登录
1. ★★★（2025·邵阳月考）如图是三个反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}, y_2=\frac{k_2}{x}, y_3=\frac{k_3}{x}$在x轴上方的图象，则$k_1,k_2,k_3$的大小关系为（
A.$k_1＞k_2＞k_3$
B.$k_2＞k_3＞k_1$
C.$k_1＞k_3＞k_2$
D.$k_3＞k_1＞k_2$
B
）A.$k_1＞k_2＞k_3$
B.$k_2＞k_3＞k_1$
C.$k_1＞k_3＞k_2$
D.$k_3＞k_1＞k_2$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时可分两步推导：①先根据反比例函数图象所在的象限判断k的符号：反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，图象在第二象限则$k＜0$，图象在第一象限则$k＞0$，由此可得$k_1$为负数，$k_2、k_3$为正数，因此$k_1$最小；②再比较同为正数的$k_2$和$k_3$：对于第一象限的反比例函数，取相同的x值时，图象位置越高，对应的y值越大，由$k=xy$可知y值越大则k值越大，观察图象可得相同x下$y_2＞y_3$，因此$k_2＞k_3$，最终即可得到三者的大小关系。
【解析】
根据反比例函数的图象与系数的关系：
1. 当反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二象限时，$k＜0$；图象位于第一象限时，$k＞0$。
观察图象：$y_1=\frac{k_1}{x}$的图象在第二象限，故$k_1＜0$；$y_2=\frac{k_2}{x}$、$y_3=\frac{k_3}{x}$的图象在第一象限，故$k_2＞0$，$k_3＞0$，因此$k_1$是三个数中最小的。
2. 对于第一象限的两个反比例函数，任取一个正数$x$，代入可得$k=xy$，此时图象位置更高的函数对应的y值更大：观察图象可知相同x取值下$y_2＞y_3$，因此$xy_2＞xy_3$，即$k_2＞k_3$。
综上可得$k_2＞k_3＞k_1$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与系数的关系
【点评】
本题考查反比例函数图象性质的应用，解题核心是掌握k的符号对反比例函数图象所在象限的影响，以及同一象限内反比例函数k值大小的比较方法，熟练掌握该性质可快速解决这类图象比较类问题。
【难度系数】
0.7
解题时可分两步推导：①先根据反比例函数图象所在的象限判断k的符号：反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，图象在第二象限则$k＜0$，图象在第一象限则$k＞0$，由此可得$k_1$为负数，$k_2、k_3$为正数，因此$k_1$最小；②再比较同为正数的$k_2$和$k_3$：对于第一象限的反比例函数，取相同的x值时，图象位置越高，对应的y值越大，由$k=xy$可知y值越大则k值越大，观察图象可得相同x下$y_2＞y_3$，因此$k_2＞k_3$，最终即可得到三者的大小关系。
【解析】
根据反比例函数的图象与系数的关系：
1. 当反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二象限时，$k＜0$；图象位于第一象限时，$k＞0$。
观察图象：$y_1=\frac{k_1}{x}$的图象在第二象限，故$k_1＜0$；$y_2=\frac{k_2}{x}$、$y_3=\frac{k_3}{x}$的图象在第一象限，故$k_2＞0$，$k_3＞0$，因此$k_1$是三个数中最小的。
2. 对于第一象限的两个反比例函数，任取一个正数$x$，代入可得$k=xy$，此时图象位置更高的函数对应的y值更大：观察图象可知相同x取值下$y_2＞y_3$，因此$xy_2＞xy_3$，即$k_2＞k_3$。
综上可得$k_2＞k_3＞k_1$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与系数的关系
【点评】
本题考查反比例函数图象性质的应用，解题核心是掌握k的符号对反比例函数图象所在象限的影响，以及同一象限内反比例函数k值大小的比较方法，熟练掌握该性质可快速解决这类图象比较类问题。
