1. （2025·贵港期中），矩形OABC的面积为54，它的对角线OB与双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$相交于点D，且$BD:OD=1:2$，则k的值为（）

A.12
B.-12
C.24
D.-24

1.D

【分析】
首先观察图像确定双曲线所在象限，可先判断k为负数，排除正数选项。再根据BD:OD=1:2得到OD与OB的比例关系，进而推出点D和点B横、纵坐标的比例关系，结合矩形OABC的面积等于点B横纵坐标乘积的绝对值，最后利用反比例函数中k等于图像上点的横纵坐标乘积的性质，即可计算出k的值。
【解析】
1. 判断k的符号：由图像可知双曲线$y=\frac{k}{x}$位于第四象限，因此$k＜0$，可先排除A、C两个正数值选项。
2. 推导点坐标的比例关系：已知$BD:OD=1:2$，可得$OD:OB=2:3$。设点B的坐标为$(a,b)$，其中$a＞0$，$b＜0$，矩形OABC的面积为$|a·b|=54$，因此$ab=-54$。
因为点D在对角线OB上，OB为过原点的线段，所以点D的横、纵坐标均为点B的$\frac{2}{3}$，即D点坐标为$(\frac{2}{3}a,\frac{2}{3}b)$。
3. 计算k的值：将D点坐标代入反比例函数解析式，得$k=x_D·y_D=\frac{2}{3}a·\frac{2}{3}b=\frac{4}{9}ab$，代入$ab=-54$，计算得$k=\frac{4}{9}×(-54)=-24$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质，坐标与线段比例，矩形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的常见题型，解题时先通过象限判断k的符号可缩小选择范围，再结合线段比例和几何图形的面积关系求解，难度适中，侧重对基础性质的综合应用考查。
【难度系数】
0.7

2. ★★(2025·泸州模拟)如图,点A和点D是反比例函数$y=\frac{m}{x}(m＞0,x＞0)$图象上的两点,且点A的横坐标为2,一次函数$y=kx+3(k≠0)$的图象经过点A,且与y轴交于点B,与x轴交于点C,过点D作$DE⊥x$轴,垂足为E,连结OA,OD.已知$△ OAB$与$△ ODE$的面积满足$S_{△ OAB}:S_{△ ODE}=3:4$.求k与m的值.

由一次函数$y=kx+3$知,$B(0,3)$,$∵$ 点A的横坐标是2,$∴ S_{△OAB} =\frac{1}{2}×3×2=3.∵ S_{△OAB} : S_{△ODE} = 3 : 4,∴ S_{△ODE} =4.∵$ 点D是反比例函数$y=\frac{m}{x}(m＞0,x＞0)$图象上的点,$∴ \frac{1}{2}m=S_{△ODE}=4,$解得$m=8.$故反比例函数的表达式是$y=\frac{8}{x},$设点A的坐标为$(2,n),∴ 2n=8,$即$n=4,$故$A(2,4),$将其代入$y=kx+3$得到$2k+3=4,$解得$k=\frac{1}{2}.$故$k=\frac{1}{2},m=8.$

【分析】
解题时先从已知的一次函数解析式入手，先求出一次函数与y轴交点B的坐标，结合点A的横坐标即可算出△OAB的面积；再根据两个三角形的面积比求出△ODE的面积，利用反比例函数k的几何意义（过反比例函数图象上任意一点作x轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|m|$）即可求出m的值；接着利用点A在反比例函数图象上，求出点A的纵坐标，再将A点坐标代入一次函数解析式就能求出k的值。
【解析】
解：由一次函数$y=kx+3$可知，当$x=0$时，$y=3$，即$B(0,3)$，$\therefore OB=3$。
$\because$点A的横坐标为2，且点A在一次函数图象上，
$\therefore S_{△ OAB}=\frac{1}{2} × OB × 2 = \frac{1}{2} × 3 × 2 = 3$。
$\because S_{△ OAB}:S_{△ ODE}=3:4$，
$\therefore S_{△ ODE}=4$。
$\because$点D是反比例函数$y=\frac{m}{x}(m＞0,x＞0)$图象上的点，$DE ⊥ x$轴，
根据反比例函数k的几何意义可得：$S_{△ ODE}=\frac{1}{2}m$，
$\therefore \frac{1}{2}m=4$，解得$m=8$，即反比例函数解析式为$y=\frac{8}{x}$。
设点A的坐标为$(2,n)$，$\because$点A在反比例函数图象上，
$\therefore 2n=8$，解得$n=4$，即$A(2,4)$。
将$A(2,4)$代入一次函数$y=kx+3$得：$2k+3=4$，
解得$k=\frac{1}{2}$。
【答案】
$k=\frac{1}{2}$，$m=8$
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 一次函数解析式求解
3. 反比例函数点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，将函数图象上点的坐标特征与反比例函数k的几何意义结合考查，解题的关键是先利用三角形面积关系求出m的值，再代入点坐标求一次函数的系数，是反比例函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

3. 如图,一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}(m≠0)$的图象交于A,B两点,与x轴交于点F,与y轴交于点C,过点A作$AD⊥x$轴于点D,$∠CAD=45°$,连结CD.已知$△ADC$的面积等于6,点A的坐标为$(n,2)$,点B的坐标为$(a,-6)$.
(1)请分别求出一次函数和反比例函数的表达式;
(2)若点E是点C关于x轴的对称点,求$△ABE$的面积;
(3)根据图象直接写出关于x的不等式$kx＞\frac{m}{x}-b$的解集.

