后就能得到仅含mn的最简式；二是利用平方差公式对原式因式分解，再合并化简，两种方法都不需要单独求m、n的具体值，最后代入已知的mn的值即可算出结果。
【解析】
方法一：利用完全平方公式计算
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，展开原式：
$\begin{aligned}(m+n)^2-(m-n)^2&=(m^2+2mn+n^2)-(m^2-2mn+n^2)\\&=m^2+2mn+n^2-m^2+2mn-n^2\\&=4mn\end{aligned}$
将$mn=\frac{1}{2}$代入$4mn$，得$4×\frac{1}{2}=2$。
方法二：利用平方差公式计算
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将$m+n$看作$a$，$m-n$看作$b$，对原式因式分解：
$\begin{aligned}(m+n)^2-(m-n)^2&=[(m+n)+(m-n)][(m+n)-(m-n)]\\&=2m·2n\\&=4mn\end{aligned}$
将$mn=\frac{1}{2}$代入得$4×\frac{1}{2}=2$。
【答案】
2
【知识点】
完全平方公式，整式化简求值，平方差公式
【点评】
本题是整式乘法的基础应用题，核心考查对乘法公式的掌握程度，采用先化简再整体代入的方法解题，能有效减少计算量，避免出错。
【难度系数】
0.8
14.已知$x$，$y$互为相反数，且$(x+2)^2 - (y+2)^2 =4$，则$x=$
$\frac{1}{2}$
，$y=$$-\frac{1}{2}$
。答案
14.$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
首先从已知条件出发，第一步，根据“x，y互为相反数”可得x+y=0，即y=-x；第二步，观察等式$(x+2)^2 - (y+2)^2 =4$的左边是平方差的形式，可利用平方差公式因式分解简化计算；第三步，将x+y=0代入分解后的式子求出x-y的值，再联立x+y=0组成二元一次方程组，即可求出x、y的值，也可直接将y=-x代入原式解方程得到结果。
【解析】
解：
∵x，y互为相反数
∴$x + y = 0$ ①
对$(x+2)^2 - (y+2)^2$利用平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}(x+2)^2 - (y+2)^2&=[(x+2)-(y+2)][(x+2)+(y+2)]\\&=(x-y)(x+y+4)\end{aligned}$
已知$(x+2)^2 - (y+2)^2=4$，将①代入上式得：
$(x-y)(0+4)=4$
化简得：$4(x-y)=4$，即$x - y =1$ ②
联立①②组成方程组：
$\begin{cases}x + y = 0 \\x - y = 1\end{cases}$
将两个方程相加得：$2x=1$，解得$x=\frac{1}{2}$
把$x=\frac{1}{2}$代入①得：$\frac{1}{2} + y = 0$，解得$y=-\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}$
【知识点】
相反数的性质、平方差公式、解二元一次方程组
【点评】
本题考查代数基础运算的综合应用，解题的核心是灵活运用平方差公式对等式变形，结合相反数的性质建立方程求解，掌握基本的代数变形技巧能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
首先从已知条件出发，第一步，根据“x，y互为相反数”可得x+y=0，即y=-x；第二步，观察等式$(x+2)^2 - (y+2)^2 =4$的左边是平方差的形式，可利用平方差公式因式分解简化计算；第三步，将x+y=0代入分解后的式子求出x-y的值，再联立x+y=0组成二元一次方程组，即可求出x、y的值，也可直接将y=-x代入原式解方程得到结果。
【解析】
解：
∵x，y互为相反数
∴$x + y = 0$ ①
对$(x+2)^2 - (y+2)^2$利用平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}(x+2)^2 - (y+2)^2&=[(x+2)-(y+2)][(x+2)+(y+2)]\\&=(x-y)(x+y+4)\end{aligned}$
已知$(x+2)^2 - (y+2)^2=4$，将①代入上式得：
$(x-y)(0+4)=4$
化简得：$4(x-y)=4$，即$x - y =1$ ②
联立①②组成方程组：
$\begin{cases}x + y = 0 \\x - y = 1\end{cases}$
将两个方程相加得：$2x=1$，解得$x=\frac{1}{2}$
把$x=\frac{1}{2}$代入①得：$\frac{1}{2} + y = 0$，解得$y=-\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}$
【知识点】
相反数的性质、平方差公式、解二元一次方程组
【点评】
本题考查代数基础运算的综合应用，解题的核心是灵活运用平方差公式对等式变形，结合相反数的性质建立方程求解，掌握基本的代数变形技巧能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