【难度系数】
0.7
2. （2024·大庆中考）在同一直角坐标系中，函数$y=kx - k$与$y=\frac{k}{|x|}(k≠0)$的大致图象是（
B
）答案
2.B
解析
【分析】
解决不同函数图象共存问题，通常采用分类讨论参数符号的思路：先根据参数$k$的正负，分别推导两个函数的图象特征，再逐一比对选项，排除不符合的选项即可。首先明确两个函数的核心性质：一次函数$y=kx-k$的斜率为$k$，与$y$轴交点的纵坐标为$-k$；函数$y=\frac{k}{|x|}$中$|x|$恒大于0，因此函数值的符号与$k$完全一致，图象仅分布在$y$值和$k$同号的两个象限。
【解析】
分两种情况讨论$k$的取值：
1. 当$k＞0$时：
一次函数$y=kx-k$的斜率为正，图象呈上升趋势，与$y$轴交点为$(0,-k)$，因$k＞0$，交点在$y$轴负半轴，因此一次函数过第一、三、四象限；
函数$y=\frac{k}{|x|}$中$k＞0$，因此$y$恒为正，图象分布在第一、第二象限。
观察选项：C中反比例函数第四象限有图象（$y$为负）不符合，D中一次函数与$y$轴交点在正半轴不符合，排除C、D。
2. 当$k＜0$时：
一次函数$y=kx-k$的斜率为负，图象呈下降趋势，与$y$轴交点为$(0,-k)$，因$k＜0$，$-k＞0$，交点在$y$轴正半轴，因此一次函数过第一、二、四象限；
函数$y=\frac{k}{|x|}$中$k＜0$，因此$y$恒为负，图象分布在第三、第四象限。
观察选项：A中一次函数与$y$轴交点在负半轴不符合，B中两个函数的图象均符合上述特征，当选。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象；反比例函数的图象
【点评】
本题考查一次函数和反比例函数的图象性质，核心解题方法是对参数分类讨论，结合函数的斜率、截距、函数值符号判断图象，是函数图象类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
解决不同函数图象共存问题，通常采用分类讨论参数符号的思路：先根据参数$k$的正负，分别推导两个函数的图象特征，再逐一比对选项，排除不符合的选项即可。首先明确两个函数的核心性质：一次函数$y=kx-k$的斜率为$k$，与$y$轴交点的纵坐标为$-k$；函数$y=\frac{k}{|x|}$中$|x|$恒大于0，因此函数值的符号与$k$完全一致，图象仅分布在$y$值和$k$同号的两个象限。
【解析】
分两种情况讨论$k$的取值：
1. 当$k＞0$时：
一次函数$y=kx-k$的斜率为正，图象呈上升趋势，与$y$轴交点为$(0,-k)$，因$k＞0$，交点在$y$轴负半轴，因此一次函数过第一、三、四象限；
函数$y=\frac{k}{|x|}$中$k＞0$，因此$y$恒为正，图象分布在第一、第二象限。
观察选项：C中反比例函数第四象限有图象（$y$为负）不符合，D中一次函数与$y$轴交点在正半轴不符合，排除C、D。
2. 当$k＜0$时：
一次函数$y=kx-k$的斜率为负，图象呈下降趋势，与$y$轴交点为$(0,-k)$，因$k＜0$，$-k＞0$，交点在$y$轴正半轴，因此一次函数过第一、二、四象限；
函数$y=\frac{k}{|x|}$中$k＜0$，因此$y$恒为负，图象分布在第三、第四象限。
观察选项：A中一次函数与$y$轴交点在负半轴不符合，B中两个函数的图象均符合上述特征，当选。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象；反比例函数的图象
【点评】
本题考查一次函数和反比例函数的图象性质，核心解题方法是对参数分类讨论，结合函数的斜率、截距、函数值符号判断图象，是函数图象类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
3. （2024·镇江中考）如图，在平面直角坐标系中，过点$A(m,0)$且垂直于$x$轴的直线$l$与反比例函数$y=-\frac{4}{x}$的图象交于点$B$，将直线$l$绕点$B$逆时针旋转$45°$，所得的直线经过第一、二、四象限，则$m$的取值范围是（
A.$m＜-2$或$m＞2$
B.$-2＜m＜2$且$m≠0$
C.$-2＜m＜0$或$m＞2$
D.$m＜-2$或$0＜m＜2$