(1)$∵ AD ⊥ x$轴于点$D ,∴ AD // y$轴.$∵ A ( n , 2 ),∴ AD = 2.$
$∵ ∠CAD=45^{\circ },∴ ∠AFD=45^{\circ },∴ FD=AD=2.$连结$AO,∵ AD // y$轴,
$∴ S_{△AOD}=S_{△ADC}=\frac{1}{2}AD · OD=6,∴ OD=6,∴ A(6,2),$将$A(6,2)$代入$y=\frac{m}{x},$得$m=12,∴$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x};∵$ 点$B(a,-6)$在表达式为$y=\frac{12}{x}$的反比例函数图象上,$∴ -6=\frac{12}{a},∴ a=-2,$
$∴ B(-2,-6),$将点$A(6,2)$,点$B(-2,-6)$代入$y=kx+b$,可得$\begin{cases} 6k+b=2,\\ -2k+b=-6, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=1,\\ b=-4, \end{cases} ∴$ 一次函数的表达式为$y=x-4.$
(2)令$x=0,$得$y=x-4=-4,∴ C(0,-4),$点E是点C关于x轴的对称点,$∴ E(0,4),∴ CE=8,∴ S_{△ABE}=S_{△BCE}+S_{△ACE}=\frac{1}{2}CE · |x_B| + \frac{1}{2}CE · |x_A| =\frac{1}{2}×8×2+\frac{1}{2}×8×6=32.$
(3)根据图象得不等式$kx＞\frac{m}{x}-b,$即$kx+b＞\frac{m}{x}$的解集为$-2＜x＜0$或$x＞6.$

【分析】
(1) 首先根据AD垂直x轴、∠CAD=45°的性质得到AD的长度，再利用AD平行y轴得出△AOD和△ADC面积相等，结合△ADC的面积求出OD长度，得到A点坐标；将A点坐标代入反比例函数求出m，得到反比例函数表达式；再将B点纵坐标代入反比例函数求出B点坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解方程组即可得到一次函数表达式。
(2) 先求出一次函数与y轴交点C的坐标，再根据对称性质得到E点坐标，算出CE的长度；将△ABE的面积拆分为△BCE和△ACE的面积和，两个三角形以CE为公共底，高分别为B、A两点横坐标的绝对值，代入计算即可得到面积。
(3) 先将不等式变形为$kx+b＞\frac{m}{x}$，即求一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围，结合A、B两点坐标观察图象即可得到解集。
【解析】
(1) $\because AD ⊥ x$轴于点$D ,\therefore AD // y$轴。
$\because A ( n , 2 ),\therefore AD = 2$。
$\because ∠ CAD=45^{\circ },\therefore ∠ AFD=45^{\circ },\therefore FD=AD=2$。
连结$AO$，$\because AD // y$轴，$△ ADC$和$△ AOD$同底等高，$\therefore S_{△ AOD}=S_{△ ADC}=6$。
又$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}AD · OD$，$\therefore \frac{1}{2}×2× OD=6$，解得$OD=6$，$\therefore A(6,2)$。
将$A(6,2)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$2=\frac{m}{6}$，解得$m=12$，$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$。
$\because$ 点$B(a,-6)$在反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象上，$\therefore -6=\frac{12}{a}$，解得$a=-2$，$\therefore B(-2,-6)$。
将点$A(6,2)$、点$B(-2,-6)$代入$y=kx+b$，可得$\begin{cases} 6k+b=2\\ -2k+b=-6 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} k=1\\ b=-4 \end{cases}$，$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=x-4$。
(2) 令$x=0$，得$y=x-4=-4$，$\therefore C(0,-4)$。
$\because$ 点E是点C关于x轴的对称点，$\therefore E(0,4)$，$\therefore CE=4-(-4)=8$。
$\therefore S_{△ ABE}=S_{△ BCE}+S_{△ ACE}=\frac{1}{2}CE · |x_B| + \frac{1}{2}CE · |x_A| =\frac{1}{2}×8×2+\frac{1}{2}×8×6=32$。
(3) 不等式$kx＞\frac{m}{x}-b$可变形为$kx+b＞\frac{m}{x}$，即一次函数值大于反比例函数值，结合图象可得解集为$-2＜x＜0$或$x＞6$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{12}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y=x-4}$；
(2) $\boldsymbol{S_{△ ABE}=32}$；
(3) $\boldsymbol{-2＜x＜0或x＞6}$。
【知识点】
一次函数与反比例函数综合；三角形面积计算；数形结合解不等式
【点评】
本题是函数综合类基础题，核心是通过几何性质求出关键点坐标，再结合坐标求解解析式、图形面积及不等式，侧重考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6