C
）A.$m＜-2$或$m＞2$
B.$-2＜m＜2$且$m≠0$
C.$-2＜m＜0$或$m＞2$
D.$m＜-2$或$0＜m＜2$
答案
3.C
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据直线l的特征求出它与反比例函数的交点B的坐标；再结合旋转的性质，求出直线l逆时针旋转45°后的直线斜率，写出旋转后直线的一次函数解析式；接下来根据一次函数图象经过第一、二、四象限的性质，列出关于m的不等式；最后分情况解分式不等式，结合反比例函数自变量不为0的隐含条件，即可得到m的取值范围。
【解析】
1. 求点B的坐标：
直线l过点$A(m,0)$且垂直于x轴，因此直线l的解析式为$x=m$。将$x=m$代入反比例函数$y=-\frac{4}{x}$，得$y=-\frac{4}{m}$，因此点B的坐标为$(m, -\frac{4}{m})$，且$m≠0$。
2. 求旋转后直线的解析式：
直线l是垂直于x轴的直线，倾斜角为90°，绕点B逆时针旋转45°后，新直线的倾斜角为$90°+45°=135°$，因此斜率$k=\tan135°=-1$。
由点斜式可得旋转后直线的解析式：$y - (-\frac{4}{m}) = -1·(x - m)$，整理得$y = -x + m - \frac{4}{m}$。
3. 根据直线经过的象限列不等式：
一次函数$y=kx+b$经过第一、二、四象限的条件为$k＜0$且$b＞0$。本题中$k=-1＜0$，因此只需满足截距$b = m - \frac{4}{m} ＞ 0$。
4. 解不等式：
对$m - \frac{4}{m} ＞ 0$通分，得$\frac{m^2 - 4}{m} ＞ 0$，分两种情况讨论：
① 当$m＞0$时，不等号两边同乘m，不等号方向不变，得$m^2 - 4 ＞ 0$，即$m^2＞4$，结合$m＞0$，解得$m＞2$；
② 当$m＜0$时，不等号两边同乘m，不等号方向改变，得$m^2 - 4 ＜ 0$，即$m^2＜4$，结合$m＜0$，解得$-2＜m＜0$。
综上，m的取值范围是$-2＜m＜0$或$m＞2$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数性质，一次函数图象性质，分式不等式求解
【点评】
本题将反比例函数、一次函数的图象性质与旋转的性质相结合，解题关键是准确求出旋转后直线的解析式，结合一次函数过象限的特征列不等式，解题时需注意反比例函数自变量不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先根据直线l的特征求出它与反比例函数的交点B的坐标；再结合旋转的性质，求出直线l逆时针旋转45°后的直线斜率，写出旋转后直线的一次函数解析式；接下来根据一次函数图象经过第一、二、四象限的性质，列出关于m的不等式；最后分情况解分式不等式，结合反比例函数自变量不为0的隐含条件，即可得到m的取值范围。
【解析】
1. 求点B的坐标：
直线l过点$A(m,0)$且垂直于x轴，因此直线l的解析式为$x=m$。将$x=m$代入反比例函数$y=-\frac{4}{x}$，得$y=-\frac{4}{m}$，因此点B的坐标为$(m, -\frac{4}{m})$，且$m≠0$。
2. 求旋转后直线的解析式：
直线l是垂直于x轴的直线，倾斜角为90°，绕点B逆时针旋转45°后，新直线的倾斜角为$90°+45°=135°$，因此斜率$k=\tan135°=-1$。
由点斜式可得旋转后直线的解析式：$y - (-\frac{4}{m}) = -1·(x - m)$，整理得$y = -x + m - \frac{4}{m}$。
3. 根据直线经过的象限列不等式：
一次函数$y=kx+b$经过第一、二、四象限的条件为$k＜0$且$b＞0$。本题中$k=-1＜0$，因此只需满足截距$b = m - \frac{4}{m} ＞ 0$。
4. 解不等式：
对$m - \frac{4}{m} ＞ 0$通分，得$\frac{m^2 - 4}{m} ＞ 0$，分两种情况讨论：
① 当$m＞0$时，不等号两边同乘m，不等号方向不变，得$m^2 - 4 ＞ 0$，即$m^2＞4$，结合$m＞0$，解得$m＞2$；
② 当$m＜0$时，不等号两边同乘m，不等号方向改变，得$m^2 - 4 ＜ 0$，即$m^2＜4$，结合$m＜0$，解得$-2＜m＜0$。
综上，m的取值范围是$-2＜m＜0$或$m＞2$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数性质，一次函数图象性质，分式不等式求解
【点评】
本题将反比例函数、一次函数的图象性质与旋转的性质相结合，解题关键是准确求出旋转后直线的解析式，结合一次函数过象限的特征列不等式，解题时需注意反比例函数自变量不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.6
4. （2024·自贡中考）一次函数$y=x-2n+4$，二次函数$y=x^2+(n-1)x-3$，反比例函数$y=\dfrac{n+1}{x}$在同一直角坐标系中的图象如图所示，则$n$的取值范围是（
A.$n＞-1$
B.$n＞2$
C.$-1＜n＜1$
D.$1＜n＜2$
C
）A.$n＞-1$
B.$n＞2$
C.$-1＜n＜1$
D.$1＜n＜2$
答案
4.C
解析
【分析】
要确定n的取值范围，需结合三类函数的图像特征分别推导对应的限制条件，最终取所有条件的公共解集即可：首先根据反比例函数所在象限推导比例系数的符号；再根据二次函数对称轴的位置，结合对称轴公式推导n的范围；最后验证一次函数的图像特征是否符合推导的范围，即可得到最终取值区间。
【解析】
1. 分析反比例函数：
反比例函数$y=\dfrac{n+1}{x}$的图象在第一、三象限，因此比例系数大于0，即$n+1＞0$，解得$n＞-1$。
2. 分析二次函数：
二次函数$y=x^2+(n-1)x-3$的二次项系数$a=1＞0$，与图像开口向上的特征一致；由图像可知二次函数对称轴在y轴右侧，根据对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，可得：
$-\dfrac{n-1}{2×1}＞0$
化简得$n-1＜0$，解得$n＜1$。
3. 验证一次函数：
一次函数$y=x-2n+4$的斜率$k=1＞0$，与图像上升的特征一致；当$-1＜n＜1$时，一次函数与y轴交点的纵坐标为$-2n+4＞2＞0$，与图像中一次函数交y轴正半轴的特征一致；与x轴交点的横坐标为$2n-4＜-2＜0$，与图像中一次函数交x轴负半轴的特征一致。
综上，n的取值范围是$-1＜n＜1$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质
【点评】
本题是典型的函数图象共存类问题，解题核心是结合图象特征提取对应函数系数满足的不等式，求解所有不等式后取公共解集即可，注意最后要验证所得范围是否符合所有函数的图象特点，避免漏判条件。
【难度系数】
0.7
要确定n的取值范围，需结合三类函数的图像特征分别推导对应的限制条件，最终取所有条件的公共解集即可：首先根据反比例函数所在象限推导比例系数的符号；再根据二次函数对称轴的位置，结合对称轴公式推导n的范围；最后验证一次函数的图像特征是否符合推导的范围，即可得到最终取值区间。
【解析】
1. 分析反比例函数：
反比例函数$y=\dfrac{n+1}{x}$的图象在第一、三象限，因此比例系数大于0，即$n+1＞0$，解得$n＞-1$。
2. 分析二次函数：
二次函数$y=x^2+(n-1)x-3$的二次项系数$a=1＞0$，与图像开口向上的特征一致；由图像可知二次函数对称轴在y轴右侧，根据对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，可得：
$-\dfrac{n-1}{2×1}＞0$
化简得$n-1＜0$，解得$n＜1$。
3. 验证一次函数：
一次函数$y=x-2n+4$的斜率$k=1＞0$，与图像上升的特征一致；当$-1＜n＜1$时，一次函数与y轴交点的纵坐标为$-2n+4＞2＞0$，与图像中一次函数交y轴正半轴的特征一致；与x轴交点的横坐标为$2n-4＜-2＜0$，与图像中一次函数交x轴负半轴的特征一致。
综上，n的取值范围是$-1＜n＜1$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质
【点评】
本题是典型的函数图象共存类问题，解题核心是结合图象特征提取对应函数系数满足的不等式，求解所有不等式后取公共解集即可，注意最后要验证所得范围是否符合所有函数的图象特点，避免漏判条件。
【难度系数】
0.7